5 正交试验设计.ppt

1 第五章正交试验设计 5 1正交设计简介 5 2正交设计的基本步骤 5 3正交设计的直观分析 5 4正交试验的方差分析 2 5 1正交设计简介 问题的提出对于单因素或双因素试验 因其因素少 试验的设计比较简单 但实际上 常需要考虑3个以上的因素 若进行全面试验 则试验的规模将很大 往往因试验条件的限制而难于实施 正交试验设计就是安排多因素试验 寻求最优化水平组合的一种高效率试验设计方法 下一张 主页 退出 上一 3 1 1正交设计的基本概念正交试验设计是利用正交表来安排与分析多因素试验的一种设计方法 根据均衡搭配 综合可比的思想 从全部水平组合中 挑选部分有代表性的水平组合进行试验 从部分试验结果中了解全面试验的情况 从而找出最优的水平组合 下一张 主页 退出 上一张 1正交设计的概念及原理 4 1 2正交设计的基本特点用部分试验来代替全面试验 通过对部分试验结果的分析 了解全面试验的情况 当交互作用存在时 有可能出现交互作用的混杂 即忽略了部分交互作用来减少试验次数 如对于上述3因素3水平试验 若不考虑交互作用 可利用正交表L9 34 安排 试验方案仅包含9个水平组合 而全面试验方案包含27个水平 下一张 主页 退出 上一张 5 下一张 主页 退出 上一张 表5 1 6 附 正交表L9 34 注 任意两列的交互作用列为另外两列 7 3因素3水平的全面试验水平组合数为33 27 4因素3水平的全面试验水平组合数为34 81 5因素3水平的全面试验水平组合数为35 243 这在科学试验中是做不到的 下一张 主页 退出 上一张 8 2正交表及其基本性质 2 1正交表表5 2是一张正交表 记号为L8 27 其中 L 代表正交表 L右下角的数字 8 表示有8行 用这张正交表安排试验包含8个处理 水平组合 括号内的底数 2 表示因素的水平数 括号内2的指数 7 表示有7列 用这张正交表最多可以安排7个2水平因素 下一张 主页 退出 上一张 9 下一张 主页 退出 上一张 表5 2 10 L8 27 二列间交互作用列表 11 正交表的记号及含义 记号及含义 12 常用的正交表已由数学工作者制定出来 供进行正交设计时选用 2水平正交表除L8 27 外 还有L4 23 L16 215 等 3水平正交表有L9 34 L27 213 等 详见附表8及有关参考书 下一张 主页 退出 上一张 13 2 2正交表的基本性质 2 2 1均衡性任一列中 各水平都出现 且出现的次数相等例如L8 27 中不同数字只有1和2 它们各出现4次 L9 34 中不同数字有1 2和3 它们各出现3次 14 2 2 2正交性任两列之间各种不同水平均衡搭配 出现的次数相等 即每个因素的一个水平与另一因素的各个水平可能组合次数相等 表明任意两列各个数字之间的搭配是均匀的 例如L8 27 中 1 1 1 2 2 1 2 2 各出现2次 L9 34 中 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3 各出现1次 下一张 主页 退出 上一张 15 2 2 3代表性 1 任一列的各水平都出现 使得部分试验中包括了所有因素的所有水平 2 任两列的所有水平组合都出现 使任意两因素间的试验组合为全面试验 3 加上正交表的正交性 试验点均衡分布在全面试验点中 具有很强的代表性 因此 部分试验寻找的最优条件与全面试验所找的最优条件 具有一致的趋势 16 注意 利用正交表的交互作用表 可以查出任意两列的交互作用列 若需考察其交互作用时 则该列不安排试验 一般3因素以上的二级交互作用忽略不计 17 2 3正交表的类别 1 等水平正交表 规则表 各列水平数相同的正交表 称为等水平正交表 如L4 23 L8 27 L12 211 等各列中的水平为2 称为2水平正交表 L9 34 L27 313 等各列水平为3 称为3水平正交表 2 混合水平正交表 不规则表 各列水平数不完全相同的正交表 称为混合水平正交表 如L8 4 24 表有1列水平数为4 有4列水平数为2 再如L16 44 23 L16 4 212 等都混合水平正交表 下一张 主页 退出 上一张 18 5 2正交设计的基本步骤 正交试验设计是简单 常用的一种试验设计方法 其设计基本程序如下图所示 正交试验设计的基本程序 试验方案设计试验结果分析 19 试验目的与要求 试验指标 选因素 定水平 选择合适正交表 表头设计 列试验方案 试验方案设计 试验结果分析 20 实例 为提高某化工产品的合成率 用缩合工艺进行优化 拟通过正交试验来寻找最佳工艺条件 试验方案设计 1 明确试验目的 确定试验指标本试验目的是为了提高化工产品的合成率 合成率即为试验测定指标 21 下一张 主页 退出 上一张 根据专业知识 以往的研究结果 从影响试验指标的诸多因素中 筛选出需要考察的试验因素 确定因素时 应优先考虑对试验指标影响大的因素 尚未考察过的因素 尚未完全掌握其规律的因素 确定每个因素的水平 一般以2 4个水平为宜因素的水平间距 应根据专业知识和已有的资料 尽可能把水平值取在理想区域 2 选因素 定水平 列因素水平表 22 表5 3因素水平表 23 根据因素 水平及需要考察的交互作用来选择 选择的原则是在能够安排下试验因素和互作的前提下 尽可能选用较小的正交表 以减少试验次数 试验因素的水平数应等于正交表中的水平数因素个数 含交互作用 应不大于正交表的列数 各因素及互作的自由度之和要小于所选正交表的总自由度 以便估计试验误差 即留有空列 若各因素及互作的自由度之和等于所选正交表总自由度 则可采用重复试验来估计试验误差 3 选择合适的正交表 24 LN qs 正交设计 试验总次数 行数 因素水平数 因素个数 列数 等水平正交表LN qS 25 列 正交表的列数c 因素所占列数 交互作用所占列数 空列 自由度 正交表的总自由度 a 1 因素自由度 交互作用自由度 误差自由度 正交表选择依据 26 此例有4个3水平因素 可以选用L9 34 或L27 313 因本试验仅考察4个因素对液化率的影响效果 不考察因素间的交互作用 故宜选用L9 34 正交表 若要考察交互作用 则应选用L27 313 下一张 主页 退出 上一张 27 所谓表头设计 就是把试验因素和交互作用分别安排到正交表各列中去的过程 不考察交互作用时 各因素随机排在各列上 若考察交互作用 应按所选正交表的交互作用列表安排各因素与交互作用 以防止设计 混杂 此例不考察交互作用 可将温度A 甲醇钠量B 戊醛量C 缩合剂量D依次安排在L9 34 的第1 2 3 4列上 见表5 4所示 4 表头设计 表5 4表头设计 28 把正交表中安排各因素的列 不包含欲考察的交互作用列 中的每个水平数字 换成该因素的实际水平值 便形成了正交试验方案 表5 5 下一张 主页 退出 上一张 5 编制试验方案 进行试验 记录试验结果 29 表5 5试验方案及试验结果 说明 试验号并非试验顺序 为了排除误差干扰 试验中可随机进行 安排试验方案时 部分因素的水平可采用随机安排 30 5 3正交设计的直观分析 1 试验结果分析框图2 试验结果分析内容3 试验结果的直观分析 31 进行试验 记录试验结果 试验结果极差分析 计算K值 计算k值 计算极差R 因素指标趋势图 优化水平 因素主次顺序 优化组合 结论 1 试验结果分析框图 试验结果方差分析 列方差分析表 进行F检验 计算各列偏差平方和 自由度 分析检验结果 写出结论 32 2试验结果分析内容 分清各因素及其交互作用的主次顺序 分清哪个是主要因素 哪个是次要因素 判断因素对试验指标影响的显著程度 找出试验因素的优化水平和试验范围内的最优组合 即试验因素各取什么水平时 试验指标最好 分析因素与试验指标之间的关系 即当因素变化时 试验指标是如何变化的 了解各因素之间的交互作用 估计试验误差 极差分析方差分析 33 Kjm kjm 计算简便 直观 简单易懂 是正交试验结果分析最常用方法 以上例为实例来说明极差分析过程 3试验结果的直观分析 3 1直观分析法 极差分析法 极差分析法 R法 1 计算 2 判断 Rj 因素主次 优化水平 优化组合 34 Kjm为第j列因素m水平所对应的试验指标和 为Kjm平均值 由kjm大小可以判断第j列因素优化水平和优化组合 Rj为第j列因素的极差 Rj越大 说明该因素的影响越大 根据Rj大小 可以判断因素的主次顺序 35 1 确定试验因素的优化水平和最优化水平组合分析A因素各水平对试验指标的影响 由表5可以看出 A1的影响反映在第1 2 3号试验中 A2的影响反映在第4 5 6号试验中 A3的影响反映在第7 8 9号试验中 3 1 1不考察交互作用的试验结果分析 36 A因素的1水平所对应的试验指标之和为 KA1 y1 y2 y3 0 17 24 41 kA1 KA1 3 13 7 A因素的2水平所对应的试验指标之和为 KA2 y4 y5 y6 12 47 28 87 kA2 KA2 3 29 A因素的3水平所对应的试验指标之和为 KA3 y7 y8 y9 1 18 42 61 kA3 KA3 3 20 3 37 根据正交设计的特性 对A1 A2 A3来说 三组试验的试验条件具有综合可比性 可进行直接比较 如果因素A对试验指标无影响时 那么kA1 kA2 kA3应该相等 因此 根据kA1 kA2 kA3的大小可以判断A1 A2 A3对试验指标的影响大小 由于试验指标 合成率 kA2 kA3 kA1 所以可断定A2为A因素的优化水平 可列在试验结果表格下 38 同理 可以计算并确定B3 C3 D1分别为B C D因素的优化水平 四个因素的优化水平组合A2B3C3D1为本试验的最优化水平组合 即缩合法生产某化工产品的最优工艺条件为温度为50 甲醇钠量为7mL 戊醛量为50mL 缩合剂为3 5mL 39 根据极差Rj的大小 判断各因素对试验指标的影响主次 本例极差Rj计算结果见表5 6 比较各R值大小 可见RB RA RD RC 所以因素对试验指标影响的主 次顺序是BADC 即甲醇钠最大 其次是温度和缩合剂 而戊醛的影响较小 2 确定因素的主次顺序 40 3 绘制因素与指标趋势图 以各因素水平为横坐标 试验指标的平均值 kjm 为纵坐标 绘制因素与指标趋势图 由因素与指标趋势图可以更直观地看出 试验指标随着因素水平的变化而变化的趋势 可为进一步试验指明方向 41 表5 6试验结果分析 42 总结 1 计算各因素的极差R R表示该因素在其取值范围内试验指标变化的幅度 2 根据极差大小 判断因素的主次影响顺序 R越大 表示该因素的水平变化对试验指标的影响越大 因素越重要 3 作因素与指标趋势图 直观分析出指标与各因素水平波动的关系 4 选优化组合 即根据各因素各水平的平均值确定优化水平 进而选出优化组合 43 例2 混合型正交表试验设计与极差分析 试验设计与结果分析同前 某人造板厂生产胶压板 为确保产品质量 现通过正交试验来寻求理想的工艺参数 表5 7因素水平表 44 表5 8L8 4 24 正交表 45 表5 9试验结果与直观分析 46 1 交互作用 因素间的相互搭配对试验指标产生的影响称为交互作用 对于存在交互作用 设计时应引起重视 在试验设计中 表示A B间的交互作用记作A B 称为1级交互作用 表示因素A B C之间的交互作用记作A B C 称为2级交互作用 依此类推 还有3级 4级交互作用等 3 1 2考察交互作用的试验结果分析 47 2 交互作用的处理原则 试验设计中 交互作用安排在交互作用列上 作为因素对待 且计算简单 L8 27 48 综合考虑试验目的 专业知识 以往的经验及现有试验条件等多方面情况进行交互作用选择 一般原则是 忽略高级交互作用 有选择地考察一级交互作用 通常只考察那些作用效果较明显的 或试验要求必须考察的 试验允许的条件下 试验因素尽量取2水平 49 3 有交互作用的试验表头设计 表头设计时 必须严格按交互作用列表进行安排 为了避免混杂 主要因素 重点要考察的因素 涉及交互作用较多的因素 应该优先安排 次要因素 不涉及交互作用的因素在后安排 混杂 指在正交表的同列中 安排了两个或两个以上的因素或交互作用 这样 就无法区分同一列中是因素 还是交互作用对试验指标的影响 50 4 有交互作用的正交设计实例 例 某一种抗菌素的发酵培养基由A B C三种成分组成 各有两个水平 除考察A B C三个因素的主效外 还考察A与B B与C的交互作用 试安排一个正交试验方案并进行结果分析 51 选用正交表 作表头设计由于本试验有3个两水平的因素和两个交互作用需要考察 各项自由度之和为 3 2 1 2 2 1 2 1 5 因此可选用L8 27 来安排试验方案 正交表L8 27 中有基本列和交互列之分 共有7列 可利用L8 27 二列间交互作用列表来安排各因素和交互作用 52 53 如果将A因素放在第1列 B因素放在第2列 查表可知 第1列与第2列的交互作用列是第3列 于是将A与B的交互作用A B放在第3列 这样第3列不能再安排其它因素 以免出现 混杂 然后将C放在第4列 查表6 30可知 B C应放在第6列 余下列为空列 如此可得表头设计 见表5 10 54 表5 10表头设计 列出试验方案根据表头设计 将A B C各列对应的数字 1 2 换成各因素的具体水平 得出试验方案列于表5 10 55 结果分析按表所列的试验方案进行试验 其结果分析与前面并无本质区别 只是应把互作当成因素处理进行分析 根据互作效应 选择优化组合 56 极差分析法简单明了 通俗易懂 计算工作量少 但不能区分因素各水平间的差异和试验误差的差异 无法估计试验误差的大小 不能判断因素的作用是否显著 为了弥补极差分析的缺陷 可采用方差分析 下一张 主页 退出 上一张 3 2正交试验结果的方差分析 57 总平方和 各列因素平方和 误差平方和 5 4正交试验的方差分析方法1 方差分析方法 1 平方和分解 2 自由度分解 58 4 构造F统计量 5 列方差分析表 作F检验 若计算出的F值F Fa 则该因素或交互作用对试验结果有显著影响 3 方差 59 2 正交试验方差分析说明 进行F检验时 使用误差平方和SSe及其自由度dfe 因此 所选正交表应留出一定空列 当无空列时 应进行重复试验 以估计试验误差 误差自由度一般 2 dfe很小 F检验灵敏度很低 即使因素对试验指标有影响 用F检验也判断不出来 60 为了增大dfe 提高F检验的灵敏度 在进行显著性检验之前 先将各因素和交互作用的方差与误差方差比较 若MS因 MS交 2MSe 可将交互作用的平方和 自由度并入误差平方和 自由度 这样使误差的平方和和自由度增大 提高F检验的灵敏度 61 表5 11L9 34 正交表 分析第1列因素时 其它列暂不考虑 将其看做条件因素 因素A第1水平3次重复测定值 因素A第2水平3次重复测定值 因素A第3水平3次重复测定值 单因素试验数据资料格式 62 表5 12Ln mk 正交表及计算表格 63 总平方和 列平方和 试验总次数为n 每个因素水平数为m个 每个水平作r次重复r n m 当m 2时 64 总自由度 因素自由度 65 3 不考虑交互作用等水平正交试验方差分析 例3 某厂采用吸收塔吸收废气中的SO2 为了使废气中的SO2达标排放 通过正交试验确定工艺条件 试验因素水平表和结果分别见表5 12 5 13 试进行方差分析 表5 12因素水平表 66 表5 14试验方案及结果分析表 67 1 计算 计算各列各水平的和 K值 及其平方 计算各列平方和及自由度 同理 SSB 6 49 SSC 0 31SSe 0 83 空列 68 自由度 dfA dfB dfC dfe 3 1 2 方差 69 2 显著性检验 70 因素A高度显著 因素B显著 因素C不显著 因素主次顺序A B C 3 优化工艺条件的确定 本试验指标越大越好 对因素A B分析 确定优化水平为A3 B1 因素C的水平改变对试验结果几乎无影响 从经济角度考虑 选C1 优化水平组合为A3B1C1 即温度为50 填料种类为甲 加碱量为5 0 71 4 考虑交互作用正交试验方差分析 例 用石墨炉原子吸收分光光度法测定食品中的铅 为了提高测定灵敏度 希望吸光度越大越好 现研究影响吸光度的因素 确定最佳测定条件 1 计算 计算各列各水平对应数据之和K1j K2j及 K1j K2j 计算各列偏差平方和及自由度 72 表5 16试验方案及结果分析表 73 2 显著性检验 因素B极显著 其它因素A C及交互作用A B A C B C均不显著 74 3 优化条件确定 交互作用均不显著 确定因素的优化水平时可不考虑交互作用的影响 对显著因素B 通过比较K1B和K2B的大小确定优化水平为B2 同理A取A2 C取C1或C2 优化组合为A2B2C1或A2B2C2 对于显著因素 根据各水平所反映的测定指标值选取优化水平 对不显著因素 可视具体情况确定优化水平 75 5 混合型正交试验方差分析 混合型正交试验方差分析与等水平正交试验方差分析没有本质区别 1 计算 76 自由度计算 77 78 2 显著性检验 因素A显著 因素C不显著 因素B对试验结果无影响 各因素作用的主次顺序为 A C B 79 3 优化条件的确定 通过比较因素A各水平的测定值之和 K值 可确定其优化水平为A3 因素B不显著 可根据情况确定优化水平 因素C对试验结果无影响 为缩短加工时间 应选C1 因此 优化工艺条件为A3B1C1或A3B2C1 80 上述均属无重复正交试验结果的方差分析 其误差是由 空列 来估计的 然而 空列 实际上被未考察的交互作用所占据 这种误差既包含试验误差 也包含交互作用 称为 混杂 或称模型误差 若交互作用不存在 用模型误差估计试验误差是可行的 若因素间存在交互作用 则模型误差会夸大试验误差 有可能掩盖考察因素的显著性 这时 最好通过重复来估计试验误差 下一张 主页 退出 上一张 81 6 重复试验的方差分析 重复试验 就是将同一处理重复若干次 从而得到同一条件下的若干次试验数据 正交表的各列都已安排满因素或交互作用 没有空列 为了估价试验误差和进行方差分析 需要进行重复试验 正交表的列虽未安排满 但为了提高统计分析精确性和可靠性 往往也进行重复试验 重复试验的方差分析与无重复试验的方差分析没有本质区别 除误差平方和 自由度的计算有所不同 其余各项计算基本相同 82 1 假设每个处理重复数为s 在计算K1j K2j 时 是以各号试验下 s个试验数据之和 进行计算 2 重复试验时 总平方和SST及自由度dfT按下式计算 式中 n 正交表试验号S 各处理重复数Xit 第i号试验第t次重复试验数据T 所有试验数据之和 包括重复试验 83 3 重复试验时 各列平方和计算公式中的水平重复数改为 水平重复数乘以试验重复数 修正项CT也有所变化 SSj的自由度dfj为水平数减1 4 重复试验时 总误差平方和包括空列误差SSe1和重复试验误差SSe2 即 自由度dfe等于dfe1和dfe2之和 即 84 Se2和dfe2的计算公式如下 5 重复试验时 用检验各因素及其交互作用的显著性 当正交表各列都已排满时 可用来检验显著性 85 例4 在某物质的合成中 脱囊衣处理是关键工艺 为寻找酸碱二步处理法的最优工艺条件 安排4因素4水平正交试验 因素及水平见下表 重复3次 试验指标是脱囊衣质量 根据囊衣是否脱净 破坏率的高低等感官指标综合评分 满分为10分 试作方差分析 86 87 1 计算各列各水平K值 2 计算各列平方和及其自由度 同理 可计算SSB 33 42 SSC 29 01 SSD 13 54 SSe1 9 65 88 dfA dfB dfC dfD 4 1 3 dfe1 df空列 4 1 3 dfe2 n s 1 16 3 1 32 3 计算方差 89 显著性检验 90 确定最优条件 4个因素的作用极显著 因素作用的主次顺序为A B C D 通过比较Kij值 可确定各因素的最优化水平为A3 B4 C3 D3 最优化水平组合A3B4C3D3 91 92 附 正交试验设计的灵活运用 1并列设计法 并列法是由标准正交表安排水平数不等的正交试验的常用方法 1 问题的提出 例 为研究塑料薄膜袋保鲜柑桔的贮藏效果和贮藏过程中维生素C变化规律 欲安排4因素多水平正交试验 试验因素水平表见表5 32 试验指标为维生素C含量 mg 100g 因素A取四个水平 因素B C D取二个水平 要求考察交互作用AB AC BC 93 考虑交互作用的混合水平正交试验问题 表5 32因素水平表 总自由度为 本试验可选混合水平正交表来安排试验 94 1 1 1 1 2 2 2 1 3 2 2 4 如何安排交互作用 若无法查 如何使用L16 215 设计的 2 正交表的并列 以L16 215 为例来说明 首先从L16 215 中任取两列 比如取第1 2两列 将此两列同行的水平数看成4种有序对 1 1 1 2 2 1 2 2 将每一种有序数对分别对应一个水平 即 于是第1 2列就变成具有4水平的新列 再将1 2列的交互作用列 即第3列 从正交表中划去 因为它已不能在安排任何因素 L16 215 95 正交表任两列的交互作用仍可由使用表查出 3 表头设计 并列后的正交表的表头设计与等水平正交表的表头设计一样 必须遵循不混杂原则 表5 33表头设计 表头设计时 首先将四水平因素A放在四水平列上 把因素B放在第4列上 则AB交互作用列为第5 6 7列 再把C因素放在第8列 则AC交互作用列为第9 10 11列 BC交互作用列为第12列 最后把因素D放在第13列上 第14 15列为空列 用于估计试验误差 96 表5 33试验方案及结果计算表 4 方差分析 改造后的正交表的方差分析方法与一般正交表相同 97 方差分析表见表5 34 表5 34方差分析表 结论 因素A C D及交互作用A C高度显著 交互作用A B不显著 因素B 交互作用B C对试验结果无影响 因素主次顺序为A C A C D A B 通过比较Ki的大小 可确定A的优化水平为A3 C D优化水平为C2 D1 优化组合为A3BC2D1 98 2拟水平设计法 在正交设计