15组-火车弯道缓和曲线问题.doc

承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： D 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 延安职业技术学院财经信息分院 参赛队员 (打印并签名) ：1. 张金鹏 2. 杨鹏丽 3. 李 凯 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 指导组 日期： 2008 年 9 月 19 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2008高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：2008高教社杯全国大学生数学建模竞赛论文火车弯道缓和曲线模型摘 要本文首先分析了与弯道设计和火车安全运行相关的重要因素，分为两个方面：一是弯道设计的相关指标，包括缓和曲线的函数，缓和曲线的长度限制，转弯时外轨超高的量值以及超高顺坡率，由于配合列车转弯的加宽的轨距以及轨距递变率，列车的脱轨系数和乘客的舒适度，铁轨的摩擦和损耗；另一方面是列车运行时的限制指标，包括列车的载重，列车的车速等。这些因素决定了列车运行的安全与否，也决定了列车提速的幅度和对今后既有铁路的提速空间。 对于以上所示这些影响因素， 通过对列车在弯道上的行驶时轮轨间几何关系和经典的动力学关系的分析，得出确定有关因素的数学模型和算法：一、缓和曲线形状的确定，通过合理的假设抽象出对缓和曲线函数的要求，并讨论了一种有代表性的外轨的函数形式；得到内轨的函数形式，从而确定轨道的加宽和超高值，将得到的缓和曲线轨道的乘客舒适度，铁轨摩擦损耗，脱轨系数等安全指标以及工程施工的复杂度等与实际情况进行比较；二、从行车安全和轮轨磨损两个角度确定了合适的轨距加宽范围；三、确定铁轨弯道的各个参数后， 通过合理设置最大欠超高和最大过超高计算了火车通过弯道时的允许速度。 利用已建立的模型和算法，得到各类型的弯道的列车行驶的速度范围，并且与实际的列车行驶的速度相比较，来确定方案的合理性与可行性。当列车的速度上限大于现提速后的列车的既有速度，则表示列车仍有提速的空间，否则需要对设计的进行修改以达到提速后列车行驶的标准。关键词： 缓和曲线的函数 一、问题重述火车驶上弯道时，根据力学原理，会产生离心力F，在轨道的直道与弯道（圆弧）的衔接部，列车受到的离心力由零突变到F，如果火车转弯处内外轨无高度差，火车行驶到此处时，由于火车惯性的缘故，会造成外轨内侧与火车外轮的轮缘相互挤压现象，使火车受到外轨内侧的侧压力作用迫使火车转弯做圆周运动但是这个侧压力的反作用力，作用在外轨上会对外轨产生极大的破坏作用，甚至会引起外轨变形，造成翻车事故为此火车轨道在弯道处采取“外轨超高”的办法，即把弯道上的外轨抬高一定高度，使列车倾斜，这样产生的向心力抵消部分离心力，以保证列车安全运行。为使等高的直线轨道与外轨超高的圆弧平缓衔接，同时避免离心力的突然出现，要在弯道与直道间加设一段曲线，以使列车受到的离心力从零均匀地增大到F，外轨超高也从零逐渐增大到h。所加曲线称为缓和曲线。缓和曲线越长，其缓和效果就越好；但太长的缓和曲线也是没有必要的，因此这会给测设和施工带来不便。缓和曲线的最小长度应按发挥其作用的要求来确定。二、问题分析如果我们能够给火车弯道一个非常合理的建造的话，那么就会减小线路的损坏，使乘车人感到舒适、不会担心发生危险。因此，我们要给它编制一个合理的、保证列车安全运行的轨道。轨道的建造对人民和财产有密切的影响，我们可以从网上和电视上看到火车脱轨残不忍睹的场景。为了不使亲人们流泪、国家的财产得以保障。因此，为了解决这些问题我们现在所要解决的是用数学建模方法对现题中提出的问题给以计算。同时避免离心力的突然出现，要在弯道与直道间加设一段曲线，以使列车受到的离心力从零均匀地增大到F，外轨超高也从零逐渐增大到h。所加曲线就是缓和曲线。根据所建立的模型，分别求出：缓和曲线方程，考虑到内轨和外轨的不同之处；在外轨超高不改变时，速度提高时，则转弯半径增大 ，缓和曲线的改造；在外轨超高可以改变时，缓和曲线的改造。三、模型假设假设内外轨间的距离为L，内外轨的高度差为h，火车转弯的半径为R，假设在建造的地方无冻土地区，不会影响建造。 假设建造期间无不安全事故发生。 假设施工质量无质量问题。 假设不受地形的影响。假设火车在转弯时前的缓冲时的坐标与坐标轴的相同。假设个项指标符合国家标准。 假设微圆、曲线视为直线。 四、符号及变量说明R为转弯半径K为曲率R为曲率半径V火车运行速度S为转弯前缓和长度转弯总的缓和长度O为圆曲线的圆心为缓和曲线所上升的高度h为没在正式转弯是缓和上升的高度r在外轨超高不变时，速度提高后的转弯半径a内轨缓和曲线上一点Q外轨缓和曲线上一点m火车的质量火车内外轨的距离五、模型的建立与求解对于问题（1）用回旋线作为缓和曲线的数学模型K=在火车行驶到拐弯处时，即有mg得ha点坐标为（x，y），假设x的坐标值在坐标轴上相等时，斜率y为0。K=y 在根据假如缓和曲线所上升的高与转弯总的缓和长度成正比，则可得出： h0 s 200即h=，当取缓和曲线中的一小段在则有ds=积分后得ds=dx，即s=x在假如当火车运行到缓和曲线a时，火车所需的向心力为：得h=K，K=最后解得：y=对于问题（2）在外轨超高不变时，速度提高时，则转弯半径增大。在转弯处使外轨略高于内轨，火车驶过转弯处时，铁轨对火车的支持力 的方向不再是竖直的，而是斜向弯道内侧，它与重力g的合力指向圆心，成为使火车转弯的向心力 设内外轨间的距离为，内外轨的高度差为h，火车转弯的半径为R，火车转弯的规定速度为 如图所示力的三角形得向心力为： 由牛顿第二定律得：所以：即： 当 =200m =120 kmh g=9.8 m/s R=400m时 得到 = =0.428m 在超高0.428米不变的情况下，即：R=400米的情况下，缓和曲线变为： =对于问题（3）在外轨超高可以改变时，速度的变化使缓和曲线随着外轨的超高变化.列车速度一定时在超高可以变化的情况下，会引起半径R的变化。由缓和曲线方程知，在R变化的情况下L可变可不变（LR），都会引起缓和曲线方程的变化。如：列车速度v=180Km/h，则其h=500m时，R=764.64m。=100m时，=X。所以，在超高改变的情况下缓和曲线也会发生相应的变化。六、模型的评价与改进模型的优点：采用了图形结合的方法解决次类问题，是问题简单化，看起来明了了。模型的缺点：把曲线近视化了，采用了理想化的假设，把问题进一步简单化了。七、参考文献1htt