数学建模精品案例--眼科病床3.pdf

1 1 问题重述 背景 随着社会经济文化和医疗技术的迅猛发展 人民对生命健康呈现出更高的要 求 医疗保健的消费逐年增长 导致医院规模与患者需求的矛盾在不断扩大 如 何通过合理的统筹规划来提高医疗资源的利用率就成了一个首当其冲的问题 某医院眼科手术条件比较充分 可以一天内完成许多台手术 但其病床资源 却非常有限 只有 79 张 这家医院主要承担单眼白内障 双眼白内障 青光眼 和视网膜疾病等四种非急症手术和紧急情况下的外伤疾病手术 该医院每周一 三做单眼白内障手术以及每周一 三分别做双眼白内障手术 的第一只眼和第二只眼的手术 青光眼和视网膜疾病的手术则安排在每周除掉周 一 周三外的其他五天 同时每天都会安排急症手术 理想状态下 白内障手术的术前准备时间为一天 青光眼和视网膜疾病的术 前准备时间为两天 急症手术的术前准备时间为一天 对于每种疾病来说 其术 后恢复时间也是一定的 当前该医院对全体非急症病人是按照先到先服务的规则安排住院 但由于收 到该医院手术时间安排 术前准备时间以及床位等条件的限制 等待住院的病人 队列越来越长 这样看来 先到先服务的规则看上去并不是一个很合理的原则 问题 我们的任务就是 为该医院设计一个合理的安排床位的模型 使该医院的医疗资源得到更 加充分的利用 使等待住院的病人队列长度保持恒定或增长缓慢 建立一个对安排床位的模型进行评价的指标体系 分析我们的模型与先 到先服务的模型是不是 合理 我们所提出的模型要可以预计来门诊的病人可以入院的大致时间范围 如果医院的手术安排又做了其他限制 我们的模型要能适应这种变化并 能对其进行预测 如果该医院的病床安排方案是根据使各类病人占用病床的比例大致固定 的方案 那么我们就要建立在这个方案下是所有病人在该医院内的平均 逗留时间最短的病床比例分配模型 2 模型的基本假设 所有眼科外伤病人均认为是急症病人 且若有空床急症病人优先入院 周一周三只能做白内障手术 且白内障双眼手术必须周一做一只 周三做另 一只 对于非急症病人的排队原则符合等待制 非急症病人是专一且耐心的 即不 论前面的队伍有多长 医院方面给自己安排的住院时间有多迟 均会等待住 院而不转投其他医院 对于急症病人的排队原则是损失制 即如果没有空床留给急症病人治疗 病 人自动离开队伍去别的医院就诊 考虑病床安排时不考虑手术条件的限制 各种病的发病人数基本符合泊松分布 入院当天和出院当天都按整天计算 在排队队列中的患同种疾病 单眼白内障与双眼白内障算不同种疾病 的病 2 人间 一定按照 FCFS 规则安排住院 对于非急症病人 在有空的非急症病床的前提下 尽量安排让其尽早入院 从门诊到入院的这一段时间 让病人在家休息 对于非急症病人 如果没有空的非急症病床 则让病人进入排队队列 直到 有空的非急症病床后安排让其尽早入院 从门诊到入院的这一段时间 让病 人在家休息 3 符号说明 符号符号 说明说明 出现位置出现位置 c 单位时间总床位数 问题一 c 平均占有床位数 问题一 c 无效 没有必要耗费的床位数 问题一 r 因没有空病床而导致急 症病人被拒诊的概率 问题一 a 在一年中违反先来先服 务原则的总人次天数 人次 天 问题一 A 一年内总的病人在系统 内的总逗留人次天数 人 次 天 问题一 t1 门诊到住院耗费的时间 问题一 t2 住院到手术的时间 问题一 n 年治愈总人数 问题一 N 年看病总人数 问题一 b1 非急症病床数 问题二 b2 急症病床数 问题二 dij 第 i 种疾病排在周 j 的概 率 i 1 2 5 分别代表 单眼白内障 双眼白内 障 青光眼 视网膜疾病 和外伤 下同 问题二 ni 第 i 种疾病的平均在医院 逗留天数 问题二 Pi 系统中有 i 个顾客的概率 问题三 顾客流满足的泊松分布 的参数 问题三 服务时间满足的负指数 分布的参数 问题三 Wq 顾客在队列中的平均等 待时间 问题三 3 Lq 顾客在队列中的平均等 待排队长 问题三 V 顾客接受服务的时间 问题三 4 模型分析及求解 4 1 问题一 4 1 1 构造层次分析模型 图 1 层次分析图 如图 1 我们将决策问题分解为 3 个层次 最上面的目标层 即病床安排模型 评价得分 中间层为准则层 为决定该得分我们所考虑的两大方面 即医院方面 与在患者方面 最下层为方案层 包括改进的床位利用率 重症优先考虑 公平 治愈率 平均等待时长 或人数 这五个因素 通过互相比较确定各准则层对于目标层的权重 及格方案对于每一准则的权 重 这些权重在人的思维中往往是定性的 AHP 层次分析法则要给除得到权重的 定量方法 Satty 等人在充分研究人的心理特征与度量尺度后 一是不把所有因 素放在一起比较 而是两两对比 二是对比时采用相对尺度 以尽可能地减少性 质不用的诸因素相互比较的难度 提高精准度 4 1 2 各因素间重要性的比较 表 1 医院和病人间重要性的比较 最 重 要 中值 很 重 要 中值 较 重 要 中值 稍 重 要 中值 不 重 要 等级 一 二 三 四 五 六 七 八 九 医院 病人 表 2 所改进的病床利用率和治愈总人数间重要性的比较 最 重 要 中值 很 重 要 中值 较 重 要 中值 稍 重 要 中值 不 重 要 等级 一 二 三 四 五 六 七 八 九 病床安排 模型M 医院P1 所改进病 床利用率 治愈总人 数 患者P2 急症接纳 率 平均等待 队长 公平性 4 所 改 进 的 病 床 利 用 率 治 愈 总 人 数 表 3 急症接纳率 公平性和平均等待队长间重要性的比较 最 重 要 中值 很 重 要 中值 较 重 要 中值 稍 重 要 中值 不 重 要 等级 一 二 三 四 五 六 七 八 九 急 症 接 纳 率 公 平 性 平 均 等 待 队长 4 1 3 比较矩阵 病床模型安排评分 M 1 0000 1 0000 1 00001 0000 医院 P1 1 0000 0 5000 2 00001 0000 病人 P2 1 00005 00003 0000 0 20001 00000 3333 0 33333 00001 0000 4 1 4 各层次向量权重及及一致性检验 权重 Wu 0 5000 0 5000 T Wp1 0 3333 0 6667 T Wp2 0 6333 0 1062 0 2605 T 表 4 底层因素对最终评价目标的权重 底层因素 所改进的病 床利用率 1 治愈总人数 2 急症接纳率 3 公平性 4 平均等待队 长 5 权重 0 1667 0 3333 0 3167 0 0531 0 1303 一致性检验 表 5 一致性检验 矩阵 M P1 P2 CR 0 016255 0 000096 0 039933 可以看出 所有矩阵的 CR 值都小于 0 1 有着良好的一致性 5 4 1 5 确定底层因素得分 如上所述 则病床安排模型的评价函数为 F Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 100 w1Q1 w2Q2 w3Q3 w4Q4 w5Q5 此处 Q1 Q2 Q3 Q4 Q5为值域为 0 到 1 的函数 下面我们根据实际情况 确 定这五个底层函数 4 1 6 所改进病床利用率的评定 所改进病床利用率是在床位利用率的基础上结合本题具体情况修改而成 病 床利用率是用于评价医院效率的基本指标之一 首先我们介绍床位利用率 c 在 足够长时间内 占用病床占用病床天天数数 病床数病床数 总天数天数 1 但是在本题之中 并不是每一次占用病床数都取得了效果 举例 对于一个 换单眼白内障的病人 他需要住院被观察一天才能接受手术 如果他在星期六入 院 那么他只能在星期一接受治疗 周一 周三才能做白内障手术 而一个在 星期天入院的一支眼白内障的病人也在星期一接受手术 那么他星期六住进医院 对于他的治疗进度是没有帮助的 相反会增加他的住院时间 1 天 这 1 天是我们 所定义的无效占用病床数 同时这对医院的效率也是没有帮助的 然而他在星期 六入院所需要的总天数 T1却要比他在星期天住院所得到的T2要高 这明显是不合 理的 通过思考 我们得到以下的在足够长时间内改进床位利用率的表达式 c改 占用病床 天数 无效占用病床 天数 病床数 总天数 显然 无效占用病床总天数越多 改进床位利用率越低 相反地 无效占用 病床总天数越少 改进床位利用率越高 定义改进病床位利用率为 Q1 c改 c c无效 c 4 1 6 1 基于急诊优先原则下的急诊接纳率 急诊接纳率是基于急症优先原则下的表示急诊患者立刻住院接受的治疗的 概率 是用来反映医院安排病床合理程度的一个极其重要指标 对于病情危急的 病人来使 延迟一秒都有可能造成他的生命危险 而如果医院病房调度模型不当 则有可能造成由于住院病床已满而没有空床位给急症病人做手术 耽误急症病人 的救治时间甚至使其丧失生命 对于医院来说如果急诊接纳率偏低 那么造成许 多急诊病人无法及时获得治疗 则会导致医院名誉以及效益的下降 因此一般医 院需要预留合适的床位给急诊病人 因此急症接纳率也是我们评价的重要指标之 一 定义急症接纳率为 Q2 1 r 4 1 6 2 基于先到先服务下的公平性 在排队论的理论中 患者需按照一定次序接受服务 一般分为三类 损失制 患者到达时 由于病床没有空闲 所以病人随即离开 如急症 患者就属于这种情况 等待制 先来先服务 后到先服务以及优先权服务 混合制 既有损失制 又有等待制 本问题是混合制 眼科外伤属于急症 必须立即接受手术治疗 如果没有病床 急症病人只能去其他医院求医 6 自动从队伍中消失 其余四种眼病病人满足等待制 在等待制中 先来先服务是保证公平的重要标准 排队中的病人很有可 能因为先到而没有优先治疗到导致对医院不满意度的上升 因此我们定义公 平因子 Q3 1 a A 4 1 6 3 排队时间对于顾客满意度的影响 在本题中 由于病人关心的是何时能够入院 以及住院后何时能够进行手术 所以我们将病人的满意度指标定义成门诊到住院耗费的时间和住院到手术的时 间的两种函数 根据这两类指标对满意度影响的特征 我们构造出了关于这两个 指标对满意度影响的函数 函数 1 病人在家里等待的满意度随时间变化而变化的函数 在门诊之后的 最初几天 病人可以保持平和的心情的等待 但随着时间的逝去 病人会越发地 不耐烦 因此满意度会迅速地的下降 也就是说满意度关于时间的导数的绝对值 会越来越大 根据此满意度的变化原理 我们构造了关于满意度与在等待入院时 间的函数 I t1 1 2 cos 20 t1 0 t1 10 0 t1 10 图 2 I t1 的图像 函数 2 病人住院之后由于是从熟悉而又温馨的家中住到了相对陌生而又孤 独的病房 此时病人的满意度将会迅速下降 接着由于逐渐适应病房的环境 再 加之离手术时间越来越近 病人的满意度的将不再迅速的下降 而是趋于平稳 故我们构造了一个满意度与住院到手术时间的函数 I t2 1 t2 2 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 1 6 3 2 4 8 6 4 8 9 6 11 2 12 8 14 4 16 17 6 19 2 I t1 7 图 3 I t2 的图像 综合两个函数 排队时间对顾客满意度影响 Q4 1 2 cos 20 t1 1 t2 2 特别地 当 t1 t2 0 时 Q4 1 100 即排队时间为 0 时满意度为 100 与实 际相符 4 1 6 4 治愈率对医院效益的影响 显然对医院来说 对病人治愈率越高 医院的效率越高 反之 医院的效率 的越低 所以我们将治愈率作为评价医院效率的一个重要的指标 我们将治愈率定义为 Q5 n N 4 1 7 评价体系的数学表达式与评价标准 评价体系的数学表达式为 F1 Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 100 w1Q1 w2Q2 w3Q3 w4Q4 w5Q5 其绝对最优解为 100 分 绝对最差解为 0 其实由于提高医院床位利用率必 然会破坏先来先得原则 因此不可能两处同时满足 于是 100 分必然不能达到 表 6 评价标准 模型评价 F 60 非常差 60 F 70 较差 70 F 80 中等 80 F 90 较好 90 F5 n1now 1 n1now 1 deal ii 5 1 end if ii 7 n1now 2 n1now 2 deal ii 7 2 end if ii 8 n2now n2now deal ii 8 5 wswto ii 8 n1now 5 n1now 5 wswto ii 8 end if ii 11 n1now 3 n1now 3 deal ii 11 3 end if ii 13 n1now 4 n1now 4 deal ii 13 4 end week mod ii 7 x ii poissrnd aver p if ii 1 wait ii x ii else wait ii wait ii 1 x ii end 21 if wait ii 5 0 if n2now wait ii 5 n2now n2now wait ii 5 deal ii 5 wait ii 5 wait ii 5 0 wswto ii 0 wsw ii 0 else deal ii 5 n2now wait ii 5 wait ii 5 n2now n2now 0 if n1 sum n1now wait ii 5 n1now 5 n1now 5 wait ii 5 wswto ii wait ii 5 deal ii 5 deal ii 5 wait ii 5 wsw ii 0 wait ii 5 0 else wait ii 5 wait ii 5 n1 sum n1now wswto ii n1 sum n1now n1now 5 n1now 5 n1 sum n1now wsw ii wait ii 5 wait ii 5 0 deal ii 5 deal ii 5 wswto ii end end else deal ii 5 0 wswto ii 0 wsw ii 0 end switch week Sunday case 0 inrate 0 217 0 58 0 055 0 148 waitshao wait ii 1 4 shao find wait ii min waitshao 1 first nimab inrate shao inrate inrate nimab 3 inrate shao inrate shao 4 nimab 3 remain n1 sum n1now 22 assign floor inrate remain cld remain sum assign if cld 0 for zz 1 cld rn rand if rn sum inrate 1 1 assign 1 assign 1 1 elseif rn sum inrate 1 2 assign 2 assign 2 1 elseif rn wait ii 3 n1now 3 n1now 3 wait ii 3 deal ii 3 wait ii 3 wait ii 3 0 else deal ii 3 assign 3 n1now 3 n1now 3 deal ii 3 wait ii 3 wait ii 3 deal ii 3 end if assign 2 wait ii 2 n1now 2 n1now 2 wait ii 2 deal ii 2 wait ii 2 wait ii 2 0 else deal ii 2 assign 2 n1now 2 n1now 2 deal ii 2 wait ii 2 wait ii 2 deal ii 2 end if assign 1 wait ii 1 n1now 1 n1now 1 wait ii 1 deal ii 1 wait ii 1 wait ii 1 0 else deal ii 1 assign 1 n1now 1 n1now 1 deal ii 1 23 wait ii 1 wait ii 1 deal ii 1 end if assign 4 wait ii 4 n1now 4 n1now 4 wait ii 4 deal ii 4 wait ii 4 wait ii 4 0 else deal ii 4 assign 4 n1now 4 n1now 4 deal ii 4 wait ii 4 wait ii 4 deal ii 4 end Tuesday case 2 inrate 0 517 0 0 13 0 352 waitshao wait ii 1 4 shao find wait ii min waitshao 1 first nimab inrate shao inrate inrate nimab 3 inrate shao inrate shao 4 nimab 3 remain n1 sum n1now assign floor inrate remain cld remain sum assign if cld 0 for zz 1 cld rn rand if rn sum inrate 1 1 assign 1 assign 1 1 elseif rn sum inrate 1 2 assign 2 assign 2 1 elseif rn wait ii 1 n1now 1 n1now 1 wait ii 1 deal ii 1 wait ii 1 wait ii 1 0 24 else deal ii 1 assign 1 n1now 1 n1now 1 deal ii 1 wait ii 1 wait ii 1 deal ii 1 end if assign 4 wait ii 4 n1now 4 n1now 4 wait ii 4 deal ii 4 wait ii 4 wait ii 4 0 else deal ii 4 assign 4 n1now 4 n1now 4 deal ii 4 wait ii 4 wait ii 4 deal ii 4 end if assign 3 wait ii 3 n1now 3 n1now 3 wait ii 3 deal ii 3 wait ii 3 wait ii 3 0 else deal ii 3 assign 3 n1now 3 n1now 3 deal ii 3 wait ii 3 wait ii 3 deal ii 3 end Wednesday case 3 inrate 0 0 0 269 0 731 waitshao wait ii 1 4 shao find wait ii min waitshao 1 first nimab inrate shao inrate inrate nimab 3 inrate shao inrate shao 4 nimab 3 remain n1 sum n1now assign floor inrate remain cld remain sum assign if cld 0 for zz 1 cld rn rand if rn sum inrate 1 1 assign 1 assign 1 1 elseif rn sum inrate 1 2 25 assign 2 assign 2 1 elseif rn wait ii 4 n1now 4 n1now 4 wait ii 4 deal ii 4 wait ii 4 wait ii 4 0 else deal ii 4 assign 4 n1now 4 n1now 4 deal ii 4 wait ii 4 wait ii 4 deal ii 4 end if assign 3 wait ii 3 n1now 3 n1now 3 wait ii 3 deal ii 3 wait ii 3 wait ii 3 0 else deal ii 3 assign 3 n1now 3 n1now 3 deal ii 3 wait ii 3 wait ii 3 deal ii 3 end Thursday case 4 inrate 0 0 0 269 0 731 waitshao wait ii 1 4 shao find wait ii min waitshao 1 first nimab inrate shao inrate inrate nimab 3 inrate shao inrate shao 4 nimab 3 remain n1 sum n1now assign floor inrate remain cld remain sum assign if cld 0 for zz 1 cld rn rand 26 if rn sum inrate 1 1 assign 1 assign 1 1 elseif rn sum inrate 1 2 assign 2 assign 2 1 elseif rn wait ii 4 n1now 4 n1now 4 wait ii 4 deal ii 4 wait ii 4 wait ii 4 0 else