量子博弈论及其应用.doc

第 22 卷第 12 期2003 年 12 月大 学 物 理COLL E GE P H YSICSVol . 22 No . 12Dec. 2003专论量子博弈论及其应用威1 ,赵红敏2 ,林家逖1李(11 天津大学 应用物理系 ,天津 300072 ;21 北京交通大学 理学院 ,北京 100044)摘要 :介绍了量子博弈理论及与经典博弈理论的关系 ,指出了量子博弈理论的优越性 ,及对现实物理世界的意义 .关键词 :量子博弈论 ;量子策略 ;量子物理中图分类号 :O 413 . 1文献标识码 :A文章编号 :100020712 (2003) 1220003206玩家无论是想把他的决定告诉给其他的玩家还是告诉给庄家 ,都要通过交流信息 ,那么在我们所处的这个量 子世界中 ,我们有理由考虑他们交流的信息是量子信 息的情况 . 比如 ,量子通信的各方与窃听者的对抗 , 对 抗双方可以采用量子及经典策略 . 4) 量子力学可能为某些不公平的游戏提供使游戏公平的策略 . 那么如果将游戏推广到量子领域 ,即允许存在量子策略 ,会得到 什么结果呢 ? 一个很自然的结论是量子策略不会比经 典策略差 ,因为经典策略集是量子策略集的子集 . 实际 研究表明 ,由于量子力学的纠缠和叠加等特性 ,量子游 戏要比经典游戏丰富多彩得多 . 因此 ,近些年来人们对 量子博弈论及其应用展开了广泛的研究 .本文首先概括地介绍几个经典的游戏 , 然后量子 化其中的一个游戏 ,在文章的最后 ,我们会给出游戏对 现实世界的意义 .1 引言博弈论 ,即游戏理论 ,是数学体系当中一个成熟的分支 . 它是一种关于人们如何从赌博或游戏当中获得 最大收益的理论 . 而实际上 ,游戏理论的实际意义已经不单纯地局限于游戏本身 ,许多社会问题 、经济问题和 生物问题中的核心问题都与某种游戏有关 ,都可以在游戏当中 找 到 答 案 . 那 么 , 游 戏 和 物 理 又 有 什 么 关 系 呢 ? 虽然诸如象棋 、扑克之类的游戏在很大程度上需 要玩家的诡计和推测等等一些非物理的要素存在 ,但是 ,Vo n Neumann 和 Morgenstern 指出 1 : 对 于 游 戏 理论 ,有意识的选择不是最基本的 . 所以游戏当中可能还 存在 着 某 种 客 观 的 、物 理 的 规 律 . 而 且 , Frieden 曾 指出 2,物理学当中的拉格朗日量可以从一种由人类和大自然玩的游戏当中直接推导出来 . 因此 ,游戏与物理学是密切相关的 . 而对于一个量子物理学家来说 ,通过 引入量子线性叠加态而得到的量子化了的游戏可能是更具有研究价值的游戏 . 这体现在以下几个方面 3 : 1)经典游戏是建立在应用数学原理基础之上的 . 应用数 学已经在经济学 、心理学 、社会学和生物学当中得到了 广泛的应用 ,而它在很大程度上是建立在概率论基础 之上的 . 于是我们就有理由把这种建立在概率论基础 上的经典游戏推广到量子概率领域去 . 2) 如果真的存 在“自私的基因”的话 ,那么就很可能在由量子力学支 配的分子世界里存在着某种“幸存者游戏”. 3) 游戏理 论和量子通信理论是密切联系的 . 实际上 ,游戏的一个2 经典游戏近些年来 ,量子物理学家感兴趣的游戏主要集中于以下几个 : 掷硬币游戏 4 、Mo nt y Hall 游戏 5 、PQ 翻 硬币游戏 6 、囚徒怪圈游戏 3 等等 .经典的掷硬币游戏中 ,玩家 (假设叫 Bob) 无法知道庄家 (假设叫 Alice) 是否作弊 ,但在采用了量子策略及 量子测量并使用了量子态的量子游戏中 ,Bob 就可以知 道 Alice 是否作弊 . 而经典的 Mo nt y Hall 游戏根本就无 法做到公平 ,但在量子化了的 Mo nt y Hall 游戏当中 ,参 与者就可 以 采 用 量 子 策 略 及 量 子 测 量 来 做 到 公 平 游收稿日期 :2002 - 06 - 17 ;修回日期 :2002 - 12 - 11作者简介 :李威 ( 1978 ) ,男 ,天津人 ,天津大学应用物理系硕士生.戏 . 对于 PQ 翻硬币游戏 , 经 典 的 情 况 下 , 可 以 做 到 公平 ,但在量子情况下 ,就可以做到让代号为 P 的人永远 都输 ,让代号为 Q 的人永远都赢 . 上面谈到的 PQ 翻硬 币游戏和 Mo nt y Hall 游戏是一类游戏双方收益之和为 零的游戏 (即输的一方的支出正好等于赢的一方的收 益) ,对于二人收益之和为零的游戏 ,类比于经典游戏 , Meyer 提出并证明了如下三个定理 6 ,7 :定理 一 在 二 人 收 益 之 和 为 零 的 游 戏 中 的 对 弈 者 ,使用最优化量子策略的收益期望值不低于使用最 优经典混合策略的收益期望值 . ( 证明 : 因为经典混合策略都可以找到一个量子策略来表示)定理二 在二人收益之和为零的游戏中并不一定 存在双方都采用单纯量子策略的平衡点 .定理三 在二人收益之和为零的游戏中总存在双 方均采取混合量子策略的平衡点 .以上这三个定理 ,由于目前人们只是集中于对其 游戏本身的研究 ,所以我们就不做详细介绍了 ,具体情况可以参考文献 4 6 . 下面我们要详细介绍一下与物理学可能会有很大关系的囚徒怪圈游戏 ,它是一 种游戏双方收益之和不为零的游戏.囚徒怪圈 游 戏 3 描 述 的 是 游 戏 双 方 Alice 和 Bob分别被关在两间牢房里 ,他们不能互相交流任何信息 . 两个警察分别审问他们两个人 ,并告诉他们 ,如果一方 指控 ( defence) 另一方而另一方选择合作 ( cooperatio n) , 则指控方得到 5 美元 ,被指控方不得钱 ;如果双方互相 指控 ,则双方都只能得到 1 美元 ;如果双方都采用合作 的策略 ,则双方都可以得到 3 美元 . 这样依据双方策略 的不同 ,各自的收益也就不同 ,具体形式可参见表 1 ,表 中括号里的第一个数代表 Alice 的收益 ,第二个数代表 Bob 的收益 . 那么对于游戏的任何一方来讲 ,最好的策 略 (无论对方选择什么策略 ,自己使用最好的策略时 , 可以做到所得收益不比对方的少) 是什么呢 , 是指控 , 还是合作 ? 在这个游戏当中 ,双方的策略空间 (即 Alice 或 Bob 可以选择的策略的集合) 就是指控与合作的集 合 ,用 D , C表示 ,其中 D 表示指控 , C 表示合作 . 显 然这个游戏对双方都是公平的 . 那么 ,Alice 会想 “: 如果 Bob 选择合作 ,我只要选择指控就会获得最大的收益 ; 如果Bob选择指控 ,我最好的选择仍然是指控 . ”当 然表 1 二体囚徒怪圈游戏的收益矩阵Bob 也会这么想 . 由此我们可以看到 ,由于他们不能互相交流信息 ,因此 ,指控对方成为他们最好的选择 . 如 果双方都选择了指控对方 ,那么任何一方都只能得到 1 美元 . 他 们 的 这 个 策 略 对 就 是 所 谓 的 Nash 平 衡 点 . Nash 平衡点是这样一个策略对 ,即游戏的任何一方都 不能通过自己单方面的调整自己的策略偏离该平衡点而获得更大的收益 . 但是 ,显然这不如他们选择相互合作而获得的收益大 ( 都选择合作时 ,每一方都能获得 3美元) . 下面 ,引入 Pareto 最优化策略对概念 ,它是指这 样一对策略 ,游戏中任何一方对该策略对的偏离都不 能在不减少对方收益的前提下增加自己的收益 . 显然 ,在囚徒怪圈游戏中 ,双方都选择合作这样一个策略对 就是 Pareto 最优化策略对 . 于是在经典游戏中 ,我们可 以看出 Pareto 最优化策略对并不是 Nash 平衡点 ,但他 们为了不让自己的利益受损而必然会选择指控策略 , 这样双方就得不到更大的收益 . 那么他们到底是选择 指控对 方 还 是 选 择 与 对 方 合 作 呢 ? 囚 徒 们 ( Alice 和 Bob) 陷入 了 怪 圈 , 他 们 进 退 维 谷 . 但 在 量 子 化 的 游 戏 中 ,我们可以使 Nash 平衡点和 Pareto 最优化策略对变 成同一个策略对 ,这样 ,囚徒们 (Alice 和 Bob) 的怪圈就 会消失 . 囚徒怪圈游戏也被推广到多体的情况 . 三体囚8徒怪圈游戏 的具体情况参见表 2 ,表中 : |中由左到右分别为三个参与者的状态 ,1 代表指控 , 0 代表合作 . ( ) 中由左到右分别表示三个参与者的收益情况 .从收益情况我们可以看出 ,每个人的最好的策略是选 择指控 ,但这样的话 ,每个人只能得到 2 美元 ; 而如果每个人都采用 80 %的概率选择指控策略的话 ,他们会 得到更大 的 收 益 . 他 们 究 竟 是 选 择 指 控 还 是 合 作 呢 ?他们依然进退维谷 ,依然陷入怪圈 . 而在量子化的游戏当中 ,他们可以通过采用量子策略而跳出怪圈 ,从而获 得最大的收益 .表 2 三体囚徒怪圈游戏中参与者的收益情况Bob : C Bob : DAlice : C(3 ,3) (0 ,5)Alice : D(5 ,0) (1 ,1)被测状态游戏参与者的收益情况| 0 0 0| 1 0 0| 0 1 0| 0 0 1| 0 1 1| 1 0 1| 1 1 0| 1 1 1(0 ,0 ,0)(1 , - 9 , - 9) ( - 9 ,1 , - 9) ( - 9 , - 9 ,1) (1 ,9 ,9)(9 ,1 ,9) (9 ,9 ,1)(2 ,2 ,2)2P = | | f | ,其中 , = C , D . 假设 ,他们的策略空间都被限制为 2 参数的 2 2 幺正矩阵的集合 ,即3 量子游戏ei cos sin 前面我们已经介绍了囚徒怪圈游戏的经典形式 ,并在第一节里阐述了将经典游戏量子化的几个原因 ,下面我们要量子化上面提到的这个游戏 . 无论是经典 游戏还是量子游戏 ,他们的收益计算规则是不变的 . 量 子游戏和相应的经典游戏的区别在于 : 经典游戏的输 入态是经典态 ,策略也是经典的策略 (尽管有些游戏也包含了概率在里面 ,但那是经典的概率) ; 而量子游戏的输入态是量子叠加态 ,甚至是纠缠态 ,相应的策略则 变成了一个个的算符 .最早提出囚徒怪圈游戏量子化形式的是 J ens Eis2ert 等人 3 ,依据该游戏的经 典 形 式 , 他 们 提 出 该 游 戏 的量子形式包含 : 1) 能提供两个量子 bit ( 即 qubit ) 的 源 ,两 个 qubit 分 别 给 Alice 和 Bob ; 2) 能 够 让 Alice 和 Bob 操作他们各自 qubit 的装置 ;3) 从最后的输出态中 计算 Alice 和 Bob 的收益情况的装置 . Alice 和 Bob 都十122U (, ) =,其中 0 ,0 - sin e - i cos 22 2 . 于 是 选 择“合 作 ”的 算 符 为 C U ( 0 , 0 ) =1 0,选 择“指 控 ”的 算 符 为 D U (, 0 ) =0 10 1- 1 0. 在 J ens Eisert 的 文 章 中 , J 被 选 择 为 J =expiD D2 ,其中 0 , / 2 . 前面提到 J 可以使Alice 和 Bob 的 qubit 纠缠起来 ,由 J 的具体形式可以看 出 标识了纠缠度的大小 . 当 = 0 时 ,纠缠度为零 ,游 戏退化到经典情形 . 当 =/ 2 时 ,纠缠度为 1 ,达到了 最大 ,这时 D D 不再是 Nash 平衡点 ,新的 Nash 平衡i0点为 Q Q ,其中 Q U ( 0 ,2) =,相应的0 - i双方的收益从经典游戏中的 1 美元变为量子游戏中的3 美元. 我们同样可以看到 , Q Q 既是 Nash 平衡点也 是 Pareto 最优化策略对 ,于是囚徒们通过使用量子策略 走出了怪圈. 对一般的幺正变换 U ,研究表明 9 不存在 单纯的策略构成的平衡点 ,双方都要采用混合量子策 略. 不同的文献分别考察了纠缠度不同时游戏的变化情况 10 ,以及不公平的游戏 (即一方的策略空间小于另一方的策略空间) 的情况 3 ,这里就不一一赘述了.多体的囚徒怪圈游戏 8 装置与二体的差不多 . 只 是有多个输入端和多个输出端以及让游戏的多个参与者操作自己的 qubit 的装置 ,这里的 J = ( 1 2 ) ( I N +i F N ) ,其中 N 表示 N 个算符直积 , I 为不变操作 ,而 F = x . 这里 J 的作用仍然是让参与者的 qubit 纠缠起来 . 考虑三体游戏的情况 ,即 N = 3 ,如图 2 所示 . 如 果输入端为状态| 000) ,按先后的顺序分别表示三个游 戏参与者的 qubit . 这样经过 J 操作 ,输入态变为 ( 1 2 )(| 000+ i| 111) ,这是三个 qubit 的最大纠缠态 . 在经 典游戏当中 ,游戏的参与者要么保留自己的输入态为 0分清 楚 地 知 道 以 上 这 3 项 . 用 | C=和 | D =001分别表示合作态和指控态. 游戏的装置如图 1 所示 . 游 戏 开 始 时 , 两 个 qubit 都 被 制 备 在 合 作 态 , 即| CC(其中 ,前一个字母代表 Alice 的 qubit 的状态 ,后 一个字母代表 Bob 的 qubit 的状态 ,以下相同) . J 是一个二位门 操 作 , 它 的 作 用 是 使 得 Alice 和 Bob 的 qubit纠缠起来 . U A 和 UB 代表 Alice 和 Bob 对各自 qubit 的 操作 . 由图可见 , U A 和 UB 是局域操作 ( 注意局域操作 不会改变一个态的纠缠度) . J + 是 J 的共轭算符. J + 之后的装置是输出装置 ,它用来计算 Alice 和 Bob 的收益情况 . 这样游戏的末态就是 U A 和 UB 的函数 ,即 | f += | f ( U A UB ) = J ( U A UB ) J | CC, 其中 为直积符号 . 末态的观察结果产生相应的收益 , 例如 , 若 末态为| f = | CD则 Alice 得到 0 美元 ,Bob 得到 5 美 元 . 对于一般的末态 ,Alice 收益的期望值为 A = r PCC+ p PDD + t PDC + s PCD ,Bob 的收益期望值为 B = r PCC+ p PDD + s PDC + t PCD ,其中 r = 3 , p = 1 , t = 5 , s = 0 ,而图 1 二体量子囚徒怪圈游戏示意图图 2 三体量子囚徒怪圈游戏示意图不变 ,要么翻转自己的输入态为 1 ,他们的首选策略必然是翻转 ,但这时只能各自得到 2 美元 ,即 ( 2 , 2 , 2) 是 他们首选策略的收益 . 假如他们可以以一定的概率选 择翻转 ,我们定义不翻转输入态的概率为 p , p 可以取从 0 到 1 之间的任何一个数 . 为了简便 ,我们只考虑 p= 0 ,1/ 2 ,1 三种情况 . 这样会有 33 = 27 种可能的策略 ,可以分为 10 个类 ,在每个类当中交换参与者的标记 ,所得的结果不变 . 这样收益情况 可 以 参 见 表 3 ( 表 中 :何一个操作来操作自己的 qubit ,但我们为了与经典游戏对应 ,我们限制每个参与者的策略空间均为 I 、x 和(1/ 2 ) (x + z ) 三种操作的集合 , 分别与经典的 p =1 ,0 ,1/ 2 对应 ,可以分别表示为 p 1 , p 0 , p 1/ 2 .相应的收益情况可以参见表 4 (表中 “: a”代表游戏参与者 . p 0 代表 x ; p 12 代表 ( 1 2 ) (x + z ) ; p 1 代表 I . ( ) 中表示的是输入态为 0 态的时候 ,参与者 的平均收益 . 中表示的是输入态为 1 态的时候 ,参 与者的平均收益 . 输入态有 12 的概率是 0 ,12 概率是1 的时候的平均收益由不用括号的数字表示 . 表示对 于输入态是 0 或 1 的时候 ,收益情况对三个参与者取“a”代表游戏参与者 . p 是不翻转输入态的概率 . ()中表示的是输入态为 0 态的时候 ,参与者的平均收益 . 中表示的是输入态为 1 态的时候 ,参与者的平均 收益 . 输入态有 12 的概率是 0 ,12 概率是 1 的时候的平均收益由不用括号的数字表示 . 表示对于输入态表示收益情况对输入态 0 和 1 取平均 . ) . 可平均 .以看到他们会采取表中第 类策略 ,即相干量子平衡点 ,相应的收益为 ( 5 ,9 ,5) . 文献 11 讨论了如果有一 个精灵在游戏参与者不知情的状态下改变输入态时 ,是 0 或 1 的时候 ,收益情况对三个参与者取平均 . 表示收益情况对输入态 0 和 1 取平均 . ) . 与此对应 ,对于 游戏的量子情况 ,参与者可以使用属于 SU ( 2) 群的任表 3经典三体囚徒怪圈游戏中三个游戏参与者的平均收益表 4量子三体囚徒怪圈游戏中三个游戏参与者的平均收益类p 0 p 12 p 1 C aaa ( - 154) 19 4 1 2 1 ( - 154) 19 4 12 a ( - 154) 19 4 1 2 aa ( - 154) 19 4 1 2 3 ( - 154) 19 4 12 aa ( - 72) 9 2 1 2 a (32) 1 2 1 3 ( - 116) 19 6 23aaa (2) 0 1 1(2) 0 1 aaa (0) 2 1 1(0) 2 1a (1) 1 1 aa ( - 9) 9 0 3 ( - 173) 19 3 13 aa (9) - 9 0 a (1) 1 1 3 (193) - 17 3 13 a (5) - 4 1 2 a (9) - 9 0 a (5) - 4 1 2 6 (193) - 17 3 13 aa (194) - 15 4 1 2 a (194) - 15 4 1 2 3 (194) - 15 4 12a (32) 1 2 1 aa ( - 72) 9 2 1 2 3 ( - 116) 19 623类p = 0 p = 12 p = 1 C aaa (12) 1 2 1 2 1 (12) 1 2 12 a (214) - 17 4 1 2 aa (34) 1 4 1 23 (94) - 5 4 12 aa (112) - 9 2 1 2 a (32) 1 2 1 3 (256) - 17 6 23aaa (2) 0 1 1 (2) 0 1aaa (0) 2 11(0) 21a (1) 1 1 aa ( - 9) 9 0 3 ( - 173) 19 3 13 aa (9) - 9 0 a (1) 1 1 3 (193) - 17 3 13 a (5) - 4 1 2 a (0) 0 0 a ( - 4) 5 1 2 6 (13) 1 3 13 aa (14) 3 4 1 2 a ( - 174) 21 4 1 2 3 ( - 54) 9 4 12a (12) 3 2 1 aa ( - 92) 11 2 1 2 3 ( - 176) 25 623参与者所获得收益的平均值的变化情况 . 如果精灵以 x的概率将输入态由| 0变为 | 1,而以 ( 1 - x ) 的概率保 持输入态不变 ,则收益情况会分成两部分 , 在 0 x x cr 区间里 ,在量子游戏里得到的收益比在经典游戏里得到的收益多 ;而在 x cr x 1 区间里 ,恰恰相反 ,其中 分界点 x cr = 13/ 30 = 0. 433 . 这说明并不是在任何情况 下 ,量子策略都比经典策略优越 . 这里对现实物理世界 有启发意义的是 :精灵可以想像成环境的温度效应 ,如 果| 1态的能量比| 0态的能量高 E ,那么温度的升高 就会导致输入状态由 | 0到 | 1的变化 . 以上的讨论启 发我们可以用多体囚徒怪圈游戏来描述多个粒子的相 互作用情况 ,可以把粒子的能量想像成囚徒们的收益 , 环境的影响可以想像成精灵的作用 , 多个粒子的动态 平衡过程可以想像成量子多体囚徒怪圈游戏的演化问 题 8 . 这或许是我们研究复杂物理问题的另一条路径 .量子游戏可以帮助我们研究物理世界的本质. 众所周知 ,物理学的第一原理是作用量最小原理 ,在这个原理 中 ,如果我们能知道系统的拉格朗日量的具体形式 ,那 么我们就能使用欧拉 - 拉格朗日方程来得到该物理系统满足的微分方程 ,即得到了一个物理定律 . 但人们通常不能预先知道系统的拉格朗日量 , 而通常是先知道 物理定律 ,然后反推出拉格朗日量 . 然而 , Frieden 在他12一篇文章中曾指出 ,拉格朗日量可以从 Fisher 信息测量游戏中直接推导出 来 , 这 里 的 Fisher 信 息 被 定 义 1 成 I = d R2p ( R ) p ( R ) ,其中 p ( R ) 为概率密度函数 ,且 p ( R ) = q2 ( R ) ,这里 q ( R ) 可以写成不同模式N的叠加 ,即 q ( R ) = qn ( R ) . 他把对一个物理量的6n = 1测量过程看成是人类和大自然玩的一个游戏 , 人类和大自然被分别想像成测量者和精灵 . 测量者 ( 人类) 的 任务就是尽可能多的得 到 一 个 物 理 量 的 Fisher 信 息 ,而精灵 (大自 然 ) 的 任 务 就 是 尽 可 能 少 的 失 去 这 些 信4 量子游戏对现实世界的启发 12 息 ,这要求不同的 qn ( R ) 不能有任何交叠,于是有 IN量子游戏是经典游戏在量子世 界 的 推 广 , 由 于 量子力学的纠缠和叠加等特性 , 量子游戏要比经典游戏 丰富多彩得多 . 但它对现实世界的意义却不只在其游戏本身 . 我们要从两个方面来说明量子游戏对现实物理世界的意义 , 或许这两方面就是今后人们使用量子 游戏来分析复杂物理系统和研究物理世界本质的两种 方式 .一方面 ,量子游戏可以帮助我们 分 析 复 杂 的 物 理 问题 . 假设一个物理系统内包含有很多粒子 ,当然这个 物理系统可以是一个装有气体的容器 、一个包含有许 多分子的细胞 、一定地域范围内的动物 、甚至是人类社 会 . 这个物理系统内的众多粒子之间存在着相互作用 , 他们可能彼此交换着信息 , 这种相互作用可能是很复 杂的形式 ,但这种相互作用会随着粒子之间距离的加大而逐渐变小 . 对于这样一个物理系统 ,我们也许可以 用量子游戏理论进行描述 , 例如类似于多体囚徒怪圈游戏 ,我们可以通过对比经典多体游戏和其相应的量 子多体游戏 , 来揭示量子多体物理系统和经典多体系 统中各种物理量的差异 . 我们可以把粒子们想像成游 戏的参与者 ,他们有独立的判断能力 ,通过设定适当的 游戏规则 ,我们可能会得出许多有用的结 论 . 例 如 , 在分析简单多粒子系统的各种物理问题时 , 我们可以把 粒子的能量想像成游戏参与者的收益 , 多体系统的波函数可以想像成多体游戏里的纠缠态 , 环境的退相干 可以想像成游戏中精灵的作用 11 .另一方面可能是更有趣的 ,也可能是更本质的 ,即n = 1 6= 4d R q q . 在 这 样 的 游 戏 规 则 下 , Friedenn n得到了极端物理信息 (ext reme p hysical informatio n 简称EP I) 原理 ,即N6I = I - J = 4 d R qn qn -n = 1 d R F q ( R) , R = 0其中 I 为 Fisher 信息 , J d R F q ( R ) , R 为测量某一物理量时得到的 I 的极值 ,也就是说在具体的物理问题中 J 应该为常量. 由这个原理并考虑到物理系统的一 些对称性 ,就可以推导出一个物理系统的拉格朗日量 , 这样就会得到物理定律及相应的物理常量. 在 Frieden 的文章中 ,令时空坐标为 x i = i x , x 2 = i y , x 3 = i z , x 4 = ct ,设 n q2 n - 1 + i q2 n , n = 1 ,2 , K , N2 ,于是有N2Nn = 1 6n = 1 6I = 4d Rqn qn = 4 cd rd t 35n1- ) 3 n(1)n +n25 tc此处 R = (i r , ct ) = (i x ,i y ,i z , ct ) 为四维坐标. 注意到动量空间是实空间的傅里叶变换 , 即 (i r , ct ) (ih ,Ech) ,并设 n 的傅里叶变换式为 n ,于是得到 ( n ,5n5 t ) ( - in h ,i Enh ) . 将其代入式 ( 1 ) 得到动 量空间 I 和 J 的表示式I J = (4 ch2 ) dd Ep (, E) ( - 2 + E2c2 ) =2 + E2c2 (2) - 4 ch255 tN2此游戏理论 ,尤其是量子游戏理论 ( 因为我们的世界是量子世界) 很可能成为研究各种复杂问题和认识世界 的有益的工具 .其中 p (, E) = 3 为动量空间的概率密度 . 由6n nn = 1于在某一物理系统中 J 必为常量 ,而上面表达式中 4 ch2 和 - 2 + E2c2 是独立变化的 ,因此要求这两项分别为 常量 :若认为光速 c 是常量 ,那么就可以定出普朗克常 量 h ; 由第二项为常量 ,我们可以得到 - 2 + E2c2 = A 2 ( m , c) ,考虑到量纲一致 ,可以认为 A ( m , c) = mc , 于是得到著名的质能关系式 E2 = c22 + m 2 c4 . 将质能 关系式代入动量空间 I 和 J 的表示式 (2) 就得到N2参考文献 :1Vo n Neumann J , Mo rgenstern O . 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