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文档简介

数学分析教案3 有理函数和可化为有理函数的不定积分一 有理函数的不定积分有理函数的一般形式为：。其中为非负整数， 与都是常数，且。若，则称为真分式；若，则称为假分式。结论： 假分式=多项式+真分式。因此，对有理函数的积分，只要讨论真分式的积分即可。重要结论：任何一个有理真分式必定可以表示为若干个形如（称为部分分式）：（1） ； （2） ；（3）； （4）。的真分式之和，其中A，B，为常数，为正整数。因此，对有理真分式的积分只要讨论上述四种形式的真分式的积分即可。（1） 。（2） ， 。（3） ，令，并记，则 。（4） 同（3）可得 ， 。 记 ，则 = ，于是，有递推公式。将这些结果代回，即可求得所求积分。例1 求 。解：因本题中，被积函数的分母不能再分解，故 ；而 ； ；又 ；故 。课堂练习： （3）、（5）。二 三角有理式的不定积分 由，及常数经过有限次四则运算所得到的函数称为关于，的有理式，并记为 。对于三角有理式的不定积分 。 一般通过变换（万能变换），可把它化为有理函数的积分： ； ；故 。例2 求 。注意：上述变换对三角有理式的不定积分总是有效的，但并不一定是最好的变换，在实际计算中要注意选择不同的变换。1) 若 则可令如求2) 若，则可令，如求 。3) 若，则可令，如P195例4。三 某些无理根式的不定积分1 型的不定积分。只要令就可有理化。例3 求 。说明：用下面的方法计算本题较为简单 。例4 求 。解：令即可有理化，（略）。说明：用下面的方法计算本题较为简单 。2型不定积分时，时，。一般地，当时，令即可将积分有理化之；当时，令即可将积分有理化之。以上两种变换均称为欧拉变换。注意：初等函数的原函数不一定是初等函数，因此，在初等函数
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