行列式计算方法归纳总结.doc

数学与统计学学院中期报告学院: 专业: 年级: 题目: 学生姓名: 学号: 指导教师姓名 职称: 年月日 目 录1 引言12行列式性质23行列式计算方法63.1定义法63.2递推法93.3化三角法93.4拆元法11 3 .4加边法123.6数学归结法133.7降价法153.8利用普拉斯定理16 3.9利用范德蒙行列式参考文献18行列式的概念及应用 摘要：本文先列举行列式计算相关性质，然后归纳总结出行列式的方法，包括：定义法，化三角法，递推法，拆元法，加边法，数学归结法，降价法，利用拉普拉斯定理，利用范德蒙行列式。关键词：行列式；线性方程组；范德蒙行列式 The concept and application of determinant Summary: This article lists calculated properties of determinants, and then sum up the determinant method, including: Definition, triangulation, recursive method, remove method, bordered by, mathematical resolution method, cut method, using Laplace theorem, using the vandermonde determinant.Keywords: determinant;Linear equations;Vandermonde determinant1 引言行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的。行列式的提出可以追溯到十七世纪，最初的雏形由日本数学家关孝和与德国数学家戈特弗里德莱布尼茨各自独立得出，时间大致相同。日本数学家关孝和提出来的，他在1683年写了一部名为解伏题之法的著作，意思是“解行列式问题的方法”，书中对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。欧洲第一个提出行列式概念的是德国数学家，微积分学奠基人之一莱布尼茨。十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现了线性自同态和向量组的行列式的定义。1 行列式的性质1.1 性质1 把行列式各行变为相应的列，所得行列式与原行列式相等。即：= 其实，元素在的右端位于第j行第i列，即此时i是列指标，j为行指标。在行列式中，行与列的地位是对称的，所以有关行的性质，对列也成立。1.2 性质2 如果行列式中一行为零，那么行列式为零。因为 = 即当=0时，就有行列式为零。1.3 性质3 如果行列式的某一行的元都是二项式，那么这个行列式等于把这些二项式各取一项作成相应行而其余行不变的两个行列式的和。=1.4 性质4 如果行列式中有两行相同，那么行列式为零，所谓两行相同就是说两行的对应元素都相等。证明： 设行列式 = 中第行与第行相同，即 为了证明为零，只须证明的右端所出现的项全能两两相消就行了。事实上，与项 同时出现的还有 。比较这两项，由有 也就是说，这两项有相同的数值。但是排列 与相差一个对换，因而有相反的奇偶性，所以这两项的符号相反。易知，全部n级排列可以按上述形式两两配对。因之，在的右端，对于每一项都有一数值相同但符号相反的项与之成对出现，从而行列式为零。1.5 性质5 如果行列式中两行成比例，那么行列式为零。证明.这里第一步根据性质2，第二步根据性质4.1.6 性质6 把一行的倍数加到另一行，行列式不变。设=+ 这里，第一步根据性质3，第二步根据性质5.根据性质6即得1.7 性质7 对换行列式中两行的位置，行列式反号。证明 = 这里，第一步是把第k行加到第i行，第二步是把第i行的倍加到第k行，第三步是把第k行加到第i行，最后再把第k行的公因子提出。2.行列式的计算方法2.1 定义法在引进行列式的定义之前,为了更加容易的理解行列式的定义,首先介绍排列和逆序的概念.(1) 级排列:由1,2.3组成的一个有序数组称为一个级排列.(2) 在一个排列中,如果一对数的前后位置与大小顺序相反,即:前面的数大于后面的数,那么它们就称为一个逆序,一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数.(3) 逆序数为偶数的排列称为偶排列,逆序数为奇数的排列称为奇排列.在做好这些工作之后,来引入行列式的定义:定义:n阶行列式 等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积.的代数和,这里为1,2,3,n的一个排列,每一项都按下列规则带有符号,当是偶排列时, 带有正号,当是奇排列时, 带有负号.例2.1证明.分析 观察行列式我们会发现有许多零,故直接用定义法.证明 由行列式的定义知除去符号差别外行列式一般项可表示为则 . （3）其中为的任意排列,在中位于后三行后三列的元素为零,而在前两行前两列中,取不同行不同列的元素只有四个,就是说（3）式中每一项至少有一个来自后三行后三列.故=0.注意 此方法适用于阶数较低的行列式或行列式中零的个数较多.2.2递推法无论是初等数学，还是高等数学，递推公式都有着非常广泛的运用。适用递推法计算行列式的行列式有以下规律：按照行列式的某一行（列）展开，会产生阶数比原行列式低但却与原行列式有着相同类型的新的行列式，运用递推法逐层降阶，最终将计算出原行列式的值。运用递推法求解行列式，一般会用到两个公式。若时，则若时，则（其中A1，A2为待定系数）的计算过程显然易见，而中却出现了两个未知数，t1,t2,这两个未知数可以通过的两根来确定。例2.2求行列式的值： （4）的构造是：主对角线元全为；主对角线上方第一条次对角线的元全为，下方第一条次对角线的元全为1，其余元全为0；即为三对角线型。又右下角的（n）表示行列式为n阶。解 把类似于，但为k阶的三对角线型行列式记为。把（4）的行列式按第一列展开，有两项，一项是另一项是上面的行列式再按第一行展开，得乘一个n 2 阶行列式，这个n 2 阶行列式和原行列式的构造相同，于是有递推关系： （5）移项，提取公因子：类似地：（递推计算）直接计算若；否则，除以后移项：再一次用递推计算：， 当 （6）当 = ，从从而。由（6）式，若。 注 递推式（5）通常称为常系数齐次二阶线性差分方程.注1 仿照例1的讨论，三对角线型的n阶行列式 （6）和三对角线型行列式 （7）有相同的递推关系式 （8） （9）注意两个序列和的起始值相同，递推关系式（8）和（9）的构造也相同，故必有由（7）式，的每一行都能提出一个因子a ，故等于乘一个n阶行列式，这一个行列式就是例1的。前面算出，故2.3化三角形法运用行列式的性质是计算行列式的一个重要途径,大多数行列式的计算都依赖于行列式的性质,将行列式化成上三角(下三角或反三角)的形式,再根据行列式的定义来计算行列式.行列式的性质告诉了我们该如何求行列式,而一切的行列式都可以根据以上性质来进行初等行变换(列变换),变成阶梯形(上三角)的行列式,再根据定义计算即可.其计算步骤可归纳如下:()看行列式的行和(列和),如果行列和相等,则均加到某一列(行)【直观上加到第一列(行)】.()有公因子的提出公因子.()进行初等行变换(列变换)化成上三角(下三角或反三角)的行列式.()由行列式的定义进行计算.由以上四步,计算一般行列式都简洁多了.例2.3 计算行列式.分析 直接用化三角形法化简很烦,观察发现对于任意相邻两列中的元素,位于同一行的元素中,后面元素与前面元素相差1,因此先从第列乘-1加到第列,第列乘-1加到第列, 这样做下去直到第列乘-1加到第列,然后再计算就显得容易.解 .问题推广在例2.3中,这个数我们可以看成有限个等差数列在循环,那么对于一般的等差数列也应该适应.计算行列式.如果将例2.3中的数，代入结论显然成立.2.4拆元法把n行(或列)的数拆成两数之和，再利用行列式的性质将原行列式写成易于计算的2n个行列式的和，从而求出其值。例2.4：计算行列式解（x + a） （x a） 2.5加边法计算行列式往往采用降阶的办法，但在一些特殊的行列式的计算上却要采用加边法。行列式的加边法是为了将行列式降阶作准备的。更有利于将行列式化成上三角的形式，其加边的元素，也可根据计算的难易程度来确定。具有随意性。利用行列式按行（列）展开的性质把阶行列式通过加行（列）变成与之相等的阶行列式,然后计算.添加行列式的四种方法:设.（1）首行首列.（2）首行末列.（3）末行首列.（4）末行末列.例2.5 计算行列式分析：这个行列式的特点是除对角线外,各列元素分别相同.根据这一特点,可采用加边法.解 2.6数学归结法数学归纳法有两种一种是不完全归纳法,另一种是完全归纳法,通常用不完全归纳法寻找行列式的猜想,再用数学归纳法证明猜想的正确性.基本方法1) 先计算时行列式的值.2) 观察的值猜想出的值.3) 用数学归纳法证明.例2.6 计算行列式 解：猜测：证明（1）n = 1, 2, 3 时，命题成立。假设nk 1 时命题成立,考察n=k的情形：故命题对一切自然数n成立。2.7降阶法阶行列式等于它的任意一行(列)各元素与其对应的代数余子式乘积的和.即 或 . 行列式按一行（列）展开将高阶转化为若干低阶行列式计算方法称为降阶法.这是一种计算行列式的常用方法.例2.7 计算.解 .注意 对于一般的阶行列式若直接用降阶法计算量会大大加重.因此必须先利用行列式的性质将行列式的某一行（列）化为只含有一个非零元素,然后再按此行（列）展开,如此进行下去,直到二阶.2.8 利用拉普拉斯定理在利用行列式的一行(列)展开式时,我们可以发现计算行列式可以按某一行(列)展开,进行计算行列式.试想,我们可以根据行列式的某一个K级字式展开吗? 拉普拉斯经过对行列式的研究.终于发现此种方法可行,并给出了严密的证明,为了使行列式的计算更为简洁,现引入拉普拉斯定理.拉普拉斯定理:设在行列式D中任意取定了k个行,由这k行元素所组成的一切K级字式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.拉普拉斯定理的四种特殊情形： 1） 2）3） 4）例2.8计算n阶行列式解2.9 利用范德蒙行列式范德蒙行列式：例2.9计算n阶行列式 解 显然该题与范德蒙行列式很相似，但还是有所不同，所以先利用行列式的性质把它化为范德蒙行列式的类型。先将的第n行依次与第n-1行，n-2行，,2行，1行对换，再将得到到的新的行列式的第n行与第n-1行，n-2行，,2行对换，继续仿此作法，直到最后将第n行与第n-1行对换，这样，共经过（n-1）+（n-2）+2+1=n（n-1）/2次行对换后，得到上式右端的行列式已是范德蒙行列式，故利用范德蒙行列式的结果得 参考文献1李师正等. 高等代数复习解题方法与技巧. 高等教育出版社, 20052张贤科 许甫华. 高等代数学. 清华大学出版社, 20003刘学鹏等. 高等代数复习与研究. 南海出版公司, 19954许甫华 张贤科. 高等代数解题方法. 清华大学出版社,