北京大学群论-第一章_抽象群基础.doc

第一章 抽象群基础1.1 群【定义1.1】 G是一个非空集合，G =，g，“ ” 为定义在任意两个元素之间的二元代数运算(乘法运算)，若G及其运算满足以下四个条件：（1）封闭性：f, g G, fg=h, 则hG;（2）结合律：f, g, hG，（fg）hf(gh);（3）有单位元：e G, f G, feeff;（4）有逆元素：f G，f -1 G, 使ff -1= f -1f = e;则称G为一个群，e为群G的单位元，f-1为f的逆元。系1. e是唯一的。若e、e 皆为G的单位元，则ee= e，ee= e，故e= e。系2. 逆元是唯一的。若存在f的两个逆元f=f，则, 即系3 e 1 = ee 1 = e -1e = e, 即：e 1 = e。系4 若群G的运算还满足交换律，f，gG, 有fg=gf, 则称G为交换群，或阿贝尔群。群是我们定义的一种抽象结构，具有一般性，它象一个空筐子，可以装入各种具有相同抽象结构的实际对象。通过研究抽象结构的一般性质，就可以掌握各种实际对象的性质。例1.1 整数集z及其上的加法+ 单位元为0, 逆元z-1 = -z,构成整数加法群。例1.2 实数集R，运算为加法： 单位元e = 0, 逆元：aR，a 1 = -a，构成加群。若运算为数乘，R不构成群，0 -1不存在。不过不包含0的所有实数R/0，构成乘法群，单位元e =1，逆元：a R/0, a-1=例1.3 空间反演群E，I，元素为对向量的变换: 运算定义为群元对向量由右到左的相继作用：， ， 。 乘法表如右：例1.4 R3 中绕一固定轴的所有转动操作够成一个群，两个转动操作的二元运算为两操作的相继转动。群元：, 为转轴，为转角，乘法：单位元：e =() 逆元： 例.5 平面正三角形对称群 D3 （六阶二面体群）o为重心，固定不动，保持正三角形位形不变的所有空间转动操作，以相继操作为二元运算构成一个群。保持正三角形不变的对称操作：e: 不转动；d: 绕Z轴转120度；f: 绕Z轴转240度；a: 绕y轴转180度；b: 绕2轴转180度；c: 绕3轴转180度；D3e, d, f, a, b, c例1.6 置换群Sn, 又称n阶对称群群元：将（1，2，n）映为自身的置换P：， 置换只与每列的相对字符有关，与列顺序天关，如 = 单位元： P的逆元：n个数码所有可能的置换数为n！，其乘法：=则所有置换及其乘法结构成一个群，记为Sn群。可见，群的元素可以是非常广泛的东西，可以是数、操作、变换等等，二元运算也可以有多种类型。群可以简单分类为：有限群：群元个数有限，群元的个数称为群的阶，记为|G|无限群：群元个数无限定理1.1 (重排定理)设，有u的作用只是将G元素重排。证明：（一）u的作用是单射，（1对1），当不同时给出G中不同群元：设， 若，（即多对一）两边左乘u-1,有，与假设矛盾故 （二）u的作用是一个满射，即G中任意群元都可写成ug的形式：， ，记即，使 。故u的作用是双射（一一映射），即。类似有：uG, Gu=G在乘法表中，每行和每列都是群元的重排，每个群元只出现一次。1.2 子群和陪集【定义1.2】 设H是群G的一个子集，若对于与群G同样的乘法运算，H也构成一个群，则称H为G的子群，记为。系1. 的充要条件为:（1）H,有hH（2）H，其逆H例1.7 任何群G，都有子群e和G G。e，G称为显然子群或平庸子群，非平庸的子群称为真子群。例1.8 整数全体构成的加法群是全体实数构成的加法群的子群。例1.9 D3群的子群e，d，f。【定义1.3】 循环子群的形式为：Zn = n为循环群的阶，循环群是阿贝尔群。例1.10 从n阶有限群G的任一元素出发，总可以生成一个G的循环子群。，G作, 存在k n, ，则构成循环群,且。若，则称的阶为k。D3群的循环子群:D3=e, d, f, a, b, c2阶循环子群：a, a2=e,b, b2 =e,c, c2=e3阶循环子群：d, d2(f), d3=e,f, f2(=d), f3=e【定义1.4】 (左陪集和右陪集)设H是群G的子群，H G，gG.子群H的左陪集： 右陪集：当取不同的gG时，可以得到不同的陪集。定理1.2 (陪集定理)设群H为群G的子群H G，则H的两个左（右）陪集或者有完全相同的元素，或者没有任何公共元素,即：g1,g2G,则g1Hg2H = ，或g1H = g2H.证明：设左陪集g1H，g2H有一公共元素则有 故 （重排定理）故 ，而故 证毕定理1.3（拉格朗日定理）有限群的子群的阶，等于该有限群阶的因子。证： G为n阶群，H为G的m阶子群，取g1G，g1H，作陪集g1H 取g1G，g2H，g2g1H，作g2H 取giG，giH，g1H，g2H，gi-1H等，作giH 得陪集系列： H =h1，h2，hmeH, e为群的单位元； g1H =g1h1，g1h2，g1hm，g1 g1H，因H有单位元e；g2H =g2h1，g2h2，g2hm；.由陪集定理知，这样得到的陪集序列互不相同，没有任何公共元素。而这些陪集序列最终将穷尽群G中的所有元素（或者说G的任何群元均属于某一陪集）。设共有个陪集，则群G的群元个数n为：即子群的阶m为G群阶的因子。系1 有限群G可以分割为其子群的互不相交的陪集串（G可以其子群的陪集串展开）。例1.11 D3=e, d, f, a, b, c的子群陪集分割。D3的子群：H1=e, a，H2=e, bH3=e, c，H4=e, d, fH1左陪集分割： H1 =e, a, bH1 =b, f,cH1 =c, dH4左陪集串：H4=e, d, f,aH4=a, b, c1.3 类与不变子群【定义1.5】 设f, h是群G的两个元素，若有元素gG,使gfg-1 = h，则称元素h与f共轭。记为h f。系1 共轭是相互的，即若h f，则f h.系2 共轭的传递性，若f1 h，h f2，则f1 f2.证：f1 h, 故g1, 使f1 = g1hg1-1 ，故有 h=g1-1f1g1f2 h, 故g2, 使 f2 = g2hg2-1 = g2g1-1f1g1g2-1 = (g2g1-1)f1(g2g1-1) -1故 f1 f2 【定义1.6】 群G的所有相互共轭的元素集合，称为群G的一个类。系1 一个类被类中任意一个元素所决定，知道了类中某一个元素f，则f所属类的所有元素均可求出：f类=系2 一个群的单位无e自成一类，gxG，gxegx-1=e，系3 阿贝尔群的每个元素自成一类，f，gxG，gxfgx-1 = f系4 若元素f的阶为m，即fm=e，则f类所有元素的阶都是m，因 系5 两个不同的类没有公共元素，一个群可以按共轭类进行分割（名类中元素个数可能不同）。例1.12 D3=e, d, f, a, b, c的类分割。 D3的元素可分为3类： e类：ed类：d, fa类：a, b, c定理1.4 有限群每类元素的个数等于群阶的因子。 证明：设G为n阶有限群，g是G的一个元素，看g类元素的个数:作G的子群Hg：Hg=hGhgh-1=g （即内自同构群I(G)在g点的迷向子群）即Hg由所有与g对易的元素组成。下面证明：g1gg1-1 = g2gg2-1 g1,g2 g2Hg（一）若g1gg1-1 = g2gg2-1，g1,g2G，g1,g2Hg 由g1gg1-1 = g2 gg2-1 可得 g2-1g1gg1-1g2 = g即 （g2-1g1）g (g2-1 g1)-1= g 故 g2-1g1 Hg 由重排定理： g2-1g1 HgHg有 g1g2Hg,而g2g2Hg所以g1, g2g2Hg (g1Hg = g2Hg)(二)若g1, g2g2Hg, 则存在 h Hg,使g1=g2h故 g1gg1-1 = g2hgh-1g2-1 = g2gg2-1 即 g1gg1-1 = g2gg2-1 g1, g2g2Hg综上所述：用Hg的一个左陪集仅能得到g类的一个元素，g类中元素的个数等于Hg的左陪集个数。即： g类元素个数= Hg左（右）陪集串个数由拉格朗日定理，Hg的阶为G的阶的因子，故g类元素个数亦为群G阶的因子。【定义1.7】 （共轭子群） 设H和K是G的两个子群，H G，K G，若有g G，使 K = gHg1 =k = ghg1| hH 则称H是K的共轭子群。系1 共轭子群具有对称性（即相互性）和传递性；系2 群G的全部子群可以分割为共轭子群类。【定义1.8】 （不变子群） 设H是G的子群，若gG，hxH,有ghxg1H，则称H为G的不变子群,记为HG。系1 如果H包含元素hx，则它将包含hx的类。定理1.5 设H为G的不变子群HG, 则gG, 有gH = Hg或gHg1 = H.证明：hHgh = gh(g1g)=（ghg1）g Hg故 gHHg 又 hg = (gg-1)hg = g(g1hg)gH 故 HggH所以 Hg = gH，即gHg1 = H不变子群的左陪和右陪集相等。例11.13整数加法群是实数加法群的不变子群，Z+R+aR, zZ，a + z + (-a) = z Z实际上阿贝尔群的所有子群都是不变子群。定理1.6 设H为G的不变子群HG， 则G的陪集串分割H,g1H,g2HgiH中，两个陪集giH和gjH中元素的乘积必属于陪集（gigj）H，即giHgjH =（gigj）H。证明： 有即 gi Hg j H =（gi gj）H 由定理1.6可定义不变子群的商群。【定义1.9】 （不变子群的商群）设HG，以分割G群的陪集串为元素，做成一个新的集合，H， g1H, g2H，giH，并定义集合中元素的乘法规则：giHgjH =（gigj）H，则G的不变子群H生成的陪集串构成一个群，称为不变子群H的商群，记为G/H。例1.14 D3群e, d, f, a, b, c的子群H4=e, d, f是不变子群，子群H4的陪集分割为：H4=e, d, f,aH4=a, b, c则商群D3/H4=H4，aH4,可以验证（aH4）2 = H4 ,即D3/H4为二阶循环群Z2。1.4 群的同构与同态【定义1.10】 两个群G，F，若存在一个从G到F上的满映射：G F，且满足: 映射为双射,即G与F中的元素一一对应，为一一映射： g1,g2G, g1g2 (g1) (g2) 映射保持群的运算结构不变： (g1g2)=(g1) 。(g2)，其中“。”为群F的乘法运算，则称G，F群同构，记为GF，称为同构映射。（满映射即F中任何元素在G中都有原象，满映射又称为“到上”的映射。）群F、G同构示意图：系1 (g0) = f0 , 其中g0 , f0 为群G，F单位元 证：gG, (g)=(gg0)= (g) 。(g0)=(g0) 。(g)即(g0)为F的单位元，由f0的唯一性，必有(g0)= f0 。系2 （g1）=(g)1证： f0= (g0)= (gg-1) = (g-1 g) = (g) 。(g-1)= (g-1) 。(g)即 (g-1)为(g)的逆元由逆元的唯一性，有（g1）=(g)1系3 若GF，则FG，同构映射为-1，同构具有相互性。例1.14 空间反演群E，I与Z2 、D3/H4同构：E，I Z2 D3/H4【定义 1.11】 两个群G，F，若存在一个从G到F上的满映射：GF，且该映射保持群的运算结构不变，(g1g2)=(g1) 。(g2),则称群G与F同态，记为G F，映射称为G到F上的同态映射。（同态不具有相互性）系1 (g0) = f0 ，（g1）=(g)1 , 与同构情形完全类似。系2 同构是一种特殊的同态，当同态映射为一一映射时即为同构。同态示意图：例1.15 则任何群G与仅有一单位元的群F =f0同态。 证明：， 有则 , 故为同态映射。例1.15 群G的两个相互共轭的子群H、K, , 它们同构。 【定义1.12】 （同态核）设群G与F同态，G F，则G中与F的单位元对应的元素的集合,称为同态核。 定理1.7 （同态核定理，又称同态基本定理）设G群与F群同态，同态核为H，则有 H是G的不变子群, HG 商群G/H与F同构, G/HF.证明：设同态映为中：GF，f0为F的单位元。（1）HGgG，hH,为G到F的同态映射，有(ghg-1)= (g)f0(g-1)= (g)(g)-1= f0即 ghg-1H故 HG，为不变子群。（2）定义映射：G/HF，(gH) = (g)若能证明为同构映射，则G/H与F同构。1首先证明映射(gH)的值(g)与陪集gH代表元g的选取无关：设hH,ghgH, 则 (gh)H = gH，gh为代表元，故有(gH) = (ghH) = (gh) = (g)(h) = (g)f0 = (g)故映射与gH中代表元的选取无关，唯一确定。2为一一映射，且保持乘法结构不变 a. 为单射（1对1的映射）设g1Hg2H，要证(g1H) (g2H)反证，若(g1H) = (g2H)， 则 (g1)=(g2)故(g2)1(g1) = f0 , 即(g21)(g1) = f0亦即( g2-1g1) = f0 , 故g2-1g1H由重排定理有：g2-1g1H = H, 即g1H = g2H,与假设矛盾。故必有(g1H) (g2H), 为单射。b. 是满射（F中的任一元素都有在G/H中的原象.）由于同态映射为满映射，故, ，使 故 即有原象, 故为满射c保持群的乘法结构不变。(g1Hg2H) =(g1(Hg2)H) =(g1(g2H)H) (利用了不变子群性质g2H=Hg2)=(g1g2)(HH) =(g1g2H) =(g1g2)=(g1)(g2) =(g1H)(g2H)综合以上a、b、c三点，知为同构映射，故G/HF系1 若群G与群F同态，则阶|F|为|G|的因子。例 1.16 D3群与=阶循环群Z2 (1, -1) 同态。同态核为H = e，d，f，为D3的不变子群；商群D3/H = H，aH， aH a, b, c同构映射：D3/H Z2 【定义1.13】 （自同构映射）群G到自身的同构映射：GG，称为群G的自同构映射，即 , 且。【定义1.14】 （自同构群）定义两个自同构映射1和2的乘积12为先实行映射2再实行1，由于每个自同构映射都有逆射-1，且有恒等映射0存在，故群G的所有自同构映射构成一个群，称为群G的自同构群，记为A(G) 或 Aut(G)。【定义1.15】 （内自同构映射和内自同构群）自同构映射g: GG，。 映射集合构成一个群，群的乘法定义为两个内自同构映射的相继作用，该群称为G的内自同构群，记为I(G) 或 In(G)。系1 内自同构群I(G)是自同构群A(G)的不变子群。证明：，设 (即) ， 做共轭运算，有 = 显然 ，根据不变子群的定义，有I(G) A(G)系2 若H为G的子群，则 H的内自同构群I(H) =h | hH亦为内自同构群，且I(H) I(G)。例1.17 三阶对称群S3的内自同构群S3=e, (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2)(1 2) = , (1 2 3) = 其余类推,数码1、2、3的置换构成S3群，其内自同构映射有：0(gg, 1(g) = (1 2) g(2 1)2(g) = (1 3) g(3 1), 3(g) = (2 3) g(3 2)4(g) = (1 2 3) g(1 3 2), 5(g) = (1 3 2) g (1 2 3)S3的内自同构群I(S3)为：I(S3) = 1.5 变换群 变换群即是以变换为群元构成的群。变换群的讨论涉及变换和变换的对象两个方面。【定义 1.16】 （变换，完全对称群，变换群）设X为非空集合，X=x，y，z，则将X映入自身的一一映射f: XX, f(x)y, 称为X上的变换或置换；定义X上的两个变换f，g的乘积fg为它们先后对X的作用：fg(X) = f(g(X), 则X上所有可能的变换在此乘法下构成一个群，称为X上的完全对称群，记为SX，完全对称群的子群称为X上的变换群或对称群。若集合X为n个元素的集合，则其上的完全对称群称为X上的n阶置换群，记为Sn。 定理1.8 凯莱定理任何群G同构于G上的一个变换群。证明： 将G本身作为变换对象，构造SG的一个子群FGfggG, fg(g)=gg, gG由重排定理，fg(G)=gG=G, 为将X映入X的一一映射，FG为一变换群。可以证明，GFG:构造映射：GFG，(g）= fg显然为一一映射，且g1、g2G, XG 有(g1g2)(X) = fg1g2(X) = g1g2(X) = g1(g2(X) = fg1fg2(X) = (g1)(g2)(X)故映射保持了群的运算结构所以 GFG， 得证【定义1.17】 (等价)设G为X上的一个变换群，若x，y X，有gG, 使g(x) = y则称x与y等价，记为x y。系1 等价具有对称性，x y, 则y x g(x) = y, 有 g-1(y) = x系2 等价具有传递性，x y, y z, 则x z。g(x) = y, f(y) = z, f(g(x) = z【定义1.18】 (变换群的轨道)设G为X上的变换群，对xX，由X中全部与x等价的点组成的集合称为含x的G轨道。即 g(x)gG, 记为Cx。【定义1.19】 (群不变子集)设G为X 上的变换群，若有子集YX，对gG, yY,有g(y) Y则称Y为群G在X上的不变子集。系1 X中的G轨道及其并集是G不变的。系2 若Y为G在X上的不变子集，则G也是Y上的变换群。系3 G为X上的对称群，对于任意子集YX, 总可以找到G的子群H，使得Y是H不变的（Y对单位变换群e总是不变的，但是平庸的）。例1.18 设X是x-y 二维平面，G是绕Z轴转动的二维转动群，G = Cz() 02, X=。平面上任意一点r = (x, y)r经群元CZ()作用，变换到rr = Cz()r = , 即：r r (1) 以原点O为原心，过r点的圆周上的所有点，构成含r 的G轨道。(2) 所有以O为原心的同心圆及其任意和集是X上的G不变子集，故G也是这些不变子集上的对称群。例1.19 G是三维转动群Cn() 02, 固定点为O。X为二维平面，求其子集正四边形Y=ABCD的变换群H。(H为G的子群)。容易找出保持ABCD不变的对称操作：e：恒等转动， r：， r2：， r3：，a：， b: u: ， v: 以上元素构成G的子群H = e, r, r2, r3, a, b, u, v, H是ABCD上的变换群(D4群)。【定义1.20】 （迷向子群）设G为X上的变换群，对xX，保持x不变的所有G的群元，构成G对x的迷向子群，记为Gx=证明：Gx构成群存在单位元：e(x) = x, e逆元：若，则故封闭性：若g1, g2则,故。定理1.9 G对x的迷向子群Gx, 其每一个左陪集把点x映为X中的一个特定点y, 即含x的G轨道Cx上的点和Gx的左陪集间有一一对应关系。证明：设为x点的迷向子群，左陪集: 则若g1(x)=g2(x), 有g1g2Gx, 反之亦然： 若g1(x)=g2(x)，则：g2-1g1(x)=x, 有g2-1g1Gx，即 g2-1g1GxGx故g1g2Gx 若g1g2Gx, 则存在h，使得g1=g2h 有g1(x)=g2h(x)=g2(x)综上所述，x的G轨道Cx与Gx的左陪集一一对应。系1 若G为X上的n阶变换群，G轨道为Cx，则Cx上轨道点的数目等于Gx左陪集的个数, 即n/|Gx|。例1.20 D3=e, d, f, a, b, c D3为上的变换群 A点的迷向子群: e, a= GA左陪集串: GA = e, a bGA = b, f cGA = d, cA有D3轨道CA = A, B, C=3关于迷向子群的定理把代数的陪集概念与几何上的轨道概念联系了起来。1.6 群的直积和半直积【定义1.21】 （群的直积）给定两个群G1，G2，作有序对（g1, g2）的集合G，G(g1, g2)| g1G1, g2G2，若定义G上的乘法为：(g1, g2)*(g1, g2)=(g1g1，g2g2)，则G构成群，称为G1，G2的直积，记为G=G1G2。（“” ，“”分别为G1, G2的乘法）系1 G构成群。证明：结合律：=单位元：（e1, e2）, 其中e1, e2分别为G1，G2单位元 =逆元： =封闭性显然故G在乘法“*”下构成群。系2 定义1(g1, e2) | g1G1 , 2(e1, g2)|g2G2, G = G1G2,则显然：系3 显然还有：1. ; 2G=, 且此分解唯一；3. =4. 以上用群G1，G2可以直积方式构成群G，那么反过来一个群在什么条件下可以做这种分解，即直积分解？定理1.10 （群的直积分解）群G，有子群G1，G2，定义序对“.”为G的乘法，则G =的充要条件为：1可唯一表示为；2 对成立。证明：可以检验G中元素的乘法构成直积： 根据条件有：=,显然可以看成是的具体化形式，而可以看成的具体化形式，故G中元素的乘法满足直积定义。以上两个条件的必要性很显然，前面已经做了证明