3.6 受约束回归.ppt

3 6受约束回归在建立回归模型时 有时根据经济理论需对模型 中变量的参数施加一定的约束条件 例如上节建立的 中国城镇居民对食品的消费需求函数时 根据需求函 数的理论 它应满足零阶齐次性条件 即双对数线性 模型中各变量前的参数和为零 同样地 在估计以幂 函数的形式表示的生产函数模型时 有时也施加产出 关于资本与劳动的弹性和为1的约束 模型施加约束条件后进行回归 称为受约束回归 restrictedregression 不加任何约束的回归称为无约束回归 unrestrictedregression 受约束回归 一 模型参数的线性约束 二 对回归模型增加或减少解释变量 一 模型参数的线性约束 一般的 对模型 kXk Y 0 1X1 2X2 施加约束 1 2 1 k 1 k 得 Y 0 1X1 1 1 X2 或 Y 0 1X1 3X3 3 6 1 k 1Xk 1 3 6 4 如果对 3 6 4 式OLS得出 0 1 3 k 1 则由约束条件可得 2 1 1 k k 1 3 6 2 k 1Xk 1 k 1Xk 3 6 3 然而 对所考查的具体问题能否施加约束 需进一步进行相应的检验 常用的检验有 F检验 x2检验与t检验 主要介绍F检验在同一样本下 记无约束样本回归模型为 Y X e受约束样本回归模型为Y X e 3 6 5 3 6 6 于是e Y X X e X e X e e e XX e 受约束样本回归模型的残差平方和RSSR 于是 e e e e 3 6 8 3 6 7 e e为无约束样本回归模型的残差平方和RSSU在 3 6 5 式与 3 6 6 式两个回归模型中 有着相同的解释变量Y与相同的数据样本 于是受约束与无约束模型都有相同的TSS 由 3 6 8 式从而 RSSR RSSUESSR ESSU 这意味着 通常情况下 对模型施加约束条件会降低模型的解释能力 RSSR n kR 1 但是 如果约束条件为真 则受约束回归模型与无约束回归模型具有相同的解释能力 RSSR与RSSU的差异变小 可用RSSR RSSU的大小来检验约束的真实性根据数理统计学的知识 RSSU 2 2 n kU 1 22 RSSR RSSU 2 2 kU kR 3 6 9 3 6 10 3 6 11 其中kU kR分别为无约束与受约束回归模型的解释变量的个数 不包括常数项 于是可通过计算 3 6 11 式的x2统计量来进行相应的x2检验 当然 由于随2机干扰项 2往往未知 检验时需要用它的估计量 替代 当约束条件为真时 由 3 6 9 式和 3 6 11 式可进一步得到如下的F统计量 F kU kR n kU 1 RSSR RSSU kU kR RSSU n kU 1 F 3 6 12 F统计量无需估计随机干扰项的方差 2 讨论 如果约束条件无效 RSSR与RSSU的差异较 大 计算的F值也较大 于是 可用计算的F统计量的值与所给定的显 著性水平下的临界值作比较 对约束条件的真实性进行检验 注意 kU kR恰为约束条件的个数 0 231 0 003315 0 003240 10 003240 10 F 取 5 查得临界值F0 05 1 10 4 96判断 不能拒绝中国城镇居民对食品的人均消费需求函数具有零阶齐次特性这一假设 例3 6 1中国城镇居民对食品的人均消费需求实例中 对零阶齐次性检验 无约束回归 RSSU 0 00324 kU 3受约束回归 RSSR 0 00332 KR 2样本容量n 14 约束条件个数kU kR 3 2 1 这里的F检验适合所有关于参数线性约束的检验如 多元回归中对方程总体线性性的F检验 j 1 2 k H0 j 0这里 受约束回归模型为Y 0 F ESSU kRSSU n k 1 TSS RSSU kRSSU n k 1 TSS ESSR RSSU kRSSU n k 1 RSSR RSSU kU kR RSSU n kU 1 这里 运用了ESSR 0 二 对回归模型增加或减少解释变量 在建立回归模型时 一个重要的问题是如何判断增加重要的解释变量或去掉不必要的解释变量 t检验可对单个变量的取舍进行判断 而上面介绍的F检验除能对单个变量的取舍进行判断外 还可以对多个变量的同时取舍进行判断 考虑如下两个回归模型 kXk Y 0 1X1 k qXk q kXk k 1Xk 1 Y 0 1X1 3 6 13 3 6 14 3 6 13 式可看成是 3 6 14 式施加如下约束条件的受约束回归 H0 k q 0 k 1 k 2 相应的 统计量 为 F ESSU ESSR qRSSU n k q 1 RSSR RSSU qRSSU n k q 1 3 6 15 F q n k q 1 3 6 16 因为TSS ESSR RSSR ESSU RSSU 如果约束条件为真 即额外的变量Xk 1 Xk q 对 没有解释能力 则 统计量较小 否则 约束条件为假 意味着额外的变量对 有 较强的解释能力 则 统计量较大 因此 可通过F的计算值与临界值的比较 来判断 额外变量是否应包括在模型中 讨论 RU RR q