数形结合思想论文（11篇）.doc

数形结合思想论文（11篇）目录、新课程高一数学教学中的“数”与“形”、运用数形结合思想处理一类对称问题、联想为媒- 催化数形之结合、数形结合的思想方法的解题应用技巧、中学数学教学中“数形结合”思想的运用及实施、浅谈数学教学中的数形结合思想、浅谈数形结合思想在数学解题中的几点应用、数形结合在不等式中的应用、数形结合的思想方法-应用篇、数形结合的思想方法-高考题选讲、2010届新课标数学考点预测：数形结合的思想方法、新课程高一数学教学中的“数”与“形”潘晔晨 嘉兴市第三中学摘要： 以往的“数形结合”大多出现在教师的习题课中，以灌输为主，这并不完全符合新课程理念。应寻找一种办法，能使学生在上“数形结合”的习题课之前就自主地发现数形结合的存在，并自然地使用数形结合的方法解题。关键词： 新课程 高一 数形结合一、“数形结合”的重要性“数”与“形”作为数学中最古老最重要的两个方面，一直就是一对矛盾体。正如矛和盾总是同时存在一样，有“数”必有“形”，有“形”必有“数”。华罗庚先生曾说过：“数与形本是相倚依，怎能分作两边飞，数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！”寥寥数语，把数形之妙说得淋漓尽致。“数形结合”作为数学中的一种重要思想，在高中数学中占有极其重要的地位。关于这一点，查查近年高考试卷，就可见一斑。在多年来的高考题中，数形结合应用广泛，大多是“以形助数”，比较常见的是在解方程和不等式、求函数的最值问题、求复数和三角函数等问题中，巧妙运用“数形结合”思想解题，可以化抽象为具体，效果事半功倍。二、新课程背景下的“数形结合”如此重要的数学思想自然一直被作为重点贯穿于每位数学教师的教学中，笔者发现近年来关于“数形结合”的论文也是数不胜数，但其内容大多是一些可以用数形结合巧解的例题。笔者认为在讲解练习时强化“数形结合”固然是一种常用的有效的方法，但是也有缺点，就是学生是否能在老师提示之前自己想到“数形结合”的解法，如果不能，需要靠老师的提示完成，那么下次学生在碰到可以用“数形结合”巧解的题目时，是否还能想到要用“数形结合”来解。如果说需要强化多次才能使学生掌握这种方法的话，那么需要强化几次强化多久才算够？在课时安排非常紧张的高一阶段能否抽出大量时间去单独讲“数形结合”？如果学生在大量基础内容集中的高一阶段没有掌握好“数形结合”的话，是否会影响到后面的数学学习甚至高考？种种时间上的限制和教学策略上的缺憾使得“数形结合”这一重要数学思想即使只被当作一种解题方法都不容易实现，更别说把它提升到一定的理论高度去指导学生理解数学的结构。“为了每一位学生的发展”是新课改的核心理念，作为一个高中数学教师，笔者对此的理解是：以学生为本，以学生为主体，让学生自主获得更多的知识和能力。所以，对于上面提到的问题，笔者认为：1、数形结合必须要讲，高一开始就要讲。2、应对以前的灌输式教学作一些调整，具体策略是在平时上新课时就有目的地铺设一些细节使学生深入了解“数形结合”。这样做的目的就是让学生在老师提示用“数形结合”的解法前就自己想到用“数形结合”解题。三、 关注细节，让学生主动“数形结合”笔者在去年所教的2008届毕业班学生中，发现一个普遍的问题：一些能用“数形结合”巧解的题目，在自己做题时却想不到用“数形结合”，等老师提示后才恍然大悟，但下次再碰到却还是想不到要用“数形结合”。笔者认为，学生出现这样的问题，老师肯定是有责任的。问题应该是出在前面两年打基础的时候。所以这次教新高一时，在平时上课中（包括新课和习题课），有目的地强化了一些细节，具体做法如下：第一步，在新课中“数”、“形”并进，让学生见“数”想到“形”，见“形”不忘“数”。例如：在必修1第一章“集合”内容中，除了在数集运算中借助于画数轴解决外，还要重视韦恩图的运用。韦恩图作为集合的第三种表示方法，往往容易被学生忽略，如果老师上课时多用用韦恩图来处理集合的交、并、补等运算，学生就会感受到问题一旦形象化了，运算会很方便。在必修1第二章“函数”内容中，在解释指数函数和对数函数这对反函数时，除了像书本上那样讲之外，再增加一种“形”上的解释。即把一张画了指数函数图像的薄纸翻转过来从反面去观察，从而发现对数函数。在这一过程中（如图1所示），学生感受到了轴和轴的对调，以及互为反函数的两函数图像关于直线对称的性质，更好地理解了反函数的形成。 正面 翻转 背面 （图1） 在必修4第一章“三角函数”内容中，多多强调函数图像的作用，例如在三角函数值比较大小、求三角函数最值等题目中，尽量多用画图的方法解决。在必修4第二章“平面向量”内容中，由于向量同时具有“形”和“数”两个特点，是数形结合的桥梁，所以向量的题目往往有“数”和“形”两种解法。讲解例题时尽量讲两种解法，让学生理解：1、向量的有向线段表示法（即作图法）就是用平面几何知识解决向量问题，2、向量的坐标表示（即线性运算和数量积）可以把几何问题算出来。在必修5第二章“数列”内容中，用函数图像表示出等差等比数列的通项公式，这样学生就能很容易地分辨出等差数列和等比数列的通项公式。把等差数列的前项和公式画成函数图像，就能帮助学生理解等差数列的的最值问题。在必修5第三章“不等式”内容中，在解一元二次不等式时，结合二次函数图像，着重分析其几何意义，从图象上找出题目的答案。在必修2第二章“立体几何”内容中，在时间允许且学生学有余力的情况下，适当介绍建立空间直角坐标系后用坐标的方法将几何中的点、线、面的性质及其相互关系进行运算的方法，让学生体会到将抽象的几何问题转化纯粹的代数运算的妙处。一句话总结，就是在学习偏“数”的内容时别让学生忘记“形”，在学习偏“形”的内容时别让学生忘记“数”。为以后做题时学生的主动“数形结合”打好基础。第二步，习题课中让“数”“形”之妙体现出来。在讲解有关可以用数形结合解题的题目时，调动学生的积极性，运用分组讨论等形式让学生感受到数形结合的便捷和乐趣。还有一类题目也许不能称之为严格意义上的“数形结合”，例如在一些求直线或圆方程的题目中，可以根据画图得出答案，也可以通过计算得到答案。对于这类题目，笔者认为在习题课上应该两种方法都要顾及，然后让学生自己感受两种方法的各自的优点和缺陷，以及如何选择哪种做法、怎样弥补自己解法中的缺陷和错误等等。（板书结构如图2所示）这些做法目的很明确，就是要培养学生的“主动数形结合”能力。经过一年时间的培养，笔者找出去年教高三时保留的几份试卷中的5道可用数形结合解的题目，对今年所教班级的学生进行测试分析，得到对比数据如下： 题号12345去年学生人数112112112112112用到“数形结合”人数6732851154比例（去年）59.8%28.5%75.8%9.8%48.2%今年学生人数157157157157157用到“数形结合”人数125601322985比例（今年）79.6%38.2%84%18.4%54.1%这次的尝试对于提高学生的解题能力是有明显效果的，但笔者认为这样做的好处更多的是把“数形结合”作为一种数学思想，去培养学生的数学分析能力，而不只是一种解题方法。参考文献：1 王君芬. 例谈数学教学中的数形结合J. 黑龙江科技信息, 2009, (14) 2 蔡东兴. 数形结合思想方法的应用J. 高中数学教与学, 2009, (02)3 贾宏伟. 新课标下高中数学学习的几种思想方法J. 新西部, 2008, (11)4 刘军刚. 新数形结合的应用浅析J. 新课程研究(基础教育), 2008, (04)、运用数形结合思想处理一类对称问题牡丹江市第一高级中学 梁玉俊 圆锥曲线上存在两点关于某直线对称求某参数范围问题，已经有许多文章进行了论述。通常都是用函数思想、不等式的思想解决的。即引进新参量，建立函数关系式，转化为函数值域或构造关于参量的不等式，寻求参量的范围。通过教学实践，笔者发现这类问题不仅可以用上述两种思想解决，也可以用数形结合思想解决。设想寻求有关弦中点轨迹，通过轨迹曲线与圆锥曲线的位置关系，利用数形结合寻求参量范围，下面举几例加以说明。例1：已知椭圆C：，确定m的取值范围，使C上有不同的两点A、B关于直线L：y=4x+m对称。解：设A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点M(x0,y0) 则有 (1) (2) (1)-(2)得 A、B关于L对称 KAB = y0 = 6x0于是以为斜率的平行弦中点轨迹是直线y=6x在椭圆内部的一段，不包括端点。与联立得两交点A1(),B1()，问题转化为L与线段 有交点问题。由图形知，当L过A1点时，m最大值为 ，当L过B1点时，m最小值为 -，例1的解法提供了一种解决此类问题的新思路，而且运算过程简单，从图形上可以直观地看出结果，真正体现了数形结合思想的作用。那么此种想法是否适合其它曲线呢？回答是肯定的。例2：曲线C：x-y2-2y=0上存在关于直线L:y=x+m对称两点A、B，求m的取值范围。解：设A(x1,y1)、B(x2,y2)，AB中点M(x0,y0)，则有-2=0 -2=0 -得 (x1-x2)-(y1-y2)(y1+y2)-2(y1-y2)=0 由题意知 x1-x20，上式两端同除x1-x2，得A，B关于L对称KAB = ，y0 = ,x0 = - m于是以-1为斜率的平行弦中点轨迹为直线y =在抛物线内部的一条射线，不包括端点。将y =代入抛物线方程得交点P(,)，问题转化为L与射线y =(x)有交点。 将P点坐标代入L方程得m =，由图形知，m取值范围为由例1、例2可以看出，若直线L斜率已知，则可以转化为L与平行弦中点轨迹相交问题处理，关键是寻求与已知直线垂直的平行弦中点轨迹，然后再利用数形结合求参量范围。那么，这种解法可信度如何呢？我们看看上两例，例1中当L与A1B1有交点时，此交点恰是与L垂直的弦中点，就保证了该弦两端点关于L对称。所以只要L与平行弦中点轨迹有交点时，就能保证曲线上存在两点关于L对称。例3、已知椭圆C：，确定k的范围，使C上存在不同的两点A、B关于直线L：对称。解：设，当k=0时，不符题意，所以，将A、B坐标代入椭圆方程得(1) (2)(1)-(2)得 即 ，有，又M在L上，于是以为斜率的弦中点轨迹为在椭圆内部的一段A1B1，如图，将代入椭圆方程得，问题转化为L与线段A1B1有交点，由图形知例4、已知L：能垂直平分曲线C：某一弦AB，求k范围。解：由抛物线对称性，当k=0时，C上不存在A、B关于L对称，所以，设，将A、B坐标代入抛物线方程得 (1) (2) (1)-(2)得 ，又在L上，于是，消k得斜率为的弦中点轨迹为在抛物线内部一段且过(1,1)点，如图，而L过定点(1,1)。当L与相切时得k=-2，由图形知例5、曲线C：上存在关于L：对称的两点A、B，求k的范围。解：当k=0时，L为x轴，由双曲线对称性知 k=0不符合题意，当时，设，将A、B坐标代入双曲线方程得(1) (2)(1)-(2)得，又，以为斜率的弦中点轨迹方程为x=-2，直线x=-2与双曲线、渐近线交于点A1，B1，C1，D1，由双曲线对称性可以看出，以为斜率的弦中点轨迹应是线段B1C1和以A1，D1为端点的两条射线（在x=-2上），L过定点C(-4 ，0)由图形知，时，L与弦中点轨迹有交点，即C上存在两点A、B关于L对称。所以通过以上几例可以看出，运用数形结合思想解决这类问题，可以使运算过程简化，并具有很强的直观性，处理此类问题思路简单。最后笔者想说的是，数学思想无处不在，只要我们注重挖掘，并能将其运用于解题实践，这样将会给我们带来无穷的乐趣。、联想为媒- 催化数形之结合 浙江省上虞市春晖中学 王启东 数形结合思想是数学中的一种非常重要的数学思想，在解题中运用数形结合，常常可以优化解题思路，简化解题过程。但问题在解题过程中如何进行数形结合呢？即怎样催化数与形的结合呢？最好的方法就是运用数形结合的催化剂联想，运用联想不但可以催化数与形的结合，而且可以培养我们的创新思维和创新能力。本文就如何以联想为媒，介绍一些常用的联想策略。一、联想图形的交点例1、（04湖南高考）设函数，若则关于的方程的解的个数为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4分析：判定方程有几个实根，直接求解难且繁！如能联想图形的交点进行数形结合，以数助形来解决，则简洁明了。的对称轴为即 又从而作出的图象，可知方程有3个解。例2、（05上海高考题）设定义域为函数，则关于的方程有7个不同实数解的充要条件是（ ）分析：同上题方法，联想图象的交点，由的图象可知要使方程有7个解，应有有3个解，有4个解。 故选（C）二、联想绝对值的几何意义例3、（03高考）已知，设：函数在上单调递减，：不等式的解集为，如果与有且仅有一个正确，试求的范围。分析：由的结构，联想绝对值的几何意义，进行数形结合，以数助形可巧妙地确定的范围。避免繁琐的运算。：不等式的几何意义为：在数轴上求一点，使到的距离之和的最小值大于1，而到二点的最短距离为，即而：函数在上单调递减，即由题意可得：三、联想一次函数例4、已知，求证：分析：本题如直接证明较难，联想一次函数进行数形结合，以数助形。把看成变元，看成常数，构造一次函数而又又（2）令 同理可得从而 即四、联想二次函数例5、已知关于的方程有四个不相等的实根，则实数的取值范围为 分析：直接求解，繁难！。由方程联想二次函数进行数形结合，以数助形，则简洁明了。设。又为偶函数，由图可知五、联想反函数的性质例6、方程的实根分别为，则= 分析：本题不好求解，联想原函数与反函数的图象性质进行数形结合，以数助形可巧妙求解令互为反函数，其图象关于对称，设 即六、联想函数的单调性例7、已知实数（为自然对数的底），证明：分析：本题直接证较难，利用函数单调性，进行数形结合转化为函数问题，以数助形可轻松获证考虑函数在上的单调性即在上单调递减，七、联想函数奇偶性例8、（05天津高考）设是定义在上的奇函数，且的图象关于直线对称，则 分析：本题由于不明确，故的函数值不好直接求解。若能联想到奇函数的性质，数形结合，以数助形来解决，则简洁明了。则可知，又且的图象关于直线对称，则奇函数可得：，则又由对称性知：同理：0八、联想斜率公式例9、实系数方程的一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求的取值范围。分析：这个问题表面上看是方程、不等式问题，但直接求解麻烦！数形结合由的结构特征，联想二次函数性质及的几何意义来求解，以形助数，则简洁明了。令，则由已知有得到这个二元一次不等式组的解为内的点的集合由的几何意义为过点和点的直线的斜率由此可以看出：即的取值范围是。例10、计算：分析：本题直接用三角公式计算较繁！如能由的结构形式联想斜率公式，数形结合，以形助数，即可巧妙探求。本式可以看成二点连线的斜率，如图，借助单位圆，则，设倾斜角为则九、联想两点间的距离公式例11、设，求证：分析：本题直接证明较繁！如能由的结构形式，联想到两点间的距离公式，数形结合，以形助数，则抓住了知识间的内在联系，解法新颖，巧妙简洁。不妨设，构造如图的，其中则在中，有十、联想点到直线的距离公式例12、（02北京高考）已知是直线上的动点，是的两条切线，是切点，是圆心，求四边形面积的最小值。分析：直接求解较难，如能联想点到直线的距离公式，数形结合，以形助数，则更简洁。要使面积最小，只需最小，即定点到定直线上动点距离最小即可即点到直线的距离，而例13、方程表示的曲线是 分析：直接化简较繁！如能联想到点到直线的距离公式，数形结合，以形助数，则简洁明了。原方程可化为：即动点到定点的距离与到定直线的距离相等方程表示的曲线是抛物线十一、联想直线的截距例14、已知，求的取值范围。分析：此题直接求解较难，数形结合联想直线的截距。结合直线与圆的位置关系即可求。可看作斜率为-2，过半圆上点的直线在轴上的截距，由图可知：即注：本题也可用三角换元。例15、求函数的最值。分析：等式右边根号内同为的一次式，如简单的换元无法转化为二次函数求最值，故用常规方法比较难。如能联想到直线的截距，数形结合换元后，以形助数，则可轻松解决。令，则所函数化为以为参数的直线族，它与椭圆在第一象限的部分有公共点又十二、联想定比分点坐标公式例16、已知是定义在上的单调函数，实数，若，则（ ）（05年辽宁高考）A. B. C. D. 分析：本题如何探求，不知道，直接求解困难。若能联想到定比分点坐标公式，数形结合，以形助数，则很易求。不妨设，易知为有向线段的分点，又是定义在上的单调函数及可知为有向线段的外分点，。故选（A）、数形结合的思想方法的解题应用技巧修水一中 徐永忠数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题，它包含“以形助数”和“以数解形”两个方面。利用它可使复杂问题简单化、抽象问题具体化，它兼有数的严谨与形的直观之长，是优化解题过程的重要途径之一，是一种基本的数学方法。数形结合是中学数学中重要的思想方法，每年高考中都有一定量的考题采用此法解决，可起到事半功倍的效果。在高考试题中，选择题、填空题由于不要求写出解答过程，命题时常对掌握及应用数形结合的思想方法解决问题的能力提出较高的要求，要求考生应用数形结合思想，通过数与形的转化，找到简捷的思路，快速而准确地做出判断，从而得出结果；对于要求完整写出解题过程的解答题，由于包含的知识量大、涉及的概念多，数形结合的思想主要用于思路分析、化简运算及推理的过程，以求快速准确地分析问题、解决问题。其基本模型有：1、 距离函数2、 斜率函数3、AxBy 截距函数4、5、6、 双曲线例题分析例1 函数yxcosx的部分图像是（ ）分析：这是一道以数解形的题，显然y=xcosx为奇函数，可排除A、C，取x0.1，y0.1cos0.18时，2。故图形只需取就行了（如图1）。除原点外还有一个交点，再由奇偶性知有7个交点，故选C。 图1 图2分析：当时，。因此在内还有一个交点，所以正确的答案为D，如图2所示。2、双向性原则双向性原则是指几何形象直观的分析，进行代数计算的探索。3、简单性原则简单性原则是指数形转换时尽可能使构图简单合理，即使几何形象优美又使代数计算简洁，明了。三、 数形结合的途径数形结合是一柄双刃的解题利剑，下面简单介绍一下数形结合的途径1、由数到形的转换途径（1）方程或不等式问题常可以转化为两个图象的交点位置关系的问题，并借助函数的图象和性质解决相关的问题。（2）利用平面向量的数量关系及模的性质来寻求代数式性质。（3）构造几何模型。通过代数式的结构分析，构造出符合代数式的几何图形，如将与正方形的面积互化，将与体积互化，将与勾股定理沟通等等。（4）利用解析几何中的曲线与方程的关系，重要的公式（如两点间的距离，点到直线的距离，直线的斜率，直线的截距）、定义等来寻求代数式的图形背景及有关性质。2、由形到数的转换途径（1）解析法：建立适当的坐标系（直角坐标系，极坐标系），引进坐标将几何图形变换为坐标间的代数关系。（2）三角法：将几何问题与三角形沟通，运用三角代数知识获得探求结合的途径。（3）向量法：将几何图形向量化，运用向量运算解决几何中的平角、垂直、夹角、距离等问题。把抽象的几何推理化为代数运算。特别是空间向量法使解决立体几何中平行、垂直、夹角、距离等问题变得有章可循。四、数形结合在数学教学中的应用1、与不等式有关的问题应用数形结合思想解不等式，要充分了解所求不等式的几何意义。例题1设变量、在区间中取值，试证：分析：本题直接证不好证明，由左边的轮换式可以联想到面积，由于变量、在区间中取值构造一个边长为1的正三角形。将这些关系统一在一个不等式中，可得到如下简洁而优美的解法。解：如图，正三角形边长为1，设点、分别在边、和上，且有，则，+即，结论得证 B 2、与方程的根有关的问题应用数形结合思想解方程，应当注意曲线与方程的对应关系。例题2、方程的实根个数是（ ）A、1个 B、2个 C、3个 D、4个分析：这道题若直观通过解1个3次方程来解，比较麻烦。可在同一个坐标系下画出与的图象。由图象观察可知，两函数图象只有一个交点。