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概率论与数理统计答案(汇总版) 篇一：概率论与数理统计教程答案(徐建豪版) 习题1.1 1、写出下列随机试验的样本空间. （1）生产产品直到有4件正品为正，记录生产产品的总件数. （2）在单位园中任取一点记录其坐标. （3）同时掷三颗骰子，记录出现的点数之和. 解：（1）?4,5,6,7,8? （2）?(x.y)x2?y2?1 （3）?3,4,5,6,7,8,9,10,?,18 2、同时掷两颗骰子，x、y分别表示第一、二两颗骰子出现的点数，设事件A表示“两颗骰子出现点数之和为奇数”，B表示“点数之差为零”，C表示“点数之积不超过20”，用样本的集合表示事件B?A，BC，B?C. 解：B?A?(1.1),(2.2),(3.3),(4.4),(5.5),(6.6) BC?(1.1),(2.2),(3.3),(4.4) B?C?(1.1),(2.2),(3.3),(4.4),(5.5),(6.6),(4.6),(6.4),(5.6),(6.5) 3、设某人向靶子射击3次，用Ai表示“第i次射击击中靶子”（i?1,2,3），试用语言描述下列事件. （1）A1?A2（2）(A1?A2)A3（3）A1A2?A2A2 解：（1）第1，2次都没有中靶 （2）第三次中靶且第1，2中至少有一次中靶 （3）第二次中靶 4设某人向一把子射击三次，用Ai表示“第i次射击击中靶子”（i=1，2， 3），使用符号及其运算的形式表示以下事件： （1）“至少有一次击中靶子”可表示为； （2）“恰有一次击中靶子”可表示为； （3）“至少有两次击中靶子”可表示为； （4）“三次全部击中靶子”可表示为； （5）“三次均未击中靶子”可表示为； （6）“只在最后一次击中靶子”可表示为.解：（1）A1?A2?A3;(2)A123?1A23?12A3; (3)A1A2?A1A3?A2A3;(4)A1A2A3;(5)123(6)12A3 5.证明下列各题 （1）A?B?A（2）A?B?(A?B)?(AB)?(B?A) 证明：（1）右边=A（?B）?A?AB=?A且?B?A?B=左边 （2）右边=（AB)?(AB)?(BA）=?A或?B?A?B 习题1.2 1.设A、B、C三事件，P(A)?P(B)?P(C)?1 4 P(AC)?P(BC)?1 8,P(AB)?0，求A、B、C至少有一个发生的概率. 解：?P(AB)?0?P(ABC)?0 P(A?B?C).?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(BC)?P(AC)?P(ABC)=3?11 4?2?8?1 2 2.已知p()?0.5，P(B)?0.2，P(B)?0.4，求（1）P(AB) (2)P(A?B)，(3)P(A?B)，(4)P(AB). 解：（1） ?A?B,?AB?A ?P(AB)?P(A)?0.1 （2） ?A?B,?A?B?B ?P(A?B)?P(B)?0.5 3.设P(A)=0.2P(A?B)=0.6A.B互斥，求P(B). 解：?A,B互斥，P(A?B)?P(A)?P(B) ,， 故P(B)?P(A?B)?P(A)?0.6?0.2?0.4 4.设A、B是两事件且P(A)=0.4,P(B)?0.8 （1）在什么条件下P(AB)取到最大值，最大值是多少？ （2）在什么条件下P(AB)取到最小值，最小值是多少？ 解：由加法公式P(AB)?P(A)?P(B)?P(A?B)=1.2?P(A?B) （1）由于当A?B时A?B?B，P(A?B)达到最小，即P(A?B)?P(B)?0.8，则此时P(AB)取到最大值，最大值为0.4 （2）当P(A?B)达到最大，即P(A?B)?P(?)?1，则此时P(AB)取到最小值，最小值为0.2 5.设 P(A)?P(B)?P(C)?1115,P(AB)?P(BC)?P(AC)?,P(?)?,4816求P(A?B?C).解：P(ABC)?1?P(ABC)?1?P(?)?1?151?,1616 P(A?B?C).?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(BC)?P(AC)?P(ABC)=3?1117?3?481616 习题1.3 1.从一副扑克牌（52张）中任取3张（不重复）求取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率. 解：设事件A=3张中至少有2张花色相同则A=3张中花色各不相同 3111C4C13C13C13P(A)?1?P(A)?1?0.6023C52 2.50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱，每个部件用3只铆钉，若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱，问发生一个部件强度太弱的概率. 3解法一随机试验是从50只铆钉随机地取3个，共有C50种取法，而发生“某 3C31一个部件强度太弱”这一事件只有C这一种取法，其概率为3?，而10C501960033 个部件发生“强度太弱”这一事件是等可能的，故所求的概率为 p?pi? i?110101?196001960 3解法二样本空间的样本点的总数为C50，而发生“一个部件强度太弱”这 13一事件必须将3只强度太弱的铆钉同时取来，并都装在一个部件上，共有C10C3 种情况，故发生“一个部件强度太弱”的概率为 13C10C31p?31960C50 3.从1至9的9个整数中有放回地随机取3次，每次取一个数，求取出的3个数之积能被10整除的概率. 解法一设A表示“取出的3个数之积能被10整除”， ，A1表示“取出的3个数中含有数字5” ，A2表示“取出的3个数中含有数字偶数” P(A)?P(A1A2)?1?P(A1A2) ?1?P(A1?A2)?1?P(A1)?P(A2）?P(A1A2) ?8?5?4?1?1?0.786?0.214?9?9?9? 解法二设Ak为“第k次取得数字，Bk为“第k次取得偶数”，5”k?1,2,3。则A?(A1?A2?A3)(B1?B2?B3)333 A?(A1A2A3)?(B1B2B3) P(A)?P(A1A2A3)?P(B1B2B3)?P(A1A2A3B1B2B3) 由于是有放回地取数，所以各次抽取结果相互独立，并且 P(A1)?P(A2)?P(A3)?85，P(B1)?P(B2)?P(B3)?99 P(A1B1)?P(A2B2)?P(A3B3)?49 33?8?5?4?因此P?A?1?PA?1?1?0.786?0.214?9?9?9? 4.袋内装有两个5分，三个2分，五个1分的硬币，任意取出5个，求总数超过1角的概率. 5解共10个钱币，任取5个，基本事件的总数N?C10，有利的情况，即5?3 个钱币总数超过一角的情形可列举6种（1）5，5，2，2，2；（2）5,5,2,2,1;(3)5,5,2,1,1;(4)5,5,1,1,1;(5)5,2,2,2,1;(6)5,2,2,1,1.故包含的基本事件数为 2322121223131122N(A)?C2C3?C2C3C3?C2C3C5?C2C5?C2C3C5?C2C3C5 ?1?3?5?3?10?10?2?5?2?3?10?126故所求概率为P?1261?5C102 5.设有N件产品，其中M件次品，今从中任取n件， （1）求其中恰有k(k?min(M,n)件次品的概率； （2）求其中至少有2件次品的概率. kn?knn?1CM?M?M?M?M解：（1）（2）1-nn 6设n个朋友随机的围绕圆桌而坐，求下列事件的概率： （1）甲乙两人坐在一起，且乙在甲的左边； （2）甲、乙、丙三人坐在一起； （3）如果n个人并列坐在一张长桌的一边，再求上述事件的概率. （n?1）!解（1）n个朋友随机的围绕圆桌而坐，样本空间样本点总数为 而事件A为甲乙两人坐在一起，且乙在甲的左边，可将两人“捆绑”在一起，看成是“一个”人占“一个”座位，有利于事件A发生的样本点个数为(n?2)!于是P(A)?(n?2)!1?(n?1)!n?1 （n?1）!，而事（2）n个朋友随机的围绕圆桌而坐，样本空间样本点总数为 篇二：概率论与数理统计第三版_课后习题答案._ 习题一： 1.1写出下列随机试验的样本空间： (1)某篮球运动员投篮时,连续5次都命中,观察其投篮次数; 解：连续5次都命中，至少要投5次以上，故?1?5,6,7,?； (2)掷一颗匀称的骰子两次,观察前后两次出现的点数之和; 解：?2?2,3,4,?11,12?； (3)观察某医院一天内前来就诊的人数; 解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以?3?0,1,2,? (4)从编号为1，2，3，4，5的5件产品中任意取出两件,观察取出哪两件产品;解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故：?4?i,j?i?j?5?; (5)检查两件产品是否合格; 解：用0表示合格,1表示不合格，则?5?0,0?,?0,1?,?1,0?,?1,1?； (6)观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1,最高气温不高于T2);解：用x表示最低气温,y表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故：?6?x,y?1?x?y?T2?；?； (7)在单位圆内任取两点,观察这两点的距离; 解：?7?x0?x?2?； (8)在长为l的线段上任取一点,该点将线段分成两段,观察两线段的长度. 解：?8?x,y?x?0,y?0,x?y?l?； 1.2 (1)A与B都发生,但C不发生;AB； (2)A发生,且B与C至少有一个发生;A(B?C)； (3)A,B,C中至少有一个发生;A?B?C； ? (4)A,B,C中恰有一个发生;A?B?； (5)A,B,C中至少有两个发生;AB?AC?BC； (6)A,B,C中至多有一个发生;?； (7)A;B;C中至多有两个发生;ABC (8)A,B,C中恰有两个发生.BC?AC?AB； 注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。 1.3设样本空间?x0?x?2?,事件A=x0.5?x?1?,B?x0.8?x?1.6? 具体写出下列各事件： (1)AB;(2)A?B;(3)A?B;(4)A?B （1）AB?x0.8?x?1?； (2)A?B=x0.5?x?0.8?； (3)A?B=x0?x?0.5?0.8?x?2?; (4)A?B=x0?x?0.5?1.6?x?2? 1.6按从小到大次序排列P(A),P(A?B),P(AB),P(A)?P(B),并说明理由. 解：由于AB?A,A?(A?B),故P(AB)?P(A)?P(A?B)，而由加法公式，有：P(A?B)?P(A)?P(B) 1.7 解：(1)昆虫出现残翅或退化性眼睛对应事件概率为： P(W?E)?P(W)?P(E)?P(WE)?0.175 (2)由于事件W可以分解为互斥事件WE,W，昆虫出现残翅,但没有退化性眼睛对应事件概率为：P(W)?P(W)?P(WE)?0.1 (3)昆虫未出现残翅,也无退化性眼睛的概率为：P()?1?P(W?E)?0.825. 1.8 解：(1)由于AB?A,AB?B，故P(AB)?P(A),P(AB)?P(B),显然当A?B时P(AB) 取到最大值。最大值是0.6. (2)由于P(AB)?P(A)?P(B)?P(A?B)。显然当P(A?B)?1时P(AB)取到最小值，最小值是0.4. 1.9 解：因为P(AB)=0，故P(ABC)=0.A,B,C至少有一个发生的概率为： P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(BC)?P(AC)?P(ABC)?0.7 1.10 解 （1）通过作图，可以知道，P(A)?P(A?B)?P(B)?0.3 （2）P(AB)?1?P(AB)?1?(P(A)?P(A?B)?0.6(3)由于P(AB)?P()?1?P(A?B)?1?(P(A)?P(B)?P(AB) ?1?P(A)?P(B)?P(AB) P(B)?1?P(A)?0.7 1.11 解：用Ai表示事件“杯中球的最大个数为i个”i=1,2,3。三只球放入四只杯中，放法有 4?4?4?64种，每种放法等可能。 对事件A1：必须三球放入三杯中，每杯只放一球。放法432种，故P(A1)? (选排列：好比3个球在4个位置做排列)。38 对事件A3：必须三球都放入一杯中。放法有4种。(只需从4个杯中选1个杯子，放入此3个球，选法有4种)，故P(A3)? 1.12 解：此题为典型的古典概型，掷一颗匀称的骰子两次基本事件总数为36。.出现点数和为“3”对应两个基本事件（1，2），（2，1）。故前后两次出现的点数之和为3的概率为1319。P(A2)?1?16816161。18同理可以求得前后两次出现的点数之和为4，5的概率各是 (1)1.1311,。129 解：从10个数中任取三个数，共有C10?120种取法，亦即基本事件总数为120。 (1)若要三个数中最小的一个是5，先要保证取得5，再从大于5的四个数里取两个，取法有2C4?6种，故所求概率为31。20 1。12(2)若要三个数中最大的一个是5，先要保证取得5，再从小于5的五个数里取两个，取法有C5?10种，故所求概率为 1.14 解：分别用A1,A2,A3表示事件： (1)取到两只黄球;(2)取到两只白球;(3)取到一只白球,一只黄球.则 2C822814C46116P(A1)?2?,P(A2)?2?,P(A3)?1?P(A1)?P(A2)?。C126633C126611332 1.15 解：P(A?)B)?P(A?)?B)P(AB)?(B)?P(B)P(B) P(AB)P(A)?P(A)?0.5P(B)P(B)由于P(B)?0，故P(A?)B)? 1.16 (1)P(A?B);（2）P(?B); 解：（1）P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?1?P(B)P(AB)?1?0.4?0.5?0.8; （2）P(?B)?P()?P(B)?P(B)?1?P(B)P(B)?1?0.4?0.5?0.6;注意：因为P(AB)?0.5，所以P(B)?1?P(AB)?0.5。 1.17 解：用Ai表示事件“第i次取到的是正品”（i?1,2,3），则i表示事件“第i次取到的是次品”（i?1,2,3）。P(A1)?15331421?,P(A1A2)?P(A1)P(A2A1)?20441938 (1)事件“在第一、第二次取到正品的条件下,第三次取到次品”的概率为： P(3A1A2)?5。 18 (2)事件“第三次才取到次品”的概率为： P(A1A23)?P(A1)P(A2A1)P(3A1A2)? （3）事件“第三次取到次品”的概率为：1514535?20191822814 此题要注意区分事件（1）、(2）的区别，一个是求条件概率，一个是一般的概率。再例如，设有两个产品，一个为正品，一个为次品。用Ai表示事件“第i次取到的是正品”（i?1,2）， 篇三：概率论与数理统计课后习题答案_完整校对版 复旦大学 习题一 1略.见教材习题参考答案. 2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件：（1）A发生，B，C都不发生；（2）A与B发生，C不发生；（3）A，B，C都发生； （4）A，B，C至少有一个发生；（5）A，B，C都不发生；（6）A，B，C不都发生； （7）A，B，C至多有2个发生；（8）A，B，C至少有2个发生.【解】（1）ABC（2）ABC（3）ABC （4）ABC=ABCABCABCABCABCABCABC=ABC(5)ABC=A?B?C(6)ABC (7)ABCABCABCABCABCABCABC=ABC=ABC(8)ABBCCA=ABCABCABCABC3.略.见教材习题参考答案 4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A?B)=0.3，求P（AB）.【解】P（）=1?P（AB）=1?P(A)?P(A?B) =1?0.7?0.3=0.6 5.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求：（1）在什么条件下P（AB）取到最大值？（2）在什么条件下P（AB）取到最小值？【解】（1）当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6. （2）当AB=时，P（AB）取到最小值为0.3. 6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0， P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率. 【解】P（ABC）=P(A)+P(B)+P(C)?P(AB)?P(BC)?P(AC)+P(ABC) = 11113+?=443124 7.从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率 是多少？ 5332 【解】p=C13C13C13C13/C1352 8.对一个五人学习小组考虑生日问题：（1）求五个人的生日都在星期日的概率；（2）求五个人的生日都不在星期日的概率；（3）求五个人的生日不都在星期日的概率.【解】（1）设A1=五个人的生日都在星期日，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故P（A1）= 115 =（）（亦可用独立性求解，下同）757 （2）设A2=五个人生日都不在星期日，有利事件数为65，故 6565 P（A2）=5=() 77 (3)设A3=五个人的生日不都在星期日 P（A3）=1?P(A1)=1?( 15 )7 9.略.见教材习题参考答案. 10.一批产品共N件，其中M件正品.从中随机地取出n件（n （2）n件是无放回逐件取出的；（3）n件是有放回逐件取出的. n?mn 【解】（1）P（A）=CmM?M/ n (2)由于是无放回逐件取出，可用排列法计算.样本点总数有PN种，n次抽取中有m 次为正品的组合数为Cmn种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序，从M件正 mn?m 品中取m件的排列数有PM种，从N?M件次品中取n?m件的排列数为PN?M种， 故 mn?m CmPP P（A）=nMnN?M PN 由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成 n?m CmM?M P（A）= CnN 可以看出，用第二种方法简便得多. （3）由于是有放回的抽取，每次都有N种取法，故所有可能的取法总数为Nn种，n 次抽取中有m次为正品的组合数为Cm对于固定的一种正、次品的抽取次序，n种，m次取得正品，都有M种取法，共有Mm种取法，n?m次取得次品，每次都有N?M种取法，共有（N?M）n?m种取法，故 mn?m P(A)?Cm/NnnM(N?M) 此题也可用贝努里概型，共做了n重贝努里试验，每次取得正品的概率为m件正品的概率为 M ，则取得N ?M?M? P(A)?Cmn?1? NN? mn?m 11.略.见教材习题参考答案. 12.50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱.每个部件用3只铆 钉.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少？【解】设A=发生一个部件强度太弱 33 P(A)?C110C3/C50? 1 1960 13.一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个， 计算至少有两个是白球的概率.【解】设Ai=恰有i个白球（i=2,3），显然A2与A3互斥. 1 C2184C3 P(A2)?3?, C735 C344 P(A3)?3? C735 2235 故P(A2?A3)?P(A2)?P(A3)? 14.有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，在两批种子中各随机取一粒，求： （1）两粒都发芽的概率；（2）至少有一粒发芽的概率；（3）恰有一粒发芽的概率. 【解】设Ai=第i批种子中的一粒发芽，（i=1,2） (1)P(A1A2)?P(A1)P(A2)?0.7?0.8?0.56(2)P(A1?A2)?0.7?0.8?0.7?0.8?0.94(3)P(A1A2?A1A2)?0.8?0.3?0.2?0.7?0.38 15.掷一枚均匀硬币直到出现3次正面才停止. （1）问正好在第6次停止的概率； （2）问正好在第6次停止的情况下，第5次也是出现正面的概率. 11131C4()()5212131?2?【解】（1）p1?C5()()(2)p2? 222325/325 16.甲、乙两个篮球运动员，投篮命中率分别为0.7及0.6，每人各投了3次，求二人进球 数相等的概率. 【解】设Ai=甲进i球，i=0,1,2,3,Bi=乙进i球,i=0,1,2,3,则 212 P(?AiBi3)?(0.3)3(0.4)3?C130.7?(0.3)C30.6?(0.4)?i?03 22 C3(0.7)2?0.