高等数学 第八章 多元微分 第八节 极值与最值.ppt

第八章多元函数微分学 第八节 上页下页返回结束 多元函数的极值 极值的概念与计算 最大值最小值问题 条件极值 以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益 每天的收益为 求最大收益即为求二元函数的最大值 上页下页返回结束 引例 某商店卖两种牌子的果汁 瓶进价1元 外地牌子每瓶进价1 2元 如果本地牌子的每瓶卖 外地牌子的每瓶卖 则每天可卖出 瓶本地牌子的果 汁 瓶外地牌子的果汁 本地牌子每 店主估计 元 元 问店主每天 解 一 多元函数的极值 上页下页返回结束 1 二元函数极值的定义 上页下页返回结束 极大值 极小值统称为极值 使函数取得极值的点称为极值点 设函数 在点 的某邻域内有 定义 若对于该邻域内异于 的点 1 总有 则称 2 总有 为函数的一个极大值 则称 为函数的一个极小值 自变量 函数值 例1 例 例 上页下页返回结束 2 二元函数取得极值的条件 证明略 上页下页返回结束 定理1 必要条件 则 注1 有偏导数的函数 3 偏导数不存在的点可能是极值点 则称 如果 为函数f x y 的驻点 定义 极值点必为驻点 2 驻点不一定是极值点 如例3的z xy 如例2 问题 如何判定驻点是否为极值点 上页下页返回结束 函数的极值 极值点 可能的极值点 驻点 偏导数不存在的点 计算函数值 判断 计算偏导数 时 有极值 定理2 充分条件 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数 且 令 则1 当 A 0时取极大值 A 0时取极小值 2 当 3 当 时 没有极值 时 不能确定 需另行讨论 若 上页下页返回结束 驻点 上页下页返回结束 求函数 极值的一般步骤 第一步 解方程组 得驻点 第二步 对每一个驻点 第三步 由 的符号 判定是否取得极值 计算极值点处的函数值 得函数的极值 判别式 例1 求 解第一步求驻点 得驻点 1 0 1 2 3 0 3 2 第二步判别 解方程组 的极值 求二阶偏导数 上页下页返回结束 判别式 为极小值 上页下页返回结束 列表讨论 驻点 A f x y 1 0 1 2 3 0 3 2 72 72 12 72 72 12 极小值 无极值 无极值 极大值 为极大值 例2 讨论函数 以及 是否取得极值 解显然 0 0 是它们的驻点 注意到在 0 0 点附近 函数 因此 z 0 0 因此 为函数 在点 0 0 容易算得在 0 0 点 能为正 负或0 上页下页返回结束 的极小值 两个函数的判别式都满足 不是函数 的极值 的取值可 此外 二 最值应用问题 函数f x y 在有界闭区域D上连续 f x y 在D上可取得最大值和最小值 最值可疑点 驻点 边界上的最值点 由 上页下页返回结束 求在有界闭区域D上连续函数的最值的一般方法 第一步求出函数在D内的所有驻点 第二步求出所有驻点处的函数值 第三步求出函数在D的边界上的最大最小值 上页下页返回结束 第四步比较第二步所得函数值以及在D的边界上的最大值和最小值 其中最大者即为最大值 最小者 即为最小值 特别地 若f x y 在区域D内部存在最值 且只有一 为最小值 个极值点P 则 大 大 对于实际应用问题 若由问题的背景知最大值 或最小值 存在 且驻点唯一 则该驻点就是最 大值 或最小值 点 例3 解设水箱长 宽分别为x ym 则高为 水箱所用材料的面积为 令 得唯一驻点 用铁板做一个体积为2 由问题背景知最小用料存在 的无盖长方体水箱 问当长 宽 高各取怎样的尺寸时 才能使用料最省 因此此唯一驻点就 是最小值点 即当长 宽均为 高为 时 水箱所用材料最省 上页下页返回结束 三 条件极值 拉格朗日乘数法 上页下页返回结束 分配这200元 可以达到最佳效果 实例 小王有200元钱 决定用来购买两种急需 物品 计算机可读写光盘和CD光盘 设每张可读写光盘8元 每盒CD光盘10元 读写光盘 y张CD光盘可达到最佳效果 效果函数为 下的极大值点 在条件 问题的实质 求函数 设购买x张可 问如何 极值问题 无条件极值 条件极值 条件极值的求法 方法1代入法 求一元函数 的无条件极值问题 对自变量只有定义域限制 对自变量除定义域限制外 还有其它条件限制 例如 上页下页返回结束 方法2拉格朗日乘数法 可能极值点 构造函数 其中 l 为某一常数 其中 就是可能极值点的坐标 拉格朗日 Lagrange 函数 上页下页返回结束 列方程组 推广 拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多 令 解方程组 可得到条件极值的可能极值点 例如 求函数 下的极值 在条件 个约束条件的情形 上页下页返回结束 例4 设计一个容量为 则问题为求x 令 解方程组 解设x y z分别表示长 宽 高 下水箱表面积 最小 y z使在条件 水箱长 宽 高等于多少时所用材料最省 的长方体开口水箱 试问 上页下页返回结束 比较例3 得唯一驻点 由题意知 合理的设计是存在的 长 宽为高的2倍时 所用材料最省 因此 当高为 思考 1 当水箱封闭时 长 宽 高的尺寸如何 提示 利用对称性可知 2 当开口水箱底部造价为侧面的二倍时 欲使造价 最省 应如何设拉格朗日函数 长 宽 高尺寸如何 提示 长 宽 高尺寸相等 上页下页返回结束 解 则 上页下页返回结束 例5 将正数12 分成三个正数 之和使得 为最大 解得唯一驻点 6 4 2 故最大值为 由题设知 所求最大值存在 内容小结 1 函数的极值问题 第一步利用必要条件在定义域内找驻点 即解方程组 第二步利用充分条件判别驻点是否为极值点 2 函数的条件极值问题 1 简单问题用代入法 例如 对二元函数 2 一般问题用拉格朗日乘数法 上页下页返回结束 作拉格朗日函数 如求二元函数 下的极值 解方程组 第二步判别 比较驻点处函数值及边界点上最值的大小 根据问题的实际意义确定最值 第一步找目标函数 确定定义域 及约束条件 3 函数的最值问题 在条件 求驻点 上页下页返回结束 1 已知平面上两定点A 1 3 B 4 2 试在椭圆 上求一点C 使 ABC面积S 最大 提示 设C点坐标为 x y 思考与练习 则 上页下页返回结束 作拉格朗日函数 解方程组 得驻点 对应面积 而 比较可知 点C与E