1绪论-第一章-第二章讲稿.doc

目 录绪 论1内容简介1第一章 预备知识2引言2 1.1 三维欧氏空间中的标架2一、向量代数复习2二、标架3三、正交标架空间(流形)3四、正交坐标变换与刚体运动，等距变换3 1.2 向量函数4第二章 曲线论7 2.1 参数曲线7 2.2 曲线的弧长9 2.3 曲线的曲率和Frenet标架10 2.4 曲线的挠率和Frenet公式15 2.5 曲线论基本定理17 2.6 曲线参数方程在一点的标准展开20 2.7 存在对应关系的曲线偶23 2.8 平面曲线26一、平面曲线的Frenet标架26二、平面曲线的Frenet公式27三、相对曲率的几何意义27四、平面曲线论基本定理27五、旋转指标定理2730绪 论几何学是数学中一门古老的分支学科. 几何学产生于现实生产活动. “geometry”就是“土地测量”. Pythagoras定理和勾股定理(周髀算经). 数学：人类智慧的结晶，严密的逻辑系统. 以欧几里德(Euclid)的几何原本(Elements)为代表. 自然辩证法和反杜林论：数学与哲学；数与形的统一：解析几何；坐标系：笛卡儿和费马引入. 对微分几何做出突出贡献的数学家：欧拉(Euler)，蒙日(Monge)，高斯(Gauss)，黎曼(Riemann). 克莱因(Klein)关于变换群的观点. E. Cartan的活动标架方法. 微分几何：微积分，拓扑学，高等代数与解析几何知识的综合运用.内容简介第一章：预备知识. 第二章：曲线论. 第三章至第五章：曲面论. 第六章：测地曲率和测地线. 第七章*：活动标架和外微分法.第一章 预备知识本章内容：向量代数知识复习；正交标架；刚体运动；等距变换；向量函数计划学时：3学时难点：正交标架流形；刚体运动群；等距变换群引言 为什么要研究向量函数？在数学分析中，我们知道一元函数的图像是平面上的一条曲线，二元函数的图像是空间中的一张曲面. 曲线或曲面上的点可以用向量函数表示成或.采用参数方程，空间一条曲线可以表示成.这也是一个向量函数，它的三个分量都是一元函数. 所有这些例子中，都是先取定了一个坐标系. 所以标架与坐标是建立“形”与“数”之间联系的桥梁. 1.1 三维欧氏空间中的标架一、向量代数复习向量即有向线段：，. 向量相等的定义：大小和方向. 零向量：，. 反向量：. 向量的线性运算. 加法：三角形法则，多边形法则. 向量按照加法运算构成一个群. 数乘. 向量按照加法和数乘运算构成一个向量空间. 定义了内积的向量空间称为欧氏空间. 内积的定义：. 向量的长度. 三角不等式. 外积的定义. 二重外积公式：；.内积的基本性质：对称性，双线性，正定性. 外积的基本性质：反对称性，双线性.二、标架仿射标架. 定向标架. 正交标架(即右手单位正交标架)：. 笛卡尔直角坐标系. 坐标. 内积和外积在正交标架下的计算公式. 两点距离公式. 三维欧氏空间和. 三、正交标架空间(流形)取定一个正交标架(绝对坐标系). 则任意一个正交标架被点的坐标和三个基向量的分量唯一确定： (1.6)其中可以随意取定，而应满足， (1.7)即过渡矩阵是正交矩阵. 又因为是右手系，即矩阵 (1.8, 1.9)是行列式为1的正交矩阵. 我们有一一对应：正交标架，.所以正交标架的集合是一个6维流形. 四、正交坐标变换与刚体运动，等距变换空间任意一点在两个正交标架和中的坐标分别为和，则两个坐标之间有正交坐标变换关系式： (1.10)事实上，因为，将(1.6)代入上式即得(1.10).如果一个物体在空间运动，不改变其形状和大小，仅改变其在空间中的位置，则该物体的这种运动称为刚体运动. 用数学语言来说，就是欧氏空间到自身的映射，使得任何图形的像是与原来的图形通过刚体运动而得.在刚体运动下，若将正交标架变为，则空间任意一点和它的像点(均为在中的坐标)之间的关系式为 (1.11)定理1.1 中的刚体运动把一个正交标架变成一个正交标架；反过来，对于中的任意两个正交标架，必有的一个刚体运动把其中的一个正交标架变成另一个正交标架. 定理的证明. 定理的前半部分是明显的. 事实上，由刚体运动的定义可知保持向量的内积和外积，也就是说，若的像是，则有，.于是把等腰直角变成与它全等的等腰直角，所以把相互正交的单位向量变成相互正交的单位向量. 同理可知把变成. 反过来，设和是中的任意两个正交标架. 我们来证明存在两个刚体运动，分别将初始标架变成和，从而刚体运动将变成了. 设和之间的关系由(1.6)给出： (1.6)利用上式中的12个数，用(1.11)定义一个刚体运动.容易验证将变成. 空间到它自身的、保持任意两点之间的距离不变的变换称为等距变换. 刚体运动是等距变换，但等距变换不一定是刚体运动. 一般来说，等距变换是一个刚体运动，或一个刚体运动与一个关于某平面的反射的合成(即复合)映射. 仿射坐标变换与仿射变换. 1.2 向量函数所谓的向量函数是指从它的定义域到中的映射. 设有定义在区间上的向量函数.如果都是的连续函数，则称向量函数是连续的；如果都是的连续可微函数，则称向量函数是连续可微的. 向量函数的导数和积分的定义与数值函数的导数和积分的定义是相同的，即 ， (2.6)， (2.7)其中是区间的任意一个分割，并且. (由向量加法和数乘的定义可以得到)向量函数的求导和积分归结为它的分量函数的求导和积分，向量函数的可微性和可积性归结为它的分量函数的可微性和可积性. 由(2.6)可得.定理2.1 (Leibniz法则) 假定是三个可微的向量函数，则它们的内积、外积、混合积的导数有下面的公式：(1) ；(2) ；(3) . 证明留作习题.定理2.2 设是一个处处非零的连续可微的向量函数，则(1) 向量函数的长度是常数当且仅当. (2) 向量函数的方向不变当且仅当. (3) 设是二阶连续可微的. 如果向量函数与某个固定的方向垂直，那么.反过来，如果上式成立，并且处处有，那么向量函数必定与某个固定的方向垂直. 证明 (1) 因为，所以是常数是常数. (2) 因为处处非零，取方向的单位向量. 则，其中连续可微. 于是 “”由条件知是常向量，. 从而.“”由条件得，所以，处处线性相关. 因为是单位向量，处处非零，所以. 用作内积，得. 于是，是常向量. (3) 设向量函数与某个固定的方向垂直，那么有单位常向量使得. 求导得到，. 从而共面，. 反之，设. 令. 由条件，是处处非零的连续可微函数，且. 根据二重外积公式，根据已经证明的(2)，的方向不变. 设这个方向的单位向量为. 则. 等式两边用作内积，得.由于处处非零，上式说明，即与固定方向垂直. 课外作业：1. 证明定理2.1. 2. 设为等距变换，即保持任意两点的距离不变：，. 在中取定一个正交标架，则中每个点一一对应于中一个向量. 定义映射.如果，证明是线性映射. 3. 设向量函数有任意阶导(函)数. 用表示的阶导数，并设处处非零. 试求的充要条件. 第二章 曲线论本章内容：弧长，曲率，挠率；Frenet标架，Frenet公式；曲线论基本定理计划学时：14学时，含习题课3学时. 难点：曲线论基本定理的证明引言 刻画曲线形状的几何不变量：弧长，曲率，挠率. 曲线论基本定理 2.1 参数曲线三维欧氏空间中的一条曲线是一个连续映射，称为参数曲线. 取定正交标架，则曲线上的点与它的位置向量一一对应. 令. 则， (1.3)其中为曲线的参数，(1.3)称为曲线的参数方程. 由定义可知，. (1.4)如果坐标函数是连续可微的，则称曲线是连续可微的. 此概念与标架的取法无关. (为什么？)导数的几何意义：割线的极限位置就是曲线的切线. 图2-1如果，则是该曲线在处的切线的方向向量，称为该曲线的切向量. 这样的点称为曲线的正则点. 曲线在正则点的切线方程为， (1.5)其中是固定的，是切线上点的参数，是切线上参数为的点的位置向量. 定义. 如果是至少三次以上的连续可微向量函数，并且处处是正则点，即对任意的，则称曲线是正则参数曲线. 将参数增大的方向称为曲线的正向. 上述定义与中直角坐标系的选取无关. 曲线的参数方程中参数的选择不是唯一的. 在进行参数变换时，要求参数变换满足：(1) 是的三次连续可微函数；(2) 处处不为零. 这样的参数变换称为可允许的参数变换. 当时，称为保持定向的参数变换. 根据复合函数的求导法则，. 这种可允许的参数变换在所有正则参数曲线之间建立了一种等价关系. 等价的正则参数曲线看作是同一条曲线，称为一条正则曲线. (正则曲线：正则参数曲线的等价类.) 以下总假定是正则曲线. 如果一条正则参数曲线只允许作保持定向的参数变换，则这样的正则参数曲线的等价类被称为是一条有向正则曲线. (返回Frenet标架)图2-2例1.1 圆柱螺线，其中是常数，. ，.所以圆柱螺线是正则(参数)曲线.图2-3例1.2 半三次曲线. ，.这条曲线不是正则曲线. 连续可微性和曲线的正则性(光滑性)是不同的概念. (与数学分析中的结论比较)平面曲线的一般方程和隐式方程. 空间曲线的一般方程 (5)和隐式方程 (6)这些方程可以化为参数方程. (习题4：正则曲线总可以用一般方程表示)空间曲线(5)和(6)的正则性与切向量. 曲线(5)可以写成参数方程. 由于，它总是正则曲线. 对于曲线(6)，如果两个梯度向量与在曲线上一点处不共线，则在该点附近是正则曲线. 反之，如果(6)表示一条正则曲线，未必有. (例如？)课外作业：习题2，5 2.2 曲线的弧长设中一条正则曲线的方程为. 则 (2.1)是该曲线的一个不变量，即它与正交标架的选取无关，也与曲线的可允许参数变换无关. 不变量的几何意义是该曲线的弧长，因为 .其中是区间的任意一个分割， . (为什么？)图2-4令. (2.4)则是曲线的保持定向的可允许参数变换(为什么？)，称为弧长参数. 它是由曲线本身确定的，至多相差一个常数，与曲线的坐标表示和参数选择都是无关的. 因此任何正则曲线都可以采用弧长作为参数，当然，允许相差一个常数. 注意也是曲线的不变量，称为曲线的弧长元素(或称弧微分). 虽然理论上任何正则曲线都可以采用弧长参数，但是具体的例子中，曲线都是用一般的参数给出的. 由(2.4)，即使是初等函数，也不一定是初等函数. 下面的定理给出了判别一般参数是否是弧长参数的方法. 定理2.1 设是中一条正则曲线，则是它的弧长参数的充分必要条件是. 即是弧长参数当且仅当(沿着曲线的)切向量场是单位切向量场. 证明. “”由(2.4)可知，. “”如果是弧长参数，则，从而. 以下用“”表示对弧长参数的导数，如，等等，或简记为等等. 而“”则用来表示对一般参数的导数. 课堂练习：4课外作业：习题1，2(1)，3. 2.3 曲线的曲率和Frenet标架设曲线的方程为，其中是曲线的弧长参数. 令. (3.1)对于给定的，设是与之间的夹角，其中是的增量. 图2-5定理3.1 设是曲线的单位切向量场，是弧长参数. 用表示向量与之间的夹角，则. (3.2)证明. ，因为，所以. 定义3.1 称函数为曲线在(即)点处的曲率，称为该曲线的曲率向量. 定理3.2 曲线是一条直线曲率. 证明. “”直线的弧长参数方程为，其中(的终点)是直线上的一个定点，是直线的单位方向向量. 因此，从而. “”设曲线的弧长参数方程为. 由条件，故. 积分得，其中是两个常向量. 所以是直线. 这个定理说明曲率确实反映了曲线的弯曲程度.把曲线的单位切向量平移到原点，其端点所描出的曲线称为曲线的切线象. 其方程就是. (3.3)例如圆柱螺线的切线象是单位球面上的一个圆. 当然，不一定是切线象的弧长参数. 切线象的弧长元素为 . (3.4)所以 ， (3.5)即曲率是切线象的弧长元素与曲线的弧长元素之比. 由可知. 所以曲率向量是曲线的一个法向量场. 如果在一点处，则向量称为曲线在该点的主法向量场. 于是在该点有 . (3.6)在处，令. (3.7)它是曲线的第二个法向量场，称为在该点的次法向量场(或称副法向量场). 这样，在正则曲线上的点，有一个完全确定的正交标架，称为曲线在该点的Frenet标架(见图2-2). 在保持定向的参数变换下，Frenet标架是唯一的. (在反转定向的参数变换下，Frenet标架如何变化？) 注意. 如果在一点处，则一般来说无法定义在该点的Frenet标架. 1. 若，则是直线(定理3.2)，可以定义它的Frenet标架. 2. 若是的孤立零点, 则在的两侧都有Frenet标架. 若，则可以将Frenet标架延拓到点. 3. 在其他的情况下将曲线分成若干段来考察. 切线、主法线和次法线，法平面、从切平面和密切平面，以及它们的方程. 密切平面法平面从切平面切线主法线次法线切线：；主法线：；次法线：.法平面：；从切平面：；密切平面：.下面是在一般参数下，曲率和Frenet标架的计算方法. ，. (3.13)证明. 设为弧长参数，为其反函数. 则由(2.4)，.故. (3.12)由曲率的定义，可知主法向量满足. 上式再对求导，得.于是.所以. 代入上式得. 例3.1 求圆柱螺线的曲率和Frenet标架，其中. 解. ，.所以，. 例3.2 求维维安尼(Viviani)曲线在点处的曲率和Frenet标架. 解法1. 将曲线写成参数方程，. 点对应的参数为，其中为整数. 不妨设. ，.于是当时，.所以在点处的曲率，Frenet标架为，. 解法2. 设曲线的弧长参数方程为，点对应的参数为. 则有， (1)以及 (3.14)求导得到 (3.15)令，由(1)和上述方程组得到，. 通过改变曲线的正方向，可设，于是. (3.16)对(3.15)前两式再求导，利用(3.14)得 (3.17)令，由(3.15)和(3.16)得；由(1)得；再由(3.16)和(3.17)第2式得. 所以.由此得处的曲率，Frenet标架为：；，.课外作业：习题1，4，7 2.4 曲线的挠率和Frenet公式密切平面对弧长的变化率为，它刻画了曲线偏离密切平面的程度，即曲线的扭曲程度. 定义4.1 函数，即称为曲线的挠率(为弧长参数). 注. 由，可知. 因此 ， (4.1)从而，即挠率的绝对值刻画了曲线的扭曲程度. 定理4.1 设曲线不是直线，则是平面曲线的充分必要条件是它的挠率. 证明. 设曲线的弧长参数方程为，. 因为不是直线，(见定理3.2 )，存在Frenet标架. “” 设是平面曲线，在平面上，其中是平面上一个定点的位置向量，是平面的法向量，和均为常向量. 则有.求导得.于是, 由于，所以是常向量，从而，. 即. “”设. 由(4.1)得. 所以是常向量. 由可知是一个常数，即，其中是固定的. 于是曲线上的点满足平面方程，其中是平面上一个定点的位置向量，是平面的法向量. 设正则曲线上存在Frenet标架. 对Frenet标架进行求导，得到Frenet公式 (4.8)(为什么？)上式中的后三式可以写成矩阵的形式. (4.9)作为Frenet公式的一个应用，现在来证明定理4.2 设曲线的曲率和挠率都不为零，是弧长参数. 如果该曲线落在一个球面上，则有， (4.10)其中为常数. (反过来对不对？)证明. 由条件，设曲线所在的球面半径是，球心的位置向量是，即有. (4.11)求导得到.这说明垂直于，可设. (4.12)再求导，利用Frenet公式得.比较两边的系数，得， (4.13)其中略去了自变量. 所以，. (4.14)将(4.12)两边平方可得，再将(4.14)代入其中，即得(4.10). 注记 由证明过程中的(4.13)第3式还可得. (4.16)在一般参数下挠率的计算公式. . (4.18)证明. 因为，利用Frenet公式，有，于是， ()从而 由()可知，代入上式即得(4.18). 定理4.3 曲线是平面曲线的充要条件是. 例 求圆柱螺线的挠率. 解. ，所以，. 课外作业：习题1(2, 4)，4，10 2.5 曲线论基本定理已经知道正则参数曲线的弧长、曲率、挠率是曲线的不变量，与坐标系取法及保持定向的参数无关，都是曲线本身的内在不变量. 在空间的刚体运动下，弧长、曲率、挠率保持不变(为什么？). 反之，这三个量也是曲线的完备不变量系统，对确定空间曲线的形状已经足够了，即有定理5.1 (唯一性定理) 设，是中两条以弧长为参数的正则参数曲线，. 如果它们的曲率处处不为零，且有相同的曲率函数和挠率函数，即，则有中的一个刚体运动将变成. 证明 选取中的刚体运动将在处的Frenet标架变为在处的Frenet标架. 则这个刚体运动将变为正则曲线. 设的弧长参数方程为. 由于在刚体运动下，弧长、曲率、挠率保持不变，与也有相同的曲率和挠率函数：，.且在处它们有相同的Frenet标架：令和分别为和的Frenet标架. 则它们都满足一阶线性常微分方程组初值问题 (5.6) (5.7)根据解的唯一性(见附录定理1)，有，即与重合. 注 常微分方程组(5.6)中，共有12个未知函数：，. 初始条件为：，.定理5.2设是中两条正则参数曲线，它们的曲率处处不为零. 如果存在三次以上的连续可微函数()，使得这两条曲线的弧长函数、曲率函数和挠率函数之间满足， (5.4)则有中的一个刚体运动将变成. 证明 不妨设. 对作可允许参数变换，可将的参数方程写成. 则的弧长为，的弧长为.由条件，可取作为和的弧长参数. 因为有相同的反函数，即，.于是.同理，. 根据定理5.1，有中的一个刚体运动将变成. 定理5.3 (存在性定理) 设是定义在区间上的任意二个给定的连续可微函数，并且. 则除了相差一个刚体运动之外，存在唯一的中的正则曲线，使得是的弧长参数，且分别以给定的函数和为它的曲率和挠率. 证明 唯一性由定理5.1即得. 只要证明存在性. 考虑含有12个未知函数的一阶线性常微分方程组初值问题(5.6)，(5.7) (5.6) (5.7)根据解的唯一存在定理(见附录定理1.1)，对任意给定的初始条件(5.7)，(5.6)都有定义在区间上的解. 取(5.6)的满足初始条件 (5.7) 的解，其中是一个正交标架(即右手单位直角标架). 为了使用求和号，记, (5.9). (5.5)因为是(5.6)的解，所以是三阶连续可微的. 下面来证明就是所求的曲线. 由(5.6)可得 (5.6)首先来证明. (5.10)由(5.6)得，由初始条件(5.7)可知有，. 这说明9个函数满足一阶线性常微分方程组初值问题，.另一方面由(5.5)可知，. 于是9个函数也满足上面的一阶线性常微分方程组初值问题. 由解的唯一性，必有. 因此是两两正交的单位向量. 从而混合积. 但是函数是连续的，并且由初始条件得. 所以构成右手系. 现在，由(5.6)可知. 所以是正则曲线，并且是的弧长参数，是的单位切向量场. 由(5.6)第2式及可知的曲率为，主法向量场为. 最后，因为是右手单位正交基，所以是次法向量场. 再由(5.6)第3式可知的挠率为. 例 求曲率和挠率分别是常数，的曲线的参数方程. 解 我们已经知道圆柱螺线的曲率和挠率都是常数，分别为和. 根据定理5.1，曲线一定是圆柱螺线. 由和解出，. 因此所求曲线的参数方程为.因为的弧长参数，将上式中的换成就可得到的弧长参数方程：. 课外作业：习题1，2，4 2.6 曲线参数方程在一点的标准展开对于定义在区间上的次连续可微的函数，可以在区间内任意一点邻近展开为Taylor展式：.同样，对于一条三次连续可微的弧长参数曲线，可在处展开为， (6.1)其中是一个向量函数，满足. (6.2)由Frenet公式可得,. (6.3)代入(6.1)得， 其中. 以处的Frenet标架建立右手直角坐标系，则曲线在附近的参数方程为 (6.4)上式称为曲线在处的标准展开式. 在标架下，考虑的近似曲线. (6.5)近似曲线与原曲线在处有相同的Frenet标架，有相同的曲率和相同的挠率. 事实上，因为是的一般参数，并且，从而，.在邻近，近似曲线的性状近似地反映了原曲线的性状. 近似曲线的图形见下图，其在各坐标平面上的投影见书上图2.6. 在密切平面上的投影是抛物线：，在从切平面上的投影是三次曲线：，在法平面上的投影是半三次曲线：. 定义 设两条弧长参数曲线相交于，. 取，使得. 若有正整数使得， (6.9)则称与在处有阶切触. 定理6.1 设两条弧长参数曲线， 在处相交. 则它们在处有阶切触的充分必要条件是，. (6.10)证明 在处，有. 因为在处相交，所以. 根据Taylor公式，.充分性. 由(6.10)，所以，.即在处有阶切触. 必要性. 由条件，在处有阶切触，. 如果，则，从而，矛盾. 设是满足，的正整数. 由充分性，在处有阶切触. 由条件得，故(6.10)成立. 推论 (1) 一条曲线与它在一点的Taylor展开式中的前项之和(即略去的高阶无穷小)至少有阶切触；与它在一点的切线至少有1阶切触；与它在一点的近似曲线至少有2阶切触. (2) 两条相交曲线在交点处有二阶以上切触的充分必要条件是这两条曲线在该点处相切，且有相同的有向密切平面(即有相同的Frenet标架)和相同的曲率. 曲率圆(密切圆)：在弧长参数曲线上一点处的密切平面上，以曲率中心为圆心，以曲率半径为半径的圆. 它的方程是：，. 课外作业：习题2，3 2.7 存在对应关系的曲线偶设两条正则参数曲线之间存在一个一一对应关系，. 对曲线作参数变换，可设，从而之间的一一对应就是参数相同的点之间的一一对应. 定义7.1 如果两条互不重合的曲线之间存在一个一一对应，使得它们在对应点有公共的主法线，则称这两条曲线为Bertrand曲线偶，其中每一条曲线称为另一条曲线的侣线，或共轭曲线. 注 在平面上，每一条正则曲线都有侣线，构成Bertrand曲线偶. 证明 设是的弧长参数，是的单位切向量场，是的曲率.令. 取充分小的非零实数使得,.则是曲线的侣线. 事实上，因为，所以，. 另一方面由可知. 因此. 设. 于是的曲率.当常数充分小时，所以是正则参数曲线. 因为，所以曲线和不重合. 现在来证明在对应点和有相同的主法线. 在相同的参数点处，的主法线是过(的终)点且垂直于的直线，所以的方程为，.同理，在相同的参数点处，的主法线是过点且垂直于的直线. 所以(因为它们都垂直于). 由定义可知在直线上，所以与重合. 下面考虑空间挠曲线，即挠率的曲线. 定理7.1 设和是Bertrand曲线偶. 则和在对应点的距离是常数，并且和在对应点的切线成定角. (旧版书的习题6.1)证明 设曲线的弧长参数方程为，Frenet标架为，曲率和挠率分别为和. 因为和之间存在一一对应，设上与对应的点是，是的一般参数，的Frenet标架为，曲率和挠率分别为和. 再设的弧长参数为. 由条件，在曲线上的点处的主法线上，所以，并且. 因此可设， (7.3)其中是常数，是可微函数.将(7.3)两边对求导，利用Frenet公式，得. (7.4)以分别与上式两边作内积，可得，是常数. 再由(7.3)得，即和在对应点的距离是常数，因为和不重合).设，则. 因为，所以是常数，从而是常数. 定理7.2 设正则曲线的曲率和挠率都不为零. 则是Bertrand曲线的充分必要条件是：存在常数，且，使得. (旧版书的习题6.2)证明 必要性. 设曲线有侣线，它们的参数方程分别是和，其中是的弧长参数. 如同定理7.1的证明过程一样，设 和 分别是和的Frenet标架，分别是的曲率和挠率，是的弧长参数. 现在(7.3)和(7.4)分别成为， (7.3). (7.5)其中是常数. 因此由得，其中也是一个常数. 由定理7.1，是常数. 用与(7.5)两边作内积，得.由可知，从而是常数. 这就是说，存在常数，使得. (若？)充分性. 设正则弧长参数曲线的曲率和挠率满足，其中是常数，且. 令，则.所以由参数方程定义的曲线是正则曲线，并且与曲线不重合(因为).由于，曲线的单位切向量场，其中是常数，满足，.设是的弧长参数，利用Frenet公式，有.如果，则有，从而曲线是的侣线，和是Bertrand曲线偶(在参数相同的点，和的主法线有相同方向，并且在处的主法线上). 如果，则. 结合可知和都是非零常数，是圆柱螺线，从而是Bertrand曲线. 定义7.2 如果两条曲线之间存在一个一一对应，使得曲线在任意一点的切线正好是在对应点的法线(即垂直于在该点的切线)，则称曲线是的渐伸线. 同时称曲线是的渐缩线. 定理7.3 (旧版习题6.3) 设是正则弧长参数曲线. 则的渐伸线的参数方程为. (7.7)证明 设渐伸线上与对应的点为. 则在曲线上点