常州市2001-2012年中考数学试题分类解析专题9：三角形.doc

2001-2012年江苏常州中考数学试题分类解析汇编（12专题）专题9：三角形锦元数学工作室 编辑1、 选择题1. （2001江苏常州2分）正六边形的边长、边心距、半径之比为【】A11B.22 C. 22 D. 22【答案】C。【考点】正多边形和圆，解直角三角形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】经过中心作边的垂线，并连接中心与一个端点构造直角三角形，把正多边形的计算转化为解直角三角形：设六边形的边长是a，则半径长也是a。如图，经过正六边形的中心O作边AB的垂线OC，则AOC=30。在RtOBC中， OC=aCOS30=。正六边形的边长、边心距、半径之比为a：a=1：1=22。故选C。2. （江苏省常州市2002年2分）半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比是【 】A. B. C. 3:2:1 D. 1:2:3【答案】B。【考点】正多边形和圆，【分析】从中心向边作垂线，构建直角三角形，通过解直角三角形可得： 设圆的半径是r，则多边形的半径是r。则内接正三角形的边长是2rsin60=r，内接正方形的边长是2rsin45=r，正六边形的边长是r，半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为 。故选B。3. （江苏省常州市2003年2分）已知正三角形的边长为6，则该三角形的外接圆半径为【 】（A） （B）3 （C） （D）1【答案】A。【考点】正多边形和圆，垂径定理，等腰（边）三角形的性质，三角形内角和定理，锐角三角函数，特殊角的三角函数值。【分析】先根据题意画出图形，再根据正三角形的特点求出BOC的度数，由等腰三角形的性质及直角三角形的性质解答即可：如图所示，连接OB，OC，过O作ODBC，ABC是正三角形，BOC =120。OB=OC，OBC=30。又ODBC，正三角形的边长为6，BD=3。在RtOBD中，。故选A。4. （江苏省常州市2005年2分）如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，A=44，CDAB于D，则DCB等于【 】A、44 B、68 C、46 D、22【答案】D。【考点】等腰三角形的性质，三角形内角和定理。【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出B的度数，从而在RtDCB中，求得DCB的度数：A=44，AB=AC，B=C=68。BDC=90，DCB=22。故选D。5. （江苏省常州市2008年2分）如图，在ABC中，若DEBC，DE=4cm，则BC的长为【 】A.8cm B.12cm C.11cm D.10cm 【答案】B。【考点】比例的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】由可得，根据已知DEBC，可得ADEABC。 。 又DE=4cm，BC=12 cm。故选B。6. （江苏省2009年3分）如图，给出下列四组条件：； 其中，能使的条件共有【 】A1组B2组C3组D4组【答案】C。【考点】全等三角形的判定。【分析】根据全等三角形的判定方法可知：，可用“SSS”判定；，可用“SAS”判定；，可用“ASA”判定；，是“SSA”，不能判定；因此能使的条件共有3组。故选C。7. （2011江苏常州2分）如图，在RtABC中，ACB=90，CDAB，垂足为D。若AC=，BC=2,则SinACD的值为【 】A B C D【答案】A.【考点】直角三角形两锐角互余, 锐角三角形定义，勾股定理。故选A。8. （2012江苏常州2分）已知三角形三边的长分别为4，9，则这个等腰三角形的周长为【 】A.13 B.17 C.22 D.17或22【答案】C。【考点】等腰三角形的性质，三角形三边关系。【分析】由三角形三边的长分别为4，9，知三角形三边的长分别为4，4，9或4，9，9，但由于4，4，9与三角形的构成条件 “两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”不符，因此，三角形三边的长只能分别为4，9，9 ，周长为22。故选C。二、填空题1. （江苏省常州市2002年2分）如图，在ABC中，EFBC，交AB、AC于点E、F，AE：EB=3：2，则AF：FC= ；SAEF：SABC= . 【答案】3：2；9：25。【考点】平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质。【分析】利用平行线分线段成比例，相似三角形面积的比等于相似比的平方求解EFBC，AF：FC=AE：BE=3：2。AE：AB=3：5。EFBC，AEFABC。SAEF：SABC=AE2：AB2=9：25。2. （江苏省常州市2002年2分）如图，在ABC中，ACB=900，BC=4，AC=5，CDAB，则sinACD的值是 ；tanBCD的值是 _.【答案】；。【考点】勾股定理，直角三角形两锐角的关系，锐角三角函数的定义。【分析】在RtABC中，ACB=90，BC=4，AC=5，根据勾股定理就可以求出AB的长。根据直角三角形两锐角的关系，可把求sinACD与求tanBCD的值的问题转化为求RtABC的边的比的问题：在RtABC中，ACB=90，BC=4，AC=5，。又CDAB，ACD=90A=B，BCD=90B=A。，。3. （江苏省常州市2003年1分）如图，直线AEBD，点C在BD上，若AE=5，BD=8，ABD的面积为16， 则ACE的面为 。【答案】8。【考点】平行线之间的距离，三角形的面积。【分析】根据两平行线间的距离相等，可知两个三角形的高相等，所以根据ABD的面积可求出高，然后求ACE的面积即可：在ABD中，当BD为底时，设高为h，在AEC中，当AE为底时，设高为h，AEBD，h=h。ABD的面积为16，BD=8，h=4。ACE的面积=44=8。4. （江苏省常州市2006年3分）如图，在ABC中，D、E分别是AB和AC的中点，F是BC延长线上的一点，DF平分CE于点G，CF=1，则BC= ，ADE与ABC的周长之比为 ，CFG与BFD的面积之比为 。【答案】2；1：2；1：6。【考点】三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质。【分析】D、E分别是AB和AC的中点，G是CE的中点，DEBC，DE=BC。ADEABC，GEDGCF。DE=CF=1。CF=BC。又CF=1，BC=2。ADE与ABC的周长之比为DE：BC=1：2。又ADE与ABC的面积之比为1：4，ADE与四边形DECB的面积之比为1：3。ADE与DEG的面积之比为2：1，CFG与BFD的面积之比为1：6。5. （江苏省常州市2007年3分）如图，已知DEBC，AD=6，DB=3，BC=9.9，B=50，则ADE= 度，DE= ， = 【答案】50；6.6；。【考点】平行线的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】DEBC，ADE=B=50。ADEABC。AD：AB=DE：BC。 AD：（AD+DB）=DE：BC，即6：9=DE：9.9。DE=6.6。ADE与ABC的面积比是。6. （江苏省常州市2010年2分）在RtABC中，C90，AC2，BC1，则tanB ，sinA 。【答案】2；。【考点】勾股定理，锐角三角函数定义。【分析】在RtABC中，C90，AC2，BC1，AB。 tanB，sinA。三、解答题1. （2001江苏常州4分）sin600+cos300+tan450【答案】解：sin60= ，cos30= ，tan45=1，原式=1=。【考点】特殊角的三角函数值。【分析】根据题意，将特殊角的三角函数值代入即得答案。2. （2001江苏常州5分）已知：如图，点B、E、C、F 在同一条直线上，ABDE，ACDF，BECF。求证：AD。【答案】证明：BE=CF，BC=EF，又AB=DE，AC=DF，ABCDEF（SSS）。A=D。【考点】全等三角形的判定和性质。【分析】由BE=CF可证得BC=EF，又有AB=DE，AC=DF，根据SSS证得ABCDEFA=D。3. （江苏省常州市2002年8分）如图，已知测速站P到公路L的距离PO为40米，一辆汽车在公路L上行驶，测得此车从点A行驶到点B所用的时间为2秒，并测得APO=600，BPO=300，计算此车从A到B的平均速度为每秒多少米（结果保留四个有效数字），并判断此车是否超过了每秒22米的限制速度。4. （江苏省常州市2003年4分）不用计算器求值： 【答案】解：原式=,【考点】特殊角的三角函数值，二次根式化简。【分析】将题中特殊角的三角函数值代入原式，化简可得答案。5. （江苏省常州市2004年9分）如图，甲、乙两只捕捞船同时从A港出海捕鱼。甲船以每小时千米的速度沿西偏北30方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北方向前进。甲船航行2小时到达C处，此时甲船发现渔具丢在乙船上，于是甲船快速（匀速）沿北偏东75的方向追赶，结果两船在B处相遇。（1）甲船从C处追赶上乙船用了多少时间？（2）甲船追赶乙船的速度是每小时多少千米？【答案】解：（1）如图，过A作ADBC于点DEAC=30，HAB=45，CAB=60+45=105。CGEA，GCA=EAC=30。FCD=75，BCG=15，BCA=15+30=45。B=180BCA-CAB=30。在RtACD中，ACD=45，AC=，AD=ACsin45=（千米），CD=ACcos45=30（千米）。在RtABD中，B=300，则AB=2AD=60千米，BD=千米。甲船从C处追赶上乙船的时间是：60152=2（小时）。（2）BC=CD+BD=30+ 千米，甲船追赶乙船的速度是（30+ ）2=15+（千米/小时）。答：甲船从C处追赶上乙船用了2小时，甲船追赶乙船的速度是每小时15+千米。【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】（1）根据方向角可以得到BCA=45，B=30，过A作ADBC于点D，在RtACD中，根据三角函数就可求得AD的长，再在RtABD中，根据三角函数即可求得AB的长，就可求得时间。（2）求出BC的长，根据（1）中的结果求得时间，即可求得速度。6. （江苏省常州市2005年7分）如图，已知ABC为等边三角形，D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且DEF也是等边三角形（1）除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想是正确的；（2）你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？写出变化过程7. （江苏省常州市2006年7分）已知：如图，ABC和ECD都是等腰直角三角形，ACB=DCE=900，D为AB边上一点，求证：（1）ACEBCD；（2）AD2AE2=DE2【答案】证明：（1）ACB=DCE=900，ACDBCD= ACDACE。BCD= ACE。BC=AC，DC=EC , BCDACE（SAS）.（2）ACB=900， BC=AC， B=CAB=450。 BCDACE，B=CAE=450 。DAE=CAEBAC= 900。AD2AE2=DE2 。 【考点】等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。.【分析】（1）由等腰直角三角形的性质和ACDBCD= ACDACE，易由SAS证得结果。 （2）由（1）可证ADE是直角三角形，由勾股定理即可证得结果。8. （江苏省常州市2007年7分）已知，如图，延长ABC的各边，使得BF=AC，AE=CD=AB，顺次连接D，E，F，得到DEF为等边三角形求证：（1）AEFCDE；（2）ABC为等边三角形【答案】证明：（1）BF=AC，AB=AE（已知），FA=EC（等量代换）。DEF是等边三角形（已知），EF=DE（等边三角形的性质）。又AE=CD（已知），AEFCDE（SSS）。（2）由AEFCDE，得FEA=EDC（对应角相等），BCA=EDC+DEC=FEA+DEC=DEF（等量代换），DEF是等边三角形（已知），DEF=60（等边三角形的性质）。BCA=60（等量代换）。由AEFCDE，得EFA=DEC，DEC+FEC=60，EFA+FEC=60。又BAC是AEF的外角，BAC=EFA+FEC=60。ABC中，AB=BC（等角对等边）。ABC是等边三角形（等边三角形的判定）。【考点】全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质三角形外角性质。【分析】（1）关键是证出CE=AF，可由AE=AB，AC=BF，两两相加可得再结合已知条件可证出AEFCDE。（2）有（1）中的全等关系，可得出AFE=CED，再结合DEF是等边三角形，可知DEF=60，从而得出BAC=60，同理可得ACB=60，那么ABC=60因而ABC是等边三角形。9. （江苏省常州市2008年7分）已知:如图，AB=AD，AC=AE，BAD=CAE.求证:AC=DE. 【答案】证明：BAD=CAE，BADDAC=CAEDAC，即BAC=DAE。又AB=AD，AC=AE，ABCDAE（SAS）。BC=DE。【考点】全等三角形的判定和性质。【分析】先通过BAD=CAE得出BAC=DAE，从而证明ABCDAE，得到BC=DE。10. （江苏省常州市2008年8分）如图，港口B位于港口O正西方向120海里外，小岛C位于港口O北偏西60的方向。一艘科学考察船从港口O出发，沿北偏东30的OA方向以20海里/小时的速度驶离港口O.同时一艘快艇从港口B出发，沿北偏东30的方向以60海里/小时的速度驶向小岛C，在小岛C用1小时装补给物资后，立即按原来的速度给考察船送去.(1) 快艇从港口B到小岛C需要多少时间?(2) 快艇从小岛C出发后最少需要多少时间才能和考察船相遇?【答案】解：（1）由题意可知：CBO=60，COB=300。BCO=900。在RtBCO中，OB=120，BC=60，OC=。快艇从港口B到小岛C的时间为：6060=1（小时）。（2）设快艇从C岛出发后最少要经过x小时才能和考查船在OA上的D处相遇，则CD=60x。考查船与快艇是同时出发，考查船从O到D行驶了（x+2）小时。OD=20（x+2）。过点C作CHOA，垂足为点H，在RtOHC中，COH=30，OC=，CH= ，OH=90。DH=OHOD=9020（x+2）=5020x在RtCHD中，CH2+DH2=CD2，( )2+（5020x）2=（60x）2，整理得：8x2+5x13=0。解得：x1=1，x2=。x0，x=1。答：快艇后从小岛C出发后最少需要1小时才能和考查船相遇。【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），【分析】（1）要求B到C的时间，已知其速度，则只要求得BC的路程，再利用路程公式即可求得所需的时间。（2）过C作CHOA，垂足为H。设快艇从C岛出发后最少要经过x小时才能和考查船在OA上的D处相遇，则CD=60x，OD=20（x+2）根据直角三角形的性质可解得x的值，从而求得快艇从小岛C出发后和考查船相遇的最短的时间。11. （江苏省2009年10分）如图，在航线的两侧分别有观测点A和B，点A到航线的距离为2km，点B位于点A北偏东60方向且与A相距10km处现有一艘轮船从位于点B南偏西76方向的C处，正沿该航线自西向东航行， 5min后该轮船行至点A的正北方向的D处（1）求观测点B到航线的距离；（2）求该轮船航行的速度（结果精确到0.1km/h）（参考数据：，）【答案】解：（1）设AB与交于点O。在中，OAD=600，AD=2。又AB=10，OB=ABOA=6。在中，OBE=OAD=600，（km）。观测点B到航线的距离为