教育教学论文 初高中衔接知识《因式分解》教学策略的研究.doc

初高中衔接知识因式分解教学策略的研究摘要：因式分解是数学中重要的基础知识之一而初中课改后的因式分解的教学内容，只要求掌握提公因式法、公式法（公式不超二次），对十字相乘法、分组分解法、配方法、求根法不做要求，但后者四种方法在后续高中知识的学习中关联甚大从初三升到高一，既是知识内容的升级，也是框架体系的重建；既是学习方法的延续，也是学习模式的创新由于初中和高中对因式分解要求不同而造成知识脱节的情况，我们探究实现初高中因式分解衔接的有效方式，对整个衔接课的前期、中期、后期做了详细的现状分析，并给出改进的措施和对策，希望对高中教师更好地做好衔接教学提供有效方法关键词： 因式分解 教学 衔接 建议一、 前期调研（一）做好前期的调查工作为了了解学生对初中因式分解的学习原状，我们在前期对学生进行了因式分解学习情况的问卷调查及入学摸底测试问卷调查及入学摸底测试情况分析详见附件1和附件2通过问卷调查我们大体了解了学生因式分解的学习情况，通过入学摸底测试我们主要了解了学生对因式分解的方法（主要是公式法、十字相乘法）的掌握和运用情况从我们的前期调查和摸底工作来看，学生一般只学习了因式分解的提公因式法、公式法（平方差和完全平方公式），十字相乘法还有许多学生不懂，更别说其他因式分解的方法（如分组分解法、配方法、求根法等）了在摸底测试中，学生对因式分解方法的运用也并未掌握到位，出现的问题较多，这些都必将会直接影响到今后高中的数学学习整体而言，学生在因式分解这部分知识还存在缺失，理解和掌握能力还有待提高因式分解是高中重要的解题方法，其方法多，技巧性强，变化灵活，为此，我们增加了初高中因式分解的衔接课，以求实现初高中知识的美好过渡（二）做好初高中因式分解衔接课的准备为做好初高中知识的衔接，弥补学生在因式分解这部分知识的缺失，我们增加了初高中因式分解的衔接课，以求实现初高中知识的沟通和串联我们整个衔接课题的嵌入操作如下：1寻找好 因式分解的衔接课题的教材“插入点”首先，我们先钻研初中教材中因式分解这部分知识的学习特点，对初中的数学概念和知识要求做到心中有数，深入研究其与高中知识潜在的联系与区别，寻找好初高中知识的衔接点由于因式分解可以作为解题的技巧，与高一的一元二次不等式解法关联较大，所以我们在高一上册的14节15节之间补充衔接课（教学设计详见附件3），这样即可以让学生不断巩固因式分解这板块的知识，又能让其学会利用因式分解求一元二次方程的根从而确定不等式的解，以防学生在高一的学习中脱节 2做好衔接课题的内容安排我们对因式分解的衔接课授课两课时,补充了因式分解的基本方法：提公因式、公式法（平方差公式、完全平方式、立方差公式）、分组分解法、十字相乘法，每种方法并配备了相应的课堂练习进行针对性的训练，最后还布置了相应的作业（详见附件4）给学生练习，以检验学生的学习效果二、中期研究为求实现初高中知识的较好过渡，增加初高中因式分解的衔接课的过程中，学生必定会呈现出许多问题，以下就学生出现的情况和问题给予说明及提供有效的建议（一） 对初中的知识方法较熟悉提公因式法和公式法是初中教材中介绍的进行因式分解的主要方法从抽样调查来看，学生对利用提公因式和公式法混合出题的题型的因式分解的还是做得比较好的在衔接课上复习提公因式这部分的知识时，学生在练习中都基本懂得将各项的公因式提出而进行分解，学生对课堂的提公因式的练习、的解题方向都很明确，很熟练地提公因式化简而分解成功对于公式法，学生很熟悉初中的平方差公式和完全平方式，在抽样中对题目很熟练地运用平方差公式进行分解，在衔接课上对公式法针对性练习题中的比较有难度的第（5）题，学生很容易看出只要将后三项的负号提出，后三项就可以配成完全平方差，进而与前面的二次项一起运用平方差公式分解即可总的来说，学生对初中课本的提公因式法、公式法还是较熟悉的，掌握程度也较好同时我们也可以看到我们补充给学生的相关题目还是比较简单的，题目难度还没有明显的层次性，没有能设置由浅入深的题型考察学生的掌握能力所以，在学生对提公因式法进行因式分解比较熟悉的基础上，教师可以巧设有层次难度的题目来考察学生的掌握程度，特别的，可以设置一些公因式为高次项的题目，教会学生总结提公因式的一般规律：把各项中都含有的字母的最低次幂的积提出来作为各项字母的公因式；将各项系数的最大公约数提出来作为公因式的系数；将原多项式除以所提公因式得到的商作为第二个因式继续分解这样就更能让学生掌握提公因式法这一类题型的分解方法（二）知识量不足在对利用公式法进行因式分解的衔接内容中，学生只停留在了较基础的层面上，基本只懂得简单的平方差公式和完全平方公式，而对立方差、立方和公式还很陌生，也不懂得怎样分析题目的特征利用立方公式解决问题所以，教师应适当增加诸如立方和、立方差、两数和的立方以及两数差的立方等公式，增加学生的知识量，并备置针对性的练习让学生熟悉立方公式的巧妙运用，让学生对高中数学中可能用到的各种因式分解的公式有所准备，为后续各知识的学习打下基础（三）陷入认识的误区1未能确切理解因式分解的意义从抽样看，70%的学生做对了分组分解法抽样题目（），学生的分解正确率还是较高的，说明了学生懂得将各因式两两组合提公因式但是分析此题我们可以发现的分组分解还是较容易的，学生会很习惯地将一、二项组合，三、四项组合提取公因式，而此题也刚好顺应了学生的组合模式然而在衔接课中，补充了分组分解法的知识点后，在给学生做得针对性练习中我们发现学生对的分组分解还是较顺利，只要一、二项组合，三、四项组合就能提取公因式，此题也较符合学生的认知和做题规律但是当学生遇到较复杂的多元多项式的分组分解时，学生就产生了分解的困惑，如下题学生的错解： 和 对于四项以上的多项式，当各项没有公因式时，可尝试分组或去括号重新分组，使得每组之间有公因式但部分学生对因式分解的原则不够明确，经常出现因式分解不完全，所得结果不是最终结果以及将因式分解完的式子重新进行整式乘法而回到题目本身等等问题这说明了题型一旦变形或难度加深，学生就不懂得变通，这体现了学生的应变能力较弱同时，这也体现了学生未能确切理解因式分解的意义，因式分解是要一个多项式写成几个整式积的形式，学生还未理解不知道怎样的式子才算符合“几个整式积的形式”所以教师应当使学生明确认识到因式分解与整式乘法是一对互逆的运算, 多项式的因式分解是把和、差化为积的形式, 因式分解不能只分解多项式的某些项, 变形的结果必须是几个整式积的形式 (几个整式连乘的形式)在难度较大的题型中， 教师应多启发和引导学生对多项式的结构作一定的分析和判断，有技巧地在项与项之间换次序重组而提公因式，找到合适的分组题公因式分解完全2混淆了等式与多项式十字相乘法是因式分解的重要方法，我们将其作为衔接课的重点补充内容在衔接课上，我们抽出了这个二次三项式让学生上黑板演算分解过程之所以特别抽出这道题，原因在于此代数式前面的系数不是整数，而是分数，想借此题考察学生对知识的掌握、变通、扩展、迁移等能力然而上黑板演算的学生分别给出了以下错解： 很明显，该同学同学误以为是一个等式，然后把等式两边同乘以5就可以把分母5去掉，一次项x和二次项前面的系数即可化为整数进行分解这说明了部分学生对代数式和等式的认识还存在一定的误区，把代数式和等式混为一谈了， 所以，教师要给学生讲明多项式与等式的区别，纠正学生对多项式与等式的认识误区进行因式分解的多项式只是一个代数式，并不是等式，遇到二次项、一次项的系数或常数项为分数时，不能随意去分母，而只能把分母通分作为公因式提出，将多项式的各项系数化为整数来分解（四）对原理的理解不够透彻1对十字相乘法的原理未能完全掌握从抽样调查来看，对于一个一元二次三项式，100%同学们能利用十字相乘法对的系数为1的因式分解做正确，但是的系数不是1时只有10%的同学做对，对于二元二次三项式就更不会分解了从高一入学测试的抽样调查来看，对第一大题因式分解的第（2）题，学生的主要错解大致可以分为以下几类： 在此题的几类错解中，我们可以看到，学生都基本能x2前的系数6和常数10分解成合适的形式，但是经过十字相乘并相加后x前面的系数与原式的不一致，学生在对一次项x前面的系数的得来还不够理解，可见，当二次项的系数不是1时，学生就很难进行分解，可知学生对十字相乘法的原理并未理解透彻所以我们把十字相乘法作为衔接课的重点补充内容，并由简单的型的二次三项式扩展到一般形式在给学生详细讲明了十字相乘法的关键点、重难点、易错点后，我给学生几道相关的习题进行针对性的训练，特别的，我们抽出了这个二次项系数是分数的复杂二次三项式让学生上黑板演算分解过程，考察学生对的掌握情况以下是学生的错解： 显然，学生能把前的分数分解成和3相乘，常数项-1分解成-1和1相乘，十字相乘法分解的结构式正确的，但是在最后写因式相乘时，他把两两十字相乘的数同加到了一个因式里，刚好把因式里面的常数的正负号加反了这说明了部分同学对十字相乘法的原理的理解还不够深入，把理论用到了具体的实践中就产生了偏差可知，学生对二次项前系数不为1的十字相乘法的基本原理未能完全理解透彻，只是停留在较简单的型十字相乘的基础层面上所以，教师应给学生详细阐明十字相乘法的分解原理，应有意识地由浅入深引导学生由简单的型到一般型的过渡，要把十字相乘的原理讲明、讲透利用十字相乘法分解因式的关键是把二次三项式中一次项系数和常数项分解因式， 使得它们按斜线交叉相乘之积的和刚好等于原二次三项式中一次项的系数用一句话来概括即是：首尾分解，交叉相乘，观察实验，求和凑中要让学生深刻体会和掌握十字相乘法的结构特征在配置针对性练习、作业的过程中，应该适当挑选一些超越初中难度，与高中后续知识有关联的题目， 如二次项系数为负数、分数的题目，一方面考察学生对十字相乘法的运用能力、对知识的变通能力，让学生明白十字相乘法的重要性；另一方面也为高中的一元二次方程、一元二次不等式等地分解打下基础这样就充分的让学生体会到数学课本上的各个知识点并不是一个个独立的点，而是一张相互连接、交织在一起的网(2) 因式分解不完全在学习完初高中知识的衔接课因式分解后，我门们教师与学生们一起回顾了利用直接提公因式法、分组分解法、公式法、十字相乘法进行因式分解的基本知识点，并配备了相应的课堂练习进行针对性的训练，最后还给学生留了课后作业然而在批改学生作业的过程中，我们发现了学生分解不完全的问题，以下是学生在作业中第（3）题和第（7）题的错解：第（3）题的抽样调查中1104班（共69人）的错误率为76812%，1116班（共68人）的错误率为72059%，两个班的错误率均在70%以上，大部分同学是把原题分解到就停止了，没想到利用平方差公式把继续分解到，没将分解进行到底 第（7）题的抽样调查中1104班（共69人）的错误率为81159%，1116班（共68人）的错误率为44118%，这道题很多同学都能把看成一个整体，相乘去括号利于十字相乘法把原式分解成，但是同学到这一步就分解终止了，没有把因式利于十字相乘法继续分解到我们不得不思考原因导致学生不分解到最简的原因，我们教师在上课时应该跟学生讲明因式分解彻底的判断标准，界定好因式分解完全的范围因式分解在初中教材的定义是：把一个多项式写成几个整式积的形式课本的定义还是不够精确的，在此，我们教师要给学生讲明，我们应该是把一个多项式写成几个最简整式积的形式，我们对个因式里的数应该是在全体实数范围内的分解，而未知字母由于不确定它的正负性，在整数范围内分解即可这样就给学生阐明了因式分解的范围，以及明确了分解彻底的评判标准，让学生更深刻理解因式分解的原则：分解到不能再分解为止（五）对因数和符号的分析能力欠缺在课后作业中，我们重点考查学生对十字相乘法的掌握情况，设置了许多道复杂二次三项式因式分解的问题抽查班级的学生对二次项系数的系数为1的分解（如）能基本正确，但对前的系数为负数，或双字母型的二次三项式的因式分解却产生较大错误，以下是作业第（2）、（5）题学生的主要错解情况：第（2）题1104班的错误率为31884%，1116班的错误率为11765%，第（5）题1104班的错误率为27536%，1116班的错误率为33824%分析其错因，第（2）题错解出现在符号上，有些同学直接将前的系数-1当成1去分解；有些通同学将整个代数式的负号提出，使二次项的系数为正，方便括号内的因式的分解，但分解后却忘记写上之前提出来的负号第（5）题部分学生还是把各相乘因式的数加减错误，十字相乘的结构有误；部分同学的分解结构正确了，但又漏写了字母b从学生的错解来看，一方面可以看出学生对数字的敏感度较低，对负数的质因数的分解及质因数正负号重组问题上的分析能力较欠缺，对符号与因数的处理能力较差；另一方面，也说明了部分学生较粗心，没认真看清题目的符号所以，教师在授课过程中应多设置因数为负数的二次三项式加强对学生的训练，多给学生作负因数分解及其质因数重组的示范，加强学生的数感，提高学生对问题的观察能力和分析能力，以及培养学生细致谨慎的良好学习习惯三、后期成效及建议综合我们的抽样调查、衔接课教学、课后作业的情况，可知在衔接课之前，学生在因式分解的解题能力上还是较薄弱的，特别是对二次项前系数不为1的十字相乘法的基本原理未能完全理解透彻，只是停留在较简单的型十字相乘的基础层面上但在衔接课之后，学生对复杂二次三项式（二次项前系数不为1）的十字相乘的因式分解已有所掌握，对因式分解的整体解题水平已经有所提高但综合我们整个衔接课的操作流程来看，我们的衔接工作还是不全面的、不深入的，存在许多缺点，反思我们的不足，我们总结出以下的改进措施：（一）前期工作要具体深入在前期的问卷调查和摸底测试的分析中，我们只是大略了解学生对因式分解的学习和掌握情况其实我们问卷调查和摸底测试的前期准备工作还是做得较粗略的、，还可以制定更深入的调查研究方案，如：1生源情况首先，教师可参见学生学籍管理档案作学生生源地的调查，了解学生毕业的中学情况及学生的层次分布情况，统计班级里市区和县城的学生的分布情况，对学生的来源和层次做到心中有数2较完整的调查方案了解学生对因式分解的学习和掌握情况教师可通过设置书面问卷问、与学生座谈的方式了解学生在初中时学校对因式分解这部分知识的学习的进度安排情况、教师对教材的处理方式、学生本身对该部分知识的学习困惑收集这些基本信息，方便教师安排好衔接课的课时安排以及对该知识的处理方式教师还可在因式分解这一板块对学生进行较系统的摸底测试，试卷中要设置好能反馈学生因式分解学习程度的问题，设置的题型要具有典型性，能考察学生对提公因式法、十字相乘法、公式法、分组分解法、求根法等几类主要因式分解方法的掌握和运用程度最后将答题结果统计好，仔细分析学生出错的原因，检查他们对因式分解的哪部分知识缺漏，好为后续的衔接课做好知识上的准备和进度上得安排（二）教师要在后续的教学中有意识地反复渗透由于高中的课时安排较紧，我们对因式分解只用了两节课进行补充，并未补充配方法、求根法的因式分解，并且只布置了一次作业，在后续没能腾出时间做因式分解这板块知识的反复训练其实，只停留在两节课和一次作业的复习的基础上还是不够的，没能达到加强和巩固的学习效果，后续的跟踪和测试还是得要反复进行的所以，为能加强学生对因式分解的复习效果，为后续的高中学习打牢基础，我们给教师在后续的跟踪学习中提出建议：1给学生提供较完整的复习资料虽然教师在课上给学生展示了课件、课后配套练习的教学内容，如果只是短暂的回顾和练习，并未能给学生留下深刻的学习记忆我们可以给学生印发本部分知识的教材内容、教学课件、课后配套练习（含详解），让学生也有一套复习的资料在手，以方便学生随时在课后进行自主回顾2有必要补充配方法和求根法的因式分解抽样调查显示，只有6%学生学习了利用配方法和求根法进行因式分解，而且用这两种方法进行因式分解100%学生错误配方法和求根法是用必要补充的，因为它和高中的一元二次方程、一元二次不等式、一元二次函数关联甚大3教学过程中要有意识的反复渗透对因式分解这部分知识点的巩固和加强需要一个不断反复和渗透的过程，不可能仅靠两三节课就结束上课讲完知识内容和课后练习结束后，我们可以考虑延续定期地给学生补充本板块知识的习题，过一定时间进行测试，跟踪一下学习的效果不过在高中课时紧张的情况下，如果时间不充裕，我们也可以将这个知识点的跟踪结合在涉及到因式分解的高中知识的学习上来反复渗透，应该刻意去增加因式分解的使用频率，具体操作可参考附件5总的来说，我们教师要有意识地去让学生加深因式分解这部分知识的理解，看因式分解在哪部分高中知识中课对接，让学生学会将因式分解作为解题的技巧去高效解决问题，实现初高中知识的有效衔接教师要有技巧地定期性在高中的课后练习或测试中将因式分解融入到高中的题型中，检测后跟踪看学生的完成情况，在这样反复、频繁的运用和强化中提升学生的掌握能力，让初高中知识达到水乳交融的境界四、结束语以上就是我们进行初高中知识衔接课因式分解的整个具体进程，我们也对各类具体问题进行了具体的分析，认真观察、思考, 不断总结经验和提出有效对策，努力实现数学内容、思维能力、学习方法的飞跃，在新的起点上做好数学教学的改良工作，以实现初高中数学教学的完美衔接参考文献：1杨垣红初高中数学教学衔接中的问题与对策J中学数学研究，2010（06）：12-152林宗彦学习因式分解的困惑与对策 J初中数学教与学，2006（08）：5-73王新艳学习因式分解的困惑与对策 J数学学习与研究，2011（04）：904闫宝珍因式分解教学的点滴体会 J教学实践，2011（05）：71-72附件1 因式分解前期调查统计情况我们对梧州高中高一1106班全体68位同学进行了因式分解学习状况的调查，我们设置的问题题目如下：1初中学习了因式分解没有？（有“”；没有“”）2初中除了学习了课本的提公因式法和简单公式法外，还学了其他什么方法？3做题抽查：（1）型 （2）一般二次三项式型（3）配方法（4）求根法（5）提取公因式法（6）分组分解法（7）公式法其中前两个问题全班同学都必做，而且68人刚好做成9列，我们给每列学生各做一道题，考察学生对因式分解各类方法的运用情况抽样显示：100%的学生在初中学习了因式分解这部分知识，13%的学生只学了课本的提公因式法和公式法（平方差和完全平方式），70%的学生学了形如型的因式分解，6%的学生学了配方法，只有6%的学生还学习了其他方法，如求根法做题的情况统计如下： 形如型的因式分解，100%学生都做正确，但遇到双字母型的十字相乘的因式分解就不会做了 二次项系数不为1的二次三项式用十字相乘法分解正确的学生只有10% 对于分组分解法的，70%的学生做对 用配方法、求根法因式分解的题型100%的学生都做错，或者可以说根本不会做我们的抽样调查只是了解了这个班的学生对因式分解的了解和掌握的基本情况，但这个班的学生的情况也并不能代表了整个年级的情况，只是体现了年级中对因式分解的学习的一些基本特征而这样的抽样调查结果也不是一定可靠的，这样的前期准备工作还不具体充足，还可以制定更深入的调查研究方案附件2 入学测试因式分解知识板块情况统计一、高一入学测试因式分解的考试试题 二、高一入学测试因式分解的考试情况统计表表11104班（共69人）入学测试因式分解知识板块情况统计表题号123456错误人数2282228339错误率2899%40580%31884%40580%4348%56522%表21116班（共68人）入学测试因式分解知识板块情况统计表题号123456错误人数10232823528错误率14706%33824%41176%33824%7353%41176%三、高一入学测试因式分解考试错因分析（一）学生错解可把学生主要的错解分类总结如下：（二）正确答案（三）错解分析（1）第一题的正确率还是较高的，学生能懂得把代数式的常数-63拆分成7和-9相乘，但是小部分拆成-7和9相乘，导致因式里面7和9前面的符号刚好弄错，十字相乘相加后x前面的系数与原式的不相符(2)在此题的几类错解中，我们可以看到，学生都基本能x2前的系数6和常数10分解成合适的形式，但是经过十字相乘并相加后x前面的系数与原式的不一致，学生在对一次项x前面的系数的得来还不够理解（3）学生能把常数-12分解成合适的数相乘，但十字相乘后因式里面的正负号刚好弄错；有些同学较粗心，因式分解的结构是正确的， 但是书写的结果却没有了y，把y这个量丢掉了，很不谨慎（4）在这道题上，学生都基本懂得把整个代数式的负号提出来，就恰好把里面的多项式配成完全平方，但是结果却忘了写提出来的负号，导致结果出错；部分同学把这个代数式看成了等式，等式两边同乘以4把分母去掉，再把新得的式子配成完全平方 这些同学混淆了代数式和等式，代数式是不能随便乘除数字的，不然会和原代数式不相等(5)本题部分同学较粗心，虽然知道这个代数式可以配成完全平方式，但是却把a变换成了x，这也许是学生做题的一些思维定势，习惯把未知量写成x,导致结果出错(6)此道题目多数同学还是把分解后因式里面常数项的正负号刚好弄错，有些粗心的同学还把它看成了一个完全平方，没能对分解的结果进行检验从以上的错解分析我们可以看出:学生的主要出错点在分解后各因式里面的常数前面的正负号其实不难发现，我们测试的这6道因式分解的题目主要考察了学生对十字相乘法、公式法的运用学生都基本能将二次项前的系数和常数分解成合适数相乘，但是经过十字相乘并相加后一次项前面的系数与原式的不一致，而且分解后也不回去进行检验，看来学生在对十字相乘法中一次项的系数的由来还不够理解和掌握另外的错误点很大程度上是由于学生不够细心，看错未知量或忘记写符号而造成结果出错 看来整体上而言，高一入学的学生对因式分解的基本原理的理解还不够深入，要在后继的学习中不断深化了附件3 因式分解教学设计【教学目标】1能区分整式乘法与因式分解，会根据因式分解的意义能判断一个等式从左到右的变形是否为因式分解 2学会提公因式、公式法、分组分解、十字相乘法来分解因式3通过因式分解在简化计算中的作用，培养“用数学“的意识增强求知欲和学好数学的信心【教学重点与难点】1重点：十字相乘法分解因式2难点：灵活应用提公因式、公式法、分组分解、十字相乘法来分解因式【教学过程】一、因式分解与整式乘法的联系与区别区别：因式分解是整式乘法的逆变形联系：因式分解和整式乘法都是恒等变型例如：ma+mb+mc=m(a+b+c) 典型错例：（因式分解）二、因式分解的基本方法（一）提取公因式如果多项式的各项有公因式，可 把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形 式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法（二）运用公式法如果把乘法公式反过来，就可以用把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法（三）分组分解法利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法被分解的多项式中，如果项数超过三项，进行因式分解时所采用的方法常是分组分解，一般来说，分组分解法有两种类型：第一种是分组后各组有公因式，可以进一步提取公因式进行分解；第二种是分组后可以应用式进行分解（四）十字相乘法借助画十字交叉线分解系数，从而把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法因式分解的一般步骤：1如果多项式的各项有公因式时，应先提取公因式；2 如果多项式的各项没有公因式，则考虑是否能用公式法来分解；3对于二次三项式的因式分解，可考虑用十字相乘法分解；4对于多于三项的多项式，一般应考虑使用分组分解法进行三、因式分解方法的基本应用（一）提公因式因式分解如果发现多项式的每一项都有共同的因式时，我们可先将此公因式提出例1 将下列各式因式分解（二）分组提公因式法 当各项没有公因式时，可尝试分组或去括号重新分组，使得每组之间有公因式例2 将下列各式因式分解 （三）公式法因式分解如果把乘法公式反过来，就可以用把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法常用的公式有： 平方差公式： 完全平方公式： 立方和公式： 立方差公式：例3 用公式法将下列各式因式分解注：(1)运用公式法进行因式分解的依据是乘法公式的逆变形（2）运用公式法进行因式分解的关键是要弄清各个公式的形式结构和特点，熟练地掌握公式（四）十字相乘法的二次项系数a及常数项c都分解为两个因数的乘积 然后按斜线交叉相乘、再相加，若有，则有 ，例4 用十字相乘法分解下列各式：四、课堂小结作因式分解时，注意以下几点：1识别典型结构，选用适当的方法2一“提”二“套”三“查”3熟练掌握“十字相乘法五、布置作业 附件4因式分解针对性作业情况统计一、因式分解针对性作业题目 二、因式分解针对性作业情况统计表表31104班（共69人）因式分解针对性作业情况统计表题号1234567错误人数72253719756错误率10145%31884%76812%10145%27536%10145%81159%表41116班（共68人）因式分解针对性作业情况统计表题号1234567错误人数0849623930错误率0%11765%72059%8824%33824%13235%44118%三、因式分解针对性作业错因分析1学生错解可把学生主要的错解分类总结如下：2正确答案3错解分析（1）此题正确率较高，同学们基本能分解正确，只是个别同学较粗心，把第一个因式里面要加的11写成了1而产生错误（2）少部分同学在把此题分解后各因式里面的常数前面的正负号弄错；大多数同学是是先把整个代数式的负号提出来，把二次项的系数化为正式进行因式分解，但最后又粗心地忘了写提出来的负号，导致结果又出错（3）本题的出错点有两个：少部分同学分解后把x2想当然地写成了x；大部分同学是把原题分解到就停止了，没想到利用平方差公式把继续分解到，没将分解进行到底（4）少部分同学分解后把各因式里面的常数项前的的正负号弄错了，导致一次项x前面的系数与原式的系数不一致，与原式不等（5）本题还是有少数同学分解后把各因式里面的各项加减错误，更有些同学能把分解的结构做对了，却粗心地把b给漏写了（6）还是有少部分同学未完全理解十字相乘法的原理，对二次项、常熟项的分解以及对一次项系数的得来还没掌握好（7）这道题很多同学都能把看成一个整体，相乘去括号利于十字相乘法把原式分解成，但是同学到这一步就戛然而止了，没有把因式利于十字相乘法继续分解下去，即综合本次作业的情况来看，学生对十字相乘法进行因式分解的原本原理都已经弄懂，在分解结构上的错误已经大大降低，但学生在本次主要出错点有两个：一是没有贯彻因式分解的原则，要把分解分到不能再分为止；二是过于粗心，把因式或提出来的负号弄错，这一点要学生培养细心耐致的好习惯才行，希望在今后的学习中学生能慢慢改善附件5 因式分解后续学习示范表教师应该有意识地对因式分解这部分知识进行反复渗透，做法可参考以下例子：在对高一上册第一章集合15节中的例1和练习第1题中（1）（2）题的解不等式，我们就可以引导学生利用十字相乘法对不等式左边的一元二次三项式进行因式分解而求根，最终以根为分界点求出不等式的解集，这样不仅在新课基础上解决了新问题，又不断地加强学生对十字相乘法的运用，提高学生的掌握能力集合15节中的例3和练习第1题中（3）题的解不等式，教师可引导学生利用公式法对不等式左边的一元二次三项式进行因式分解而求解集，这样也复习了公式法在因式分解中应用 集合15节中的例2解不等式，当将此不等式整理成后用十字分解法并不能将不等式左边因式分解，教材是用求根方法将方程的根求出来确定不等式解集教师可以抓住此题的契机，引导和鼓励学生用求根法将不等式左边的一元二次三项式进行因式分解，并趁势设置一些同类型的不能十字相乘法顺利求根，用到求根法因式分解的变式题型，强化学生对求根法因式分解的训练，加深学生对求根法因式分解的印象集合15节中的练习第1题中（4）的解不等式，教师可以启发学生用配方法将不等式左边的一元二次三项式进行因式分解成，从而容易得出不等式解集为R，让学生感受配方法在解题中的优越性同时，教师再趁势设置相关变式题，在联系中巩固配方法的运用集合这一章的复习参考题一中B组第4题的（2）题的解不等式，教师可让学生利用因式分解的方式自主练习，让学生利用直接提公因式法对不等式左边的一元二次三项式进行因式分解而求解集，同时，教师也要懂得在具体的实例中变形，让学生多反复回顾因式分解的各类方法在上例解不等式中，教师可以将其适当变形，这样再让学生回顾分组分解法提公因式的知识点，将不等式左边的一元三次四项式分组分解而求解集附件6 因式分解教学案例因式分解教学案例1 时间：2011年9月15日 课题：因式分解这是复习初高中知识衔接的第二节因式分解的复习课，在复习了前一节的利用直接提公因式法、分组提公因式法、公式法进行因式分解后，我与学生一起进入到了本节利用十字相乘法进行因式分解这块重点内容的学习在给学生详细讲明了十字相乘法的关键点、重难点、易错点后，我给学生几道相关的习题进行针对性的训练，特别的，我抽出了这个代数式让学生上黑板演算分解过程之所以特别抽出这道题，原因在于此代数式前面的系数不是整数，而是分数，想借此题考察学生对知识的掌握、变通、扩展、迁移等能力然而在我所教的1104班和1116班点上黑板演算的同学的解答过程让我感到意外，以下是他们的解答过程：1116班陈雪彤同学： 2 -5 3 11104班潘光理同学： -1 3 1很明显，这两位同学的分解结果是错误的，但是这错误是怎么产生的呢？通过与这两位同学的沟通和交流，我得知了这两位同学的思考过程：陈雪彤同学误以为是一个等式，然后把等式两边同乘以5就可以把分母5去掉，一次项x和二次项x2前面的系数即可化为整数进行分解而潘光理能把x2前的分数分解成和3相乘，常数项-1分解成-1和1相乘，十字相乘法分解的结构式正确的，但是在最后写因式相乘时，他把两两十字相乘的数同加到