步步高大一轮复习讲义数学2.4函数的奇偶性.doc

2.4函数的奇偶性1奇、偶函数的概念一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有_，那么函数f(x)就叫做偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有_，那么函数f(x)就叫做奇函数奇函数的图像关于原点对称；偶函数的图像关于y轴对称2奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性_，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性_(2)在公共定义域内，两个奇函数的和是_，两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的和、积都是_；一个奇函数，一个偶函数的积是_3周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)_，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中_的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期4对称性若函数f(x)满足f(ax)f(ax)或f(x)f(2ax)，则函数f(x)关于直线xa对称难点正本疑点清源1函数奇偶性的判断判断函数的奇偶性主要根据定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)(或f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数(或奇函数)其中包含两个必备条件：定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域有利于准确简捷地解决问题；判断f(x)与f(x)是否具有等量关系在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式(f(x)f(x)0(奇函数)或f(x)f(x)0(偶函数)是否成立2函数奇偶性的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反(2)若f(x)为偶函数，则f(x)f(x)f(|x|)(3)若奇函数f(x)定义域中含有0，则必有f(0)0.“f(0)0”是“f(x)为奇函数”的既不充分也不必要条件(4)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和(或差)”(5)复合函数的奇偶性特点：“内偶则偶，内奇同外”(6)既奇又偶的函数有无穷多个(如f(x)0，定义域是关于原点对称的任意一个数集)1(课本改编题)已知f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，那么ab的值是_2(课本改编题)下列函数中，所有奇函数的序号是_f(x)2x43x2；f(x)x32x；f(x)；f(x)x31.3(2011广东)设函数f(x)x3cos x1.若f(a)11，则f(a)_.4设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x(0，)时，f(x)lg x，则满足f(x)0的x的取值范围是_5定义在R上的函数yf(x)是奇函数，且满足f(1x)f(1x)当x1,1时，f(x)x3，则f(2 013)的值是()A1B0C1D2题型一函数奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性(1)f(x)；(2)f(x)(x1) ；(3)f(x).探究提高判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域对解决问题是有利的；(2)判断f(x)与f(x)是否具有等量关系在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)f(x)0(奇函数)或f(x)f(x)0(偶函数)是否成立分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数，分段函数奇偶性的判断，要分别从x0或x0，回答下列问题(1)判断f(x)在(1,1)上的奇偶性，并说明理由；(2)判断函数f(x)在(0,1)上的单调性，并说明理由；(3)若f，试求fff的值探究提高对于抽象函数单调性和奇偶性的判断一般要紧扣定义通过赋值要出现：f(x1)f(x2)与0的大小关系，f(x)与f(x)的关系就本题来讲要注意运用x0的条件 函数yf(x)(x0)是奇函数，且当x(0，)时是增函数，若f(1)0，求不等式fx(x)0的解集题型三函数的奇偶性与周期性例3设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x2)f(x)当x0,2时，f(x)2xx2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x2,4时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)f(1)f(2)f(2 011)探究提高判断函数的周期只需证明f(xT)f(x) (T0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题 已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x2)，当2x3时，f(x)x，则f(105.5)_.2.等价转换要规范试题：(12分)函数f(x)的定义域Dx|x0，且满足对于任意x1，x2D.有f(x1x2)f(x1)f(x2)(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明；(3)如果f(4)1，f(3x1)f(2x6)3，且f(x)在(0，)上是增函数，求x的取值范围学生解答展示审题视角(1)从f(1)联想自变量的值为1，进而想到赋值x1x21.(2)判断f(x)的奇偶性，就是研究f(x)、f(x)的关系从而想到赋值x11，x2x.即f(x)f(1)f(x)(3)就是要出现f(M)f(N)的形式，再结合单调性转化为MN的形式求解规范解答解(1)令x1x21，有f(11)f(1)f(1)，解得f(1)0.2分(2)f(x)为偶函数，证明如下：4分令x1x21，有f(1)(1)f(1)f(1)，解得f(1)0.令x11，x2x，有f(x)f(1)f(x)，f(x)f(x)f(x)为偶函数7分(3)f(44)f(4)f(4)2，f(164)f(16)f(4)3.8分由f(3x1)f(2x6)3，变形为f(3x1)(2x6)f(64)(*)f(x)为偶函数，f(x)f(x)f(|x|)不等式(*)等价于f|(3x1)(2x6)|f(64)9分又f(x)在(0，)上是增函数，|(3x1)(2x6)|64，且(3x1)(2x6)0.解得x或x3或3x5.x的取值范围是x|x或x3或3x512分批阅笔记数学解题的过程就是一个转换的过程解题质量的高低，取决于每步等价转换的规范程度如果每一步等价转换都是正确的、规范的，那么这个解题过程就一定是规范的等价转化要做到规范，应注意以下几点：(1)要有明确的语言表示如“M”等价于“N”，“M”变形为“N”(2)要写明转化的条件如本例中：f(x)为偶函数，不等式(*)等价于f|(3x1)(2x6)|f(64)(3)转化的结果要等价如本例：由于f|(3x1)(2x6)|f(64)|(3x1)(2x6)|64，且(3x1)(2x6)0.若漏掉(3x1)(2x6)0，则这个转化就不等价了.方法与技巧1正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f(x)f(x)或f(x)f(x)是定义域上的恒等式2奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f(x)f(x)f(x)f(x)01(f(x)0)3奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称，反之也真利用这一性质可简化一些函数图像的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性失误与防范1判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件2判断函数f(x)是奇函数，必须对定义域内的每一个x，均有f(x)f(x)，而不能说存在x0使f(x0)f(x0)对于偶函数的判断以此类推3分段函数奇偶性判定时，要以整体的观点进行判断，不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性课时规范训练(时间：60分钟)A组专项基础训练题组一、选择题1(2011课标全国)下列函数中，既是偶函数又在(0，)单调递增的函数是() Ayx3 By|x|1Cyx21 Dy2|x|2(2011辽宁)若函数f(x)为奇函数，则a等于()A. B. C. D13函数f(x)在定义域R上不是常数函数，且f(x)满足条件：对任意xR，都有f(2x)f(2x)，f(1x)f(x)，则f(x)()A是奇函数但非偶函数B是偶函数但非奇函数C既是奇函数又是偶函数D是非奇非偶函数4已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x4)f(x)，当x(0,2)时，f(x)2x2，则f(7)等于()A2 B2 C98 D98二、填空题5设函数f(x)为奇函数，则a_.6(2010江苏)设函数f(x)x(exaex)(xR)是偶函数，则实数a的值为_7(2010山东高考改编)设f(x)为定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2x2xb(b为常数)，则f(1)_.三、解答题8已知函数f(x)x2 (x0)(1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若f(1)2，试判断f(x)在2，)上的单调性B组专项能力提升题组一、选择题1(2011安徽)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2x2x，则f(1)等于()A3 B1 C1 D32设奇函数f(x)的定义域为R，最小正周期T3，若f(1)1，f(2)，则a的取值范围是()Aa1或a Ba1C1a Da3定义在R上的函数f(x)是偶函数，且f(x)f(2x)若f(x)在区间1,2上是减函数，则f(x)()A在区间2，1上是增函数，在区间3,4上是增函数B在区间2，1上是增函数，在区间3,4上是减函数C在区间2，1上是减函数，在区间3,4上是增函数D在区间2，1上是减函数，在区间3,4上是减函数二、填空题4已知定义在R上的函数yf(x)满足条件ff(x)，且函数yf为奇函数，给出以下四个命题：函数f(x)是周期函数；函数f(x)的图像关于点对称；函数f(x)为R上的偶函数；函数f(x)为R上的单调函数其中真命题的序号为_5(2011浙江)若函数f(x)x2|xa|为偶函数，则实数a_.6对于函数f(x)(其中a为实数，x1)，给出下列命题：当a1时，f(x)在定义域上为单调函数；f(x)的图像关于点(1，a)对称；对任意aR，f(x)都不是奇函数；当a1时，f(x)为偶函数；当a2时，对于满足条件2x1x2的所有x1、x2总有f(x1)f(x2)3(x2x1)其中正确命题的序号为_三、解答题7已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它的图像关于直线x1对称(1)求证：f(x)是周期为4的周期函数；(2)若f(x) (0x1)，求x5，4时，函数f(x)的解析式8函数f(x)的定义域为Dx|x0，且满足对于任意x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2)(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)1，f(x1)2，且f(x)在(0，)上是增函数，求x的取值范围答案要点梳理1f(x)f(x)f(x)f(x)2(1)相同相反(2)奇函数偶函数奇函数3(1)f(x)(2)存在一个最小基础自测1.2.3.94(1,0)(1，)5.C题型分类深度剖析例1解(1)由，得x3.f(x)的定义域为3,3又f(3)f(3)0，f(3)f(3)0.即f(x)f(x)f(x)既是奇函数，又是偶函数(2)由，得101x1，定义域关于原点对称又f(x)lglg1lgf(x)，故原函数是奇函数(2)由0且2x02x0时，f(x)x2x，则当x0，故f(x)x2xf(x)；当x0时，x0，故f(x)x2xf(x)，故原函数是偶函数(4)由得定义域为(1,0)(0,1)，关于原点对称，f(x).f(x)f(x)，f(x)为偶函数例2解(1)令xy0f(0)0，令yx，则f(x)f(x)0f(x)f(x)f(x)在(1,1)上是奇函数(2)设0x1x21，则f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f，而x1x20,0x1x210，即当0x1x2f(x2)，f(x)在(0,1)上单调递减(3)由于ffffff，同理，fff，fff，fff2f21.变式训练2解yf(x)为奇函数，且在(0，)上为增函数，yf(x)在(，0)上也是增函数，且由f(1)0得f(1)0.若fx(x)0f(1)，则即0x(x)1，解得x或x0.若fx(x)0f(1)，则由x(x)1，解得x.原不等式的解集是x|x或x0例3(1)证明f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)是周期为4的周期函数(2)解x2,4，x4，2，4x0,2，f(4x)2(4x)(4x)2x26x8，又f(4x)f(x)f(x)，f(x)x26x8，即f(x)x26x8，x2,4(3)解f(0)0，f(2)0，f(1)1，f(3)1.又f(x)是周期为4的周期函数，f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7)f(2 008)f(2 009)f(2 010)f(2 011)0.f(0)f(1)f(2)f(2 011)0.变式训练32.5课时规范训练A组1B2.A3.B4.A516.17.38解(1)当a0时，f(x)x2，f(x)f(x)，函数是偶函数当a0时，f(x)x2 (x0，常数aR)，取x1，得f(1)f(1)20；f(1)f(1)2a0，f(1)f(1)，f(1)f(1)函数f(x)既不是