行列式习题.doc

行列式计算方法很多，技巧性较强，必须多练习，不断总结、积累拿到一道题首先要分析行列式的特点及其元素的规律性，针对其特征，选用适当的方法1、=上面第二、三步是都是逐级按第二行展开。如果能化为三角形则更好。又解如下：=2、=3、1）=2）=160。此题两个行列式各行（列）元素的和都相等。方法是把各行（列）都加到一行（列）上去4、=。对后面的行列式我们有=(m)n15、=6、,记行列式为D, D中一二行及三四行有较多相同元素，因此第二行减第一行，第四行减第三行，原式再按第二行展开，得或解: D为x的四次多项式，x=1, 2时D中有两行相等，由行列式的性质可知此时D=0，再由零点定理可知必有D=a, 取x=0代入左式, 算得12=4a，得a=3。7、=0（因第二行与第四行元素相同）8、0，解方程。此题解答的方法多多。解法一：笨笨地4列减3列3列减2列2列减1列,有解法二：然后再各行都减第四行，第一行提取x+3,第二行提取x-1,第三行提取x-2,记剩下的行列式值为d,有d x(x+3) (x-1)( x-2)=0得解.解法三：（最巧妙的方法）由两行相同行列式值为0的性质，观察得x分别为0,1,2,3。Hint: 由6、7、8题看到我们可以利用两行相同行列式值为0的性质来计算行列式。9、= 10、解一: 数学归纳法尝试按第一列展开，原式=有两项，一为下三角，另一为是n阶同样类似的，就是降了一阶！这样的题用数学归纳法较合适。n=1时，这时是个二阶行列式：=x1+a1.根本看不出规律，再尝试n=2时，行列式=x1x2+x1a2+x1a2.这题很抽象,一下很难归纳不出结果, 于是再试到n=3,看到行列式=.因此假设n1时,行列式=通过推导可得最后应该是n 时有一般结论,n时解二: 原式=11、设矩阵为n+1阶，且记为A=，A=按第一列展开，得A=把其他列全加到第一列, 所以，A=n。12加边法（或称升阶法）的实例（13、14）：13、=第j+1行减第一行乘xj(j=1,2,n)，原式=14、= =a2a3a4+a1=a2a3a4+a1= a2a3a4+a1=a2a3a4+ 解法二：（升阶法） 按第一行展开就得原式=a2a3a4+此题可推广到n的情形。15、设 ， 其中是互不相同的数。1)由行列式定义，说明是一个次多项式；2)由行列式性质，求的根。解：1）因为所给行列式的展开式中只有第一行含有，所以若行列式的第一行展开时，含有的对应项的系数恰为乘一个范德蒙行列式 于是，由为互不相同的的数即知含有的对应项的系数不为0，因而为一个次的多项式。2） 若用分代替时，则由行列式的性质知所给行列式的值为0，即.故至少有个根.又因为是一个次的多项式，所以必是的全部根。 16计算下面的行列式： 1） 2） 3） 6） 解：1） 原式= = 。 2）原式= =。3）原式=4) 原式=0 。 17算出下列行列式的全部代数余子式： 1） 2） 解：1） 。 2）， 。 18计算下面的行列式： 1） 2） 3） 4） 解：1）原式= = 。 2）原式= =-=- 。3） 原式= =-=3 。3） 原式= = =-=- 。 19计算下列阶行列式： 1） 2） 3） 4） 解：1）按第一列展开，原式=。 2）从第2列起各列减去第1列 原式= 当时，原式=0；当时，原式=； 当时，原式=。3）原式= =！。4）各列加到第1列得到 原式= = 。20.证明： 1） 。 2） 。 证明：1）将所给行列式记为，按第1列展开得， 即， 此式对一切都成立.故递推得， 在中的地位是一样的，故同理可得 ， 所以 ，从而 =右边。2）对2阶行列式，有， 此时结论成立。 假设对阶数小于的行列式结论皆成立，则对阶行列式按最后一行展开，得，因为 ，代入可得 故对一切结论成立，即证。 21、计算： Dn,=。类似有Dn，解得Dn21计算：22、证明：证：n=2时，=3， n=3时，有=3+1为叙述简便,原行列式记为Dn，设n=k1时命题成立。即Dk-1=k.n=k时Dk按第一行展开，有=2Dk-1Dk-2,正好是2倍的k-1阶行列式减一个k-2阶行列式由假设,就有Dk=2k-(k-1)=k+1. 综合以上，即得Dn=n+1.解法二(递推法):由上面已糏知道这题有Dn=2Dn-1-Dn-2,移项有DnDn-1=Dn-1Dn-2的递推关系，即任何阶的行列式与它的低一阶的行列式的差都相等。现在由D2=3，D3=4知道这个差是1！又D2=2+1，所以D3=3+1，依次类推证得Dn=n+1.23、选择题：1）与不相等的是（ ）DA. B. C. D. 2）列式 中代数余子式A23 =（ ）CA. B. C. D. 3）如果有非零解，则（ ）DD 即系数行列式，A . k = 0 B . k = 1 C . k = 2 Dk = 1，321用克莱姆法则解： 1）