2014-2015第一学期东城区高三数学期末数学统练理科带答案.doc

东城区2014-2015学年第一学期期末教学统一检测 高三数学（理科） 本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合， ，则（A） （B） （C） （D） （2）在复平面内，复数对应的点位于 （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限（3）设，则“”是“”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件否是开始输入 输出 结束（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （4）设等差数列的前项和为，若，则等于（A） （B） （C） （D）（5）当时，执行如图所示的程序框图，输出的值为（A） （B） （C） （D）（6）已知函数若，则实数的取值范围是（A） （B） （C） （D）（7）在空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标为分别为，画该四面体三视图中的正视图时，以平面为投影面，则得到正视图可以为 （A） （B） （C） （D） （8）已知圆，直线，点在直线上若存在圆上的点，使得（为坐标原点），则的取值范围是（A） （B） （C） （D） 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（9）若抛物线的焦点到其准线的距离为，则该抛物线的方程为 （10）若实数满足 则的最大值为_（11）在中，则 ；的面积为_（12）已知向量，不共线，若（）（），则实数_（13）已知函数是上的奇函数，且为偶函数若，则 （14）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形,，分别为线段上的点若，则三棱锥体积的最小值为 .三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题共13分）已知函数部分图象如图所示（）求的最小正周期及解析式；（）将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值 （16）（本小题共13分）已知数列是等差数列，满足，数列是公比为等比数列，且（）求数列和的通项公式；（）求数列的前项和（17）（本小题共14分）如图，平面，为的中点（）求证：平面；（）求二面角的余弦值；（）证明：在线段上存在点，使得，并求的值（18）（本小题共14分）已知函数，其中（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）当时，求的单调区间；（）若存在，使得不等式成立，求的取值范围（19）（本小题共13分）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，短轴长为，离心率为（）求椭圆的方程； （）设是椭圆长轴上的一个动点，过作斜率为的直线交椭圆于，两点，求证：为定值（20）（本小题共13分）对于数列，定义“变换”：将数列变换成数列，其中，且.继续对数列进行“变换”，得到数列，依此类推，当得到的数列各项均为时变换结束.（）试问数列经过不断的“变换”能否结束？若能，请依次写出经过“变换”得到的各数列；若不能，说明理由；（）设数列，对数列进行“变换”，得到数列，若数列的各项之和为，求，的值；（）在（）的条件下，若数列再经过次“变换”得到的数列各项之和最小，求的最小值，并说明理由.东城区2014-2015学年第一学期期末教学统一检测高三数学参考答案及评分标准 （理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）A （2）A （3）B （4）C（5）D （6）D （7）A （8）B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9） （10） （11）， （12） （13） （14） 三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分） 解：（）由图可得， 2分所以 当时，可得，因为，所以 5分 所以的解析式为 6分（）由（）知，将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，所以 10分因为，所以 当，即时，有最大值，最大值为；当，即时，有最小值，最小值为13分（16）（共13分） 解：（）设等差数列的公差为由， 得解得所以 所以数列的通项公式为：由于是公比为等比数列，且， 所以 从而6分（）由（）知数列的前项和为，数列的前项和为 所以数列的前项和13分（17）（共14分）解：（）因为平面，平面，所以因为，所以平面所以因为，为的中点，所以又 所以平面5分 （）如图，在平面内，作，则两两互相垂直，建立空间直角坐标系则， ， 设平面的法向量为，则 ，即令，则所以由（）可知为平面的法向量，设的夹角为，则因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为10分（）设是线段上一点，且 即 所以 所以 由，得 因为，所以在线段上存在点，使得此时，14分（18）（共14分）解：函数的定义域为，2分（）当时， 所以曲线在点处的切线方程为5分（），当时，由，得，所以在区间和上，；在区间上，故的单调递增区间是和，单调递减区间是当时，故的单调递增区间是当时，由，得，所以在区间和上，；在区间上，故的单调递增区间是和，单调递减区间是10分（）由题意存在，使不等式成立， 即存在，使成立，只需大于或等于在区间的最小值 令， 在区间上，为增函数； 在区间上，为减函数 所以在的最小值为与中的较小者 ，所以在的最小值为所以所以的取值范围为 14分（19）（共13分）解（）设椭圆的标准方程为，由题意知，解得所以椭圆的标准方程为5分（）设（），由已知，直线的方程是由消得 （*） 设，则、是方程（*）的两个根，所以， 所以（定值） 所以为定值 13分（20）（共13分） 解：（）数列不能结束 各数列依次为；从而以下重复出现，不会出现所有项均为的情形 4分（）因为，所以是数列中最大项所以有或当时，可得，因为数列的各