线性矩阵不等式4.ppt

主要内容 基于LMI的保性能控制 不确定参数矩阵 和 是反映不确定性结构的常数矩阵 是时变的不确定矩阵 且满足 考虑如下线性不确定系统 5 1 设计状态反馈控制律 闭环系统可写为 5 3 5 2 保性能控制的目的 针对系统 5 1 保性能控制目的是设计控制律 5 2 使得闭环系统 5 3 在任意非零初始值下状态都能趋于稳定 为此定义一个性能指标 其中 Q为给定的对称半正定实矩阵 R为给定的对称正定实矩阵 5 4 GuaranteedCost 保代价 保性能控制的设计思想 考虑闭环系统 5 3 和性能指标 5 4 如果存在控制器 5 2 和正数 系统是渐进稳定的 且闭环性能指标值满足 称为系统 5 3 的一个保性能控制器 使得对所有允许的不确定性 闭环 则 称为系统 5 3 的一个性能上界 控制器 5 2 鲁棒保性能控制器设计 为设计不确定系统 5 1 的鲁棒保性能控制器 先给出如下假设 假设5 1 干扰 有界 且在其连续区域内满足 假设要合理且容易满足 定理5 1针对给定的性能指标 5 4 如果对所有满足FTF I的实矩阵F 若存在对称正定实矩阵P 0 实矩阵K以及标量 0 使得如下矩阵不等式成立 则u t Kx t 为闭环系统 5 3 的鲁棒保性能控制律 相应的一个系统性能上界 5 5 证明 定义闭环系统的Lyapunov函数为 则有 若要证明 S procedure S 过程 存在对称矩阵P 0 使得对满足wTw xTCTCx的所有x 0和w 若要 成立 当且仅当存在标量 0和对称矩阵P 0 使得 若要证明 则根据S 过程 只需证 当假设5 1满足时 存在标量 0和对称矩阵P 0 使得 即得定理成立的条件 即闭环系统渐进稳定 即闭环系统是可保性能的 定理得证 5 6 5 7 对式 5 6 从0到 积分 得 定理5 2针对给定的性能指标 5 4 如果对所有满足FTF I的实矩阵F 若存在对称正定实矩阵P 0 实矩阵K以及标量 0 使得如下LMI成立 则u t WV 1x t 为闭环系统 5 3 的鲁棒保性能控制律 相应的一个系统性能上界 证明 由定理5 1 知 对上式分别左乘和右乘矩阵 将 代入 由引理3 1 引入标量 消去时变不确定参数阵F t 不等式两边数乘 消去 1 记 应用Schur补 即得定理5 2成立 时滞系统简介 时滞系统的稳定性 时滞现象普遍存在 是近几年研究的热点时滞系统的稳定性 d 0表示滞后时间 时滞独立的稳定性 系统的稳定性与时滞d无关 时滞依赖的稳定性 系统稳定性与时滞相关 稳定性条件较保守 时系统稳定 先分析时滞独立稳定性 若不成功 再分析时滞依赖稳定性 6 1 时滞独立的稳定性条件 定理6 1针对系统 6 1 若存在对称正定实矩阵P和S 使得 则系统 6 1 是渐进稳定的 证明 定义Lyapunov函数如下 其中 则 P和S是对称正定阵 正定 关于时间的导数是 定理得证 时滞独立系统的特定李氏函数 数学补充 时滞依赖的稳定性条件 定理6 2如果存在对称正定实矩阵P Q V和实矩阵W以及标量 使得如下矩阵不等式成立 则对所有的滞后时间 系统 6 1 是渐进稳定的 证明 定义Lyapunov函数如下 其中 时滞依赖系统的特定李氏函数 由于 关于时间的导数是 定义 可得 利用数学补充第四式 将上式代入到 中 可得 和 关于时间的导数是 因此 因此 定理得证 基于LMI的跟踪控制问题 定义 所谓跟踪问题 就是讨论系统在满足什么条件下可找到适当的控制律来实现y t 跟踪yr t 的目标 满足 控制方案 通常考虑增广系统 若系统维数超过3时 优势不明显 研究思路 缺陷之处 必须考虑增广系统 系统阶数成倍增长 可能引发LMI不可解等问题的出现 结论 不适合高维数系统控制器的设计 方案 引入前馈 避免增广 鲁棒跟踪控制器的设计 考虑如下线性不确定系统 系统的不确定 参考信号 由下述参考模型生成 定义误差变量 设计目标是在 的作用下有 假设存在实常数矩阵G 使得 设计如下控制律 并定义 其中 为偏离理想跟踪的控制 状态 及 输出偏差 假设7 1存在实常数矩阵 使得 不确定范数有界 定理7 1若假设7 1成立 存在实矩阵G H满足 且针对给定的常数 0 存在对称正定实矩阵P 实矩阵K 使得如下不等式成立 则 为被控系统的鲁棒镇定控制律 且y t 渐进跟踪yr t 证明 此时有 若存在实矩阵G H满足 思路 若 设计状态反馈控制器 则闭环系统可描述为 若存在对称正定实矩阵P 选取如下Lyapunov函数 对时间的导数为 由定理条件成立 可得 即有当 时 即 实现对参考输出 的渐进跟踪 定理得证 从而 得 由 此时有 反馈控制律 前馈控制律 前馈加反馈控制方案 由哈尔滨工业大学的杨涤教授