高中数学的七种距离.pdf

高 裳 弛 黪 中学生数 学 2 0 1 4 年 1 月上 第 4 8 1期 高 中 赫 数 学 的 七 种 躐 华南 师范 大学 数学 科学学 院 5 1 0 6 3 1 赵瑜 一 高中数学中的七种距离 高中阶段 我们要求掌握 的距离 主要有七种 点 与 点 点与线 点与面 线与 线 线 与面 面与面 这六种距 离是在必 修教材 中要求掌握 的 内容 属 于欧 氏几 何学 内容 第七种 即两点的球 面距离 在选修 3 3 球面上 的几何 中出现 它可以说 是学 生第一次接触 的非欧儿 何的 内容 是球 面儿何 中的距 离 问题 但 是 由于 球 面 几何与欧氏几何有着很大的联 系 大 j 此 在学 这一部分 内容 的时候 我们 通常 采用 欧 氏化 的研究方 法来 得 m 相关 结 论 下 面 我们对这几种距离问题进行分 析 并 总结归 纳其求 解的方法 和思 路 1 点点距离 点点距 离指的是平 面上 的两点距 离 是 我们 最早 接触到的距 离问题 在 初一 我们 已经知 道 两点 之间 线段最短 两点距离 即两点线段 长 关于它 的求解方法 有 如 下 几 种 1 几 何 方 法 在众多求两点距离的方法 中 最直接 的便 是度量 这是一种好方法 在现实生活 中我们 也经常使 用 但在 某些问题 中 我们发 现度量 并不容 易 尺 子是否够 长 两点之 间能否连线 那么 这就需要借助其他T 具了 在初 中 我们可 以通过构 造全等三角 形的方 法 把 要求 的线段 转 化 成 已知 或 方便 测 量 的线段 到 了 高 中 我们 还 可 以所求 线 段 为三 角 形 的一 边构造 三角 形 通 过解 三角形 的方 法 求 得线 段 长 这些 都 是从几何性 质方 面来求解 2 解 析 几 何 方 法 口 2 2 l 1 j 当我们 引入坐标 系后 我 们发 现点在 平面上 的位置 可 用坐 标 表 示 出来 如 图 2所 示 A zl Y B 2 y 2 贝 有两点距离公式可得 l AB1 一A 图 1 l z 2 y l y 2 类 网2 似地 在空间 中 我们 也可 以建立 空间直 角 标 系 得 到点 A l 1 B z Y 2 z 的距 离 为 I AB i 1 一 2 l y 2 l 2 3 向量 方法 在必修 4中 我们引 入了向量 一 具 这 时 两点 距 离便可以看成是 套的模 若将平而看成三维空间的特 殊情况 则在三维空间中 若蕊 一 y o 则I 1 一 F 从几何意义上解释 此时 l 蕊 l 即为 以 A B为对 角线 的平行 六 面 体 的对 角线 长 在平 面 中 即为 以 A B为相对顶 点的平行 四边形对角线 长 2 点线距离 点到直线距离为直线外一点到直线所 做的垂线 段 的 长 1 几何 方法 根据定义 只需作 H 点到直线 的垂线段 即可求 在 初 中 我们已经能解决 很 多点到 直线 线段 距 离 的问 题 求二角形 的高就 是一个 很经 典 的应 用 通 常 我 们 是用等面积法或 解直 角三 角形 的方 法来 解决 到 了高 中 我们学习 了空 间立体 几何 仔细 分析 l其实与初 中 的平 面几何并 无不 同 同样可 以利用解 三角 形 的有 关 知识来解决 问题 I 2 解析几何方法 解析 几何 是高 中数 学 的一 个重 要 内容 通过 建立 平面直角 坐标 系 很多几何问题 便 可 以通过代 数的方 法得 以解决 在点线距离这 个问题 中 我 们用 Ar B y C一0表示直线 l 用 y 表示点 P 那 么 点 P到 直线 的距离即为d 一上 3 向量方法 有 了向量 具 后 如 图 3 我 们可 以把直线 的方向 向量设 为 z 那 么 在直 线上 任取 一点 Q与 P形成的向量为 设 f 一 根据点 到 直线 距离 的定 义 则 有 d f Qp s i n O 而 由向量 的数 量积 可得 o s 一 再 图3 根据 同角 三角 函数 关系 s i n C O S 目 一l 联 立 以 L i 网址 Z X S S c b p t c n k i n e t 3 6 电 子 邮 箱 zx ss chinajou rn a1 net cn 寸 学 蜜 学 中学生数 学 2 0 1 4年 1月上 第 4 8 1 期 高中 式 即 可得 若建立直 角坐标 系运算 只需将各 量用坐标表示 同样 的思路方法 即可求解 3 点面距离 这时我们的思维已经从二维到 了三维的空间中 面 外一点到该面的距离 其实就是过该点作该面的垂线后 垂足与该点之间的距离 这就变成了两点之间距离了 1 几何方法 等体 积法 在空 间立体几 何 中 我们 可 以把求 点到面 的距 离 的问题看成是求锥体 的高 的问题 或者反 过来说 求 锥 体 中某顶 点所作 的高 其 实就是求 该顶点 到底 面所在 平面 的距离 问题 在各省的高考题 中很受 青睐 而且 很 多都 以求体积 的形式 出现 如 2 0 1 2年 广 东文 科 如图 4所 示 在 四棱 锥 P A BC D 中 ABJ 平 面 P AD A B C D PD AD E 是 P B 的中点 F是 C D 上 的点 A 1 且 DF 一 A B PH 为 图 4 P AD 中AD边 上 的高 证 明 PH上 平面 A BC D 若 PH 1 AD F C 1 求 三棱 锥 E B C F的 体积 证明 E F L平面 P AB 此题第 问欲求体积必先求高 即是此种 类型 大 家不妨一试 2 向量 方法 若用 向量方法来解这类 型问题 如图 5 所 示 设平 面 a的法 向量 为 在 a上找 一 点 A 设 A P 一0 则 d l 1 I c o s 0 l 其 中 C O S 0 删一 4 线线距离 图 5 线线 距离 即两 线 的公垂 线 段 的长 若 两直 线 平 行 那么在其 中一 直线 上任 取一 点作另一直 线的垂线 垂足与该点距离即为所求 由于 点的任意性 因此并不 难解决 这里重点讨论异 面直线 的情况 1 几何 方法 异面直线距 离 的 困难 之处 在 于公 垂 线段 难 以确 定 一旦 找到 问题便 化 归为两点 距离 的 问题 了 如何 找一条直线与 已知直线 n b 垂直且相交 呢 如 图 6 作 直线 b的平行线 b 与 a交 于点 O 则 b 和 a确定 了平 面 a 过 O作平面 a的垂线 交 直线 b于点 P 可证 O P为 两直线的公垂线段 但在 实 际 题 目 中 很 难恰 好构造 出这样 的一个 图6 平面 即便构造成功 过 O的垂线有时也不易作 出 2 向量 方 法 有 了 向量 工 具 后 一 切便简 单 些 其 思 路 其 实 是受上 面 的 启发 得 到 的 用 b表示直 线 a b的方 向向量 由平 面 向量 基本 争 图 7 定理 平 面 a可 表示 为 即可求 出该平面 的法 向量 在直 线 b上任 找一 点 即变成 了点面距离问题 5 线 面 距 离 线面距离 指的是 与一平 面平 行的直线 与该 平面的 距离 在这里 我们 主要采 用 的是 降维 的思 想 把线 面距 离转 化为线线距 离或者 点面距离去解 决问题 若用 向量 的方 法 则 可设平 面 的法 向量 直线上 一 点 P到平面上一点 O连线 0不是 P在该 平面上 的 射 影 则d 一 孪 1 6 面 面 距 离 两平 面平行 则 要求 两平 面距 离 可通过 转化 为线 面距离 线线距离或点面距离来求解 这里不做赘述 7 球 面距 离 在人教版选修 3 3中 我们 给出 了球 面上的两点 距离 即过球上两点 A B和球 心 的平面 截球 面 得到 一 个 圆 这个圆是 大 圆 大 圆上 的两 点 A B把大 圆分 成两段 圆弧 短 的一 段 即劣弧 的长度就 是球 面上这 两点 的最 短路 径 即球面上两点 的距离 求大圆的弧长 关 键是求 弧长所对 的圆心角 如图 8 设 A0 B一0 球 半 径为 R 若 弦 AB的 长度 为 d 则 问题 转 化 为 已 知 一 个 等 腰 三 角 形 AO B 的腰 和底 边 长 求 顶 角的问 题 由余 弦定 理 可 得 图8 c s 所 以球 面 上 A B 两 点 的 距 离 即 为 Rar c c os 2 R2 d2 下转 第 4 3页 网址 Z X S S c b p t c n k i n e t 3 7 电 子 邮 箱 zx ss chin ajourn a1 n et crl 高 莺 围 诒 彰 谚 寸 拳 中学生数学 2 0 1 4 年 1 月上 第 4 8 1 期 高中 w e s lv e 窘 一 1 0 0 0 n te g ra te b t And e v a l ua t e J 而 丽 一 Jl Ge t t i n g l n y I n 1 0 0 0 一 一 l O 0 0 k t C1 0r 1 n l O0 0 y一 一 1 O 0 0 k f C1 1 0 OO y e 1 0 0 n e C 1 I e t e C l C t h e n we h a v e l O OO y Ce 一1 h 学 1 0 0 0 1一 CP l 1 0 0 0 1 C 1 h 1 00 00 1 扣 Th u s 一 o 1 C u s 一 e lo oo U P l u g 1 0 0 wh e n剐 i n y 一 1 o O 一 c Pl u g y 一 4 0 0 wh e n t一 1 a n d C 一 9 i n y o 4 0 0 一雨 甘 e 0 o 1 6 6 7 Pl ug 一 2 C一 9 e 1 6 6 7 i n O v 一 8 0 0 一再百 丽 上接 第 3 7页 二 总结与反思 1 处处体现 化归思想 把 高维 的物体 降维处 理 例如 把面 面距 离 转化 为 线面距离 点面距 离甚 至点点距 离 球 面两点距离本 是 一 个 陌生 的距离定义 但是通过图像 我们 同样可 以把 它转化为欧 氏几何 中的熟悉方法来做 降维 和 欧 氏 化 实 际上都是把不熟悉 的转化 为熟悉 的 把立体 的转 化为平面的 把未 知的转化 为已知的 从 而达到解决 问 题 的目的 2 三角形是关键 单从几何方法来 看 我们 不难发 现上述 的多种 距 离几 乎都是转 化到三 角形 中去求解 利用 三角 函数关 系 正弦定理 和余 弦定理解 三角形其 实就是 这种距 离 题 目的关键所在 3 向量 是 好 工 具 向量是沟通几何和代数的桥梁 有 了向量 工具 很 多从几 何性质方 面思考 较为 困难 的 问题 在 向量的帮 助下 变得简单很 多 思维量减少 了不少 当然 如果想 多训 练空间想 象能力 和思维 能力 向量方法便 要逊 于 几 何方 法了 4 归纳反思 选择最佳方法 距离 问题 是高 中数 学 的一个很 重要 的组 成 内容 其内容跨 度也很 大 平常学 习时应 注意总结归纳 特别 是在空间向量一章 学完 之后 对 于空间立 体图 形的题 目 我们有 了更 多的方 法解题 到底哪种 方法 更方 便 这就需要我们平常注意对 比分析 及