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文档简介

简振子与玻色算符一、 简振子以g表示位移、p表示动量，则经典简振子的能量为：在量子力学中，力学量用算符表示，坐标与动量表示为：它们满足正则对易关系：（以后算符略去 符号）哈密顿量为：简振子的问题归结为求解sch方程1、 无量纲法 令，则sch方程变为：其中满足 在归一化条件（束缚态）的限制下，可以得出 2、 算符法引入和：可以解出： 且 所以有：上式即玻色算符的一般定义。（玻色算符的一般定义为：厄米共轭的定义：)于是,sch方程变成(附：可从以下证明得到：（正定）右边恒为正，左边积分后第一项也恒为正。 第二项 所以） 表明有下界，下面根据以下方程来求解：设是一个本征矢量，即则，也是本正矢，对应的本征值为（表示为0）也是本征矢，对应的本征值为下面证明这一点 同样： 这就证明了以上推断如果 ，则如果 ，则，除非由此看出，具有“上升”意义，具有“下降”意义。 注意到有下界，即的本征值有下界，故以上递推关系必须在某处中断，这就要求为整数 , , 为粒子数算符。当时而 （除非）令 称为基态，并为非简并的，可得本征矢和本征值 0 1 2 n 玻色子算符的一般性质为： 取 与的标积： | 设，则递推下去 当时，得归一化的本征矢 在实际问题中，波函数并不是重要的，重要的是力学量的本征值，以下两个量是重要的，即，需要知道他们的矩阵元任一力学量0的矩阵元为算符和的非零的矩阵元为：证： 其矩阵为： 利用 可得： 二、 玻色算符的性质 这里的要有意义，它应能展成幂级数例： 证： 即： 同理可证另一式特殊情况：设： 是数 由此得：所以有同理有可证： 证： 左 =在与之间插入得： 设 , 是一个数则 设,则 可证: 证: 设 则 (用到与对易)这就证明了第一式,同理可证第二式例: 对于谐振子： 幺正变换： 定义： 设 则： 可证： 要用到 Baker-Hauldorf 定理（见理论物理习题集P398）(见Messiah: Quantum Mechanics Vol.)设，是两个算符，且，则 一般： 三、 位移简振子与相干态设简振子附加一个恒力，势正比于坐标 则薛定谔方程为： （）方程变为：配方：令 易证：，满足 即，也是玻色算符，于是基态： ，且激发态： 与的关系 满足 满足 由于是正交归一完备的，所以可展成 利用（=0的项为0）比较系数得递推关系所以(可见是相干态)我们按以下要求来确定：取为实数所以以上结果也可由以下方法得到：引入幺正变换则 所以与之间只差一个幺正变换： （用到） 由于写成是的本证态，属于本征值。一般的，我们定义非厄密算符的本征态为相干态，其本征值也可以是负数。在本例中是实数，是相干态在相干态中，各种的成份都有，相应的几率为 这表明粒子数是不固定的(粒子即光子)粒子数分布为泊松分布.(试与B-E分布比较)。 B-E分布为： 此外，相干态的各之间的相角是固定的。这一点与波函数不同。
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