椭圆与直线.doc

一、直线和椭圆的交点问题1若直线与椭圆恒有公共点，求实数m的取值范围。解法一：由可得，即 且解法二：直线恒过一定点（0,1）当时，椭圆焦点在轴上，短半轴长，要使直线与椭圆恒有交点，则即当时，椭圆焦点在轴上，长半轴长可保证直线与椭圆恒有交点，即 综述：且解法三：直线恒过一定点（0,1）要使直线与椭圆恒有交点，即要保证定点（0,1）在椭圆内部，即且二、直线截椭圆所得弦长问题2已知椭圆，直线交椭圆于AB，求AB的长. 解法一：设A、B两点坐标分别为和 将直线方程代入椭圆方程 得关于的方程 又。 AB长为。解法二：直线过（1，0）点，即椭圆的右焦点 AB长为。评注：法二利用了椭圆的焦半径公式，椭圆上一点到左、右焦点的距离分别为和。三、直线截椭圆所得弦中点有关问题3已知椭圆方程为，求： （1）中点为（4，1）的弦所在直线的方程；（2）斜率为3的直线与椭圆相交所得弦的中点的轨迹；（3）过点（4，3）的直线与椭圆相交所得弦的中点的轨迹。解析：设直线与椭圆交点为，则 得 （1）弦中点坐标为（4，1），则由式得直线斜率为直线方程为，即。（2）设弦中点坐标为，则由式可得 又，即轨迹方程为。（3）同（2），可知轨迹上的点是方程的解而， 将代入可得当时，直线与椭圆相交于和,中点为（4，0），经验证，也在上述椭圆上轨迹方程为。4已知焦点分别为、的椭圆与直线有公共点。求：长轴长的最小值。解析：设A为直线与椭圆的公共点，则由椭圆定义为使最小，即在直线上找一点A使最小作关于直线的对称点，可求坐标为（5，4）此时最小长轴长最短为。5已知椭圆方程为的左、右焦点分别为、，动点P满足，求证：线段PF1的中垂直线与椭圆C相切。证明：如图，设直线是PF1的中垂线，则F1，P关于直线对称，设与PF2交点为T，则F1T=PTF1T+F2T=PT+TF2=2aT点在椭圆上，即T为直线与椭圆的交点假设直线与椭圆还有一个交点T，则T在线段PF2上，即T是与PF2的交点又两直线交点至多一个，T和T重合即直线与椭圆有且仅有一个交点，故直线与椭圆相切。6过椭圆内一点引一条弦，使弦被M点平分，求这条弦所在直线的方程。解：设所求直线的方程为，代入椭圆方程并整理，得 。 设直线与椭圆的交点为、，则、是上述方程的两根，于是又M为AB的中点， 解得 故所求直线的方程为。参考答案1C 2D 3 42 5 67解析：设直线OP方程解方程组，得设直线AB方程，代入椭圆消得由0得点P到直线AB距离（等号当且仅当即时成立），直线AB方程为练习1椭圆上一点P及两焦点F1，F2，若PF1F2的内切圆半径长为1，点P在第一象限，则P点纵坐标为（ ）A B3 C D2已知椭圆，F为左焦点，过F作不与x轴重合的直线，则椭圆上关于对称的不同点（ ）A有无穷多对 B只有2对 C只有1对 D不存在3过椭圆x2+2y2=2的焦点引一条倾斜角为45的直线与椭圆交于A、B两点，椭圆的中心为O，则AOB的面积为_。4直线与椭圆相交于A，B两点，点P在椭圆上且使PAB面积为12，这样的点P共有_个。5点P是椭圆上一点，F1，F2为焦点，若PF1F2面积最大值是1，则椭圆长轴的最小值是_。6椭圆内有一点P(1,1)，一直线过点P与椭圆相交于P1、P2两点，弦P1P2被点P平分，求直线P1P2的方程。7点P在椭圆3x2+y2=12上，OP倾斜角为60，ABOP，A，B在椭圆上且都在x轴上方，求ABP面积的最 大值及此时直线AB的方程。参考答案： 1.A 2.C 3.A4. 5. ；6；7； 8；9；10； 11（1）；（2）；12； 13（1）；（2）。一、 选择题： 1椭圆上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为（ ）A.5B.6C.4D.102. 椭圆的焦点坐标是（ ）A.(5，0) B.(0，5) C.(0，12)D.(12，0) 3. 已知椭圆的方程为，焦点在轴上，则其焦距为（ ）A.2B. 2 C.2D.4. 方程表示椭圆，则的取值范围是（ ）A. B.）C. D.）二、 填空题： 5. ,焦点在y轴上的椭圆的标准方程是_6. 过点P(1,1)作椭圆的弦AB，则AB的中点的轨迹方程为_。7设椭圆方程为，则过点P（-）的椭圆的切线方程为_。8. 过椭圆3x2+4y2=12的右焦点作直线L交椭圆于A，B两点，A，B两点到直线x=4的距离之和为7，则直线L的方程为_。9分别是椭圆的左右焦点，过作倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，则的面积为_三.解答题： 10椭圆E：内有一点P（2，1），求经过P并且以P为中点的弦所在直线方程.11椭圆E：ax2by2=1与直线xy=1交于A、B两点，M是AB中点，如果|AB|=2，且OM的斜率为.（1）把M点的坐标用a、b表示出来； （2）求此椭圆方程.12设直线L：y=x+b与椭圆C：(a1)相交于A，B两点，且L过椭圆C的右焦点，若以AB为直径的圆经过椭圆的左焦点，求该椭圆C的方程.13已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。（I）求过点O、F，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；（II）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与轴交于点G，求点G横坐标的取值范围。一、 选择题： 1椭圆上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为（ ）A.5B.6C.4D.102. 椭圆的焦点坐标是（ ）A.(5，0) B.(0，5) C.(0，12)D.(12，0) 3. 已知椭圆的方程为，焦点在轴上，则其焦距为（ ）A.2B. 2 C.2D.4. 方程表示椭圆，则的取值范围是（ ）A. B.）C. D.）二、 填空题： 5. ,焦点在y轴上的椭圆的标准方程是_6. 过点P(1,1)作椭圆的弦AB，则AB的中点的轨迹方程为_。7设椭圆方程为，则过点P（-）的椭圆的切线方程为_。8. 过椭圆3x2+4y2=12的右焦点作直线L交椭圆于A，B两点，A，B两点到直线x=4的距离之和为7，则直线L的方程为_。9分别是椭圆的左右焦点，过作倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，则的面积为_三.解答题： 10椭圆E：内有一点P（2，1），求经过P并且以P为中点的弦所在直线方程.11椭圆E：ax2by2=1与直线xy=1交于A、B两点，M是AB中点，如果|AB|=2，且OM的斜率为.（1）把M点的坐标用a、b表示出来； （2）求此椭圆方程.12设直线L：y=x+b与椭圆C：(a1)相交于A，B两点，且L过椭圆C的右焦点，若以AB为直径的圆经过椭圆的左焦点，求该椭圆C的方程.13已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。（I）求过点O、F，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；（II）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与轴交于点G，求点G横坐标的取值范围。练习1椭圆上一点P及两焦点F1，F2，若PF1F2的内切圆半径长为1，点P在第一象限，则P点纵坐标为（ ）A B3 C D2已知椭圆，F为左焦点，过F作不与x轴重合的直线，则椭圆上关于对称的不同点（ ）A有无穷多对 B只有2对 C只有1对 D不存在3过椭圆x2+2y2=2的焦点引一条倾斜角为45的直线与椭圆交于A、B两点，椭圆的中心为O，则AOB的面积为_。4直线与椭圆相交于A，B两点，点P在椭圆上且使PAB面积为12，这样的点P共有_个。5点P是椭圆上一点，F1，F2为焦点，若PF1F2面积最大值是1，则椭圆长轴的最小值是_。6椭圆内有一点P(1,1)，一直线过点P与椭圆相交于P1、P2两点，弦P1P2被点P平分，求直线P1P2的方程。7点P在椭圆3x2+y2=12上，OP倾斜角为60，ABOP，A，B在椭圆上且都在x轴上方，求ABP面积的最大值及此时直线AB的方程。练习1椭圆上一点P及两焦点F1，F2，若PF1F2的内切圆半径长为1，点P在第一象限，则P点纵坐标为（ ）A B3 C D2已知椭圆，F为左焦点，过F作不与x轴重合的直线，则椭圆上关于对称的不同点（ ）A有无穷多对 B只有2对 C只有1对 D不存在3过椭圆x2+2y2=2的焦点引一条倾斜角为45的直线与椭圆交于A、B两点，椭圆的中心为O，则AOB的面积为_。4直线与椭圆相交于A，B两点，点P在椭圆上且使PAB面积为12，