染色问题探究.doc

排列组合题型拓展一、涂色问题1、引例：引例1(2001年全国高中数学联赛第12题)在一个正六边形的6个区域栽种观赏植物，如右图，要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物现有四种不同的植物可供选择，则有_种栽种方案引例2(2003年全国高考新课程卷理工第15题)某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图），现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有_种（以数字作答）引例2分析： 首先栽种第1部分，有种栽种方法； 然后问题就转化为用余下3种颜色的花，去栽种周围的5个部分（如 右图所示），此问题和引例1是同一题型，因此我们有必要对这一题型 的解法做一深入探讨。2、剖析为了深入探讨这一题型的解法，（1）让我们首先用m（m3）种不同的颜色（可供选择），去涂4个扇形的情形（要求每一个扇形着一种颜色，相邻扇形着不同颜色），如图所示以1和3（相间）涂色相同与否为分类标准： 1和3涂同一种颜色，有m种涂法；2有m1种涂法，4也有m1种涂法， 共有 种涂法。1和3涂不同种颜色，有种涂法；2有m2种涂法，4也有m2种涂法， 共有 种涂法。综合和，共有+种涂法。（）下面来分析引例1(2001年全国高中数学联赛第12题)在一个正六边形的6个区域栽种观赏植物，如右图，要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物现有四种不同的植物可供选择，则有_种栽种方案以A、C、E（相间）栽种植物情况作为分类标准：A、C、E栽种同一种植物，有4种栽法；B、D、F各有3种栽法， 共有 4333108 种栽法。B、D、F共有322 种栽法（：若A、C栽种同一种植物，则B有3 种栽法，D、F各有2种栽法）， A、C、E种3种植物，有栽法；B、D、F各有2种栽法， 共有 222192 种栽法。综合、，共有 108+432+192=732种栽法。（）上述(1)、(2)给出了“设一个圆分成P1，P2，Pn，共n（n为偶数）个扇形，用m种不同的颜色对这n个扇形着色（m3，n3），每一个扇形着一种颜色，相邻扇形着不同颜色，共有多少种不同的着色方法”这类问题的一般解题思路：即 以相间扇形区域的涂色情况作为分类标准，再计算其余相间扇形区域的涂色种数。（4） 那么，“设一个圆分成P1，P2，Pn，共n（n为奇数）个扇形，用m种不同的颜色对这n个扇形着色（m3，n3），每一个扇形着一种颜色，相邻扇形着不同颜色，共有多少种不同的着色方法” 这类问题的解题思路又如何呢？分析： 对 扇形P1有m种涂色方法，扇形P2有m1种涂色方法，扇形P3也有m1种涂色方法，扇形Pn也有m1种涂色方法于是，共有种不同的涂色方法。但是，这种涂色方法可能出现P1与Pn着色相同的情形，这是不符合题意的，因此，答案应从中减去这些不符合题意的涂色方法。那么，这些不符合题意的涂色方法，又怎样计算呢？这时，把P1与Pn看作一个扇形，其涂色方法相当于用m种颜色对n1（n1为偶数）个扇形涂色（这种转换思维相当巧妙）。而用m种颜色对偶数个扇形的涂色问题，已在上述的（）中给出了解题思路。下面，就让我们把这种解题思路应用于引例2(2003年全国高考新课程卷理工第15题)某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图），现要栽 种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有_种（以数字作答）分析： 首先栽种第1部分，有种栽种方法； 然后问题就转化为用余下3种颜色的花，去栽种周围的5个部分（如右图所示）， 对 扇形2有3种栽种方法， 扇形3有2种栽种方法，扇形4也有2种栽种方法， 扇形5也有2种栽种方法，扇形6也有2种栽种方法于是，共有种不同的栽种方法。但是，这种栽种方法可能出现区域2与6着色相同的情形，这是不符合题意的，因此，答案应从中减去这些不符合题意的栽种方法。这时，把2与6看作一个扇形，其涂色方法相当于用3种颜色的花对4个扇形区域栽种（这种转换思维相当巧妙）。而用3种颜色的花对4个扇形区域的栽种问题，已在上述的（1）中解决了。综合和，共有种栽法。当然此式中的18也可以直接用（1）中的公式算出：即3、拓展上面，我们分别就n为偶数和奇数给出了“设一个圆分成P1，P2，Pn，共n个扇形，用m种不同的颜色对这n个扇形着色（m3，n3），每一个扇形着一种颜色，相邻扇形着不同颜色，共有多少种不同的着色方法” 这类问题的解题思路。那么，这类问题有没有更为一般的解法（即通法）呢？ n为不小于3的整数分析： 设为符合要求的对n个扇形的涂色方法。对 扇形P1有m种涂色方法，扇形P2有m1种涂色方法，扇形P3也有m1种涂色方法，扇形Pn也有m1种涂色方法于是，共有种不同的涂色方法。但是，因为这种涂色方法可能出现P1与Pn着色相同的情形，这是不符合题意的，因此，答案应从中减去这些不符合题意的涂色方法。那么，这些不符合题意的涂色方法，又怎样计算呢？这时，把P1与Pn看作一个扇形，其涂色方法相当于用m种颜色对n1个扇形涂色（这种转换思维相当巧妙），不同的涂色方法有种，于是，有（n3）， 显然，上述的式就是数列的递推公式，由此，我们就可以推导出的通项公式：（读者若对这一推导有困难，我可以在人教论坛的“高中数学论坛” /lb5000/forums.cgi?forum=38 中发帖）至此，我们就找到了“设一个圆分成P1，P2，Pn，共n个扇形，用m种不同的颜色对这n个扇形着色（m3，n3），每一个扇形着一种颜色，相邻扇形着不同颜色，共有多少种不同的着色方法” 这类问题的通项公式：即 注意：上述问题中的m种颜色是可供选择的，而不是全部都要用上的。4、迁移练习1(2003年全国高考新课程卷理工第15题改编)某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图），每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，现有5种不同颜色的花可供选择，则不同的栽种方法有_种； 若要求5种不同颜色的花全部栽种，则不同的栽种方法有_种（以数字作答）2(2001年全国高中数学联赛第12题改编)在一个正六边形的6个区域栽种观赏植物，如右图，要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物现有四种不同的植物可供选择，则有_种栽种方案；若要求四种不同的植物全部栽种，则有_种栽种方案 参考答案：11200，600； 2732，480 待续附：第十章复习小结二项式定理二项式展开式通项公式二项式系数应用概率随机事件的概率等可能事件的概率互斥事件有一个发生的概率相互独立事件同时发生的概率相互独立事件同时发生的概率,独立重复试验应用排列、组合两个计数原理组合应用排列数公式排列的概念排列应用题组合数公式组合的概念组合数性质组合应用题排列组合应用第十章复习小结一 知识系统二 知识要点(一).两个计数原理:1.分类计数原理:做一件事,完成它可以有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法,在第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N= m1+ m2+ m2+ mn种不同的方法.(分类满足的条件是不重不漏).2.分步计数原理:做一件事,完成它需要分成n个步骤,做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法,做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N= m1 m2 m2 mn种不同的方法.(注意分步的标准,既不重步也不漏步).3.注意:两个原理是解决以后问题的基础,多数的问题在解决的最后,都可以归结到这两个原理上来,特别要注意分步与分类的区别.(二)排列1.排列的定义:从n个不同元素中,任取m(mn)个元素(被取出的元素各不相同),按照一定的顺序排成一列,叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列(有序性是排列的本质).2.排列数的定义:从n个元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数,叫做从n个元素中取出m个元素的排列数,用符号表示.3.排列数公式:(1)当mn时,排列称为选排列,排列数为(必须熟记.)(2)当m=n时,排列称为全排列,排列数为.规定.(3)排列数公式的另一种形式: (在计算,化简,证明中用途比较大).(4)两个性质:;.(三).组合1.组合的定义:从n个不同元素中,任取m(mn)个元素并成一组,叫做从n个元素中取出m个元素的一个组合(组合中的元素与顺序无关).2.组合数的定义:从n个元素中取出m(mn)个元素的所有组合的个数,叫做从n个元素中取出m个元素的组合数,用符号表示.3.组合数公式:(1)基本公式(必须熟记.)(2)组合数公式的另一种形式: (在计算,化简,证明中用途比较大).规定.(3)两个性质:;.(两个很重要的公式,一定要记住).4.排列组合常见问题解题策略:(1).特殊元素优先安排的策略;(2).合理分类与准确分步的策略;(3).排列、组合混合问题先选后排的策略;(4).正难则反、等价转化的策略;(5).相邻问题捆绑处理的策略;(6).不相邻问题插空处理的策略;(7).定序问题除法处理的策略;(8).分排问题直排处理的策略;(9).“小集团”排列问题中先整体后局部的策略;(10).构造模型的策略.(四)二项式定理1.二项式定理:一般地,对于任意正整数n,都有:这个公式所表示的定理叫做二项式定理,右边的多项式叫做的二项展开式,其中系数叫做二项式系数,式中的叫做二项式的通项公式,用表示,式展开式中的第r+1项.2.二项式系数的性质对称性:与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等,即.增减性与最大值:如果二项式的幂指数是偶数,中间一项的二项式系数最大;如果二项式的幂指数是奇数,中间两项的二项式系数相等并且最大.当n是偶数时,n+1是奇数,展开式共有n+1项,所以展开式有中间一项,并且这一项的二项式系数最大,最大为.当n是奇数时,n+1是偶数,展开式共有n+1项,所以展开式有中间两项,并且这两项的二项式系数相等并且最大,最大为.各项二项式系数的和:.奇数项的二项式系数和等于偶数项的系数和:.3.展开式中各项的系数和:只需要将变元值令为1,算出值即可.4.二项展开式中系数最大问题由二项式系数性质可知,当项数n是偶数时,展开式中二项式系数最大的项是中间项,最大为;当n是奇数时,展开式中二项式系数最大的项为中间两项,最大为.展开式中系数与二项式系数不同,设是展开式中项的系数,若项为系数最大的值,则必有.由此不等式组,可确定r的值,从而确定系数最大的项.(五)概率1.随机事件的概率(1)基本概念随机事件:在一定条件下可能发生也可能不发生的事件.必然事件:在一定条件下必然要发生的事件.不可能事件:在一定条件下不可能发生的事件.基本事件:一次试验连同其中出现的每一个结果称为一个基本事件.(2)随机事件的概率定义:一般地,在大量重复进行同一试验时,事件A发生的频率总是接近于某一个常数,在它附近摆动,这时就把这个常数叫做事件A的概率,记作:P(A).必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,所以随机事件的概率0P(A)1.(3)等可能事件的概率一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件,通常一次试验中的某一事件A由几个基本事件组成.如果一次试验中可能出现的结果有n个,即此试验由n个基本事件组成,而且每一个结果出现的可能性都相等,那么每一个基本事件的概率都是.如果某个事件A的结果有m个,那么事件A的概率为.求等可能事件的基本步骤:A.算出基本事件的总个数n;B.算出事件A中包含基本事件的个数m;C.算出事件A的概率,.2.互斥事件有一个发生的概率(1)基本概念:互斥事件:事件A与B不可能同时发生,这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件.对立事件:其中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件,事件A的对立事件记作.两个对立事件一定是互斥事件,反之两个互斥事件不一定是对立事件;两个事件对立是两个事件互斥的充分非必要条件;两个事件互斥是两个事件对立的必要非充分条件.(2)事件A+B的意义及其概率运算公式若事件A,B互斥,事件A+B的含义是A,B中有一个发生且只有一个发生,只有对于互斥事件才能运用概率运算的加法公式.如果事件A,B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B).如果事件A1,A2,A3,An彼此互斥,则P(A1+A2+An)= P(A1)+P(A2) +P(An).对立事件A与的概率和等于1,即.3.相互独立事件同时发生的概率(1)相关概念:相互独立事件:如果事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,那么这样的两个事件叫做相互独立事件.性质:如果事件A与B相互独立,那么也都