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教 学 内 容备注第一章 多项式一. 内容概述1. 多项式的概念多项式有两种不同的定义。设是一个域F， =+ （1）(1) 不定元的观点（形式表达式）把x看作一个文字，形如表达式（1），称为上的多项式。若两个多项式的形式表达式完全一样，则称两个多项式相等。即=+,= 规定=,=1,2,n因此，每一个多项式的表达式是唯一的。（2）函数观点把看作中的取值的自变量, 看成定义在F上的一个函数,其值域是上的一个子集。在这一观点下，两个多项式函数与相等。记住 是指的对，()= ()有相等的函数值。应当注意这时的函数表示法不一定是唯一的。例如，二元域=0，1上多项式函数=，=是相等的，但表示法不一样，而在无限域上多项式的表示法是唯一的。即在有限域上=不能推出；在无限域上= 2多项式的运算（1）加法定义 , ,在其中适当添上一些系数为零的项,总可设=,=,令=,显然h(x)，称为与的和，记为+= 。令-=，显然-，称-为的负元，记-=+（-）多项式的加法有如下性质:) +=+ ii) (+)+h(x)= +(+h(x) iii) +(-()=0（2）乘法定义 ，设=,=令=,显然，称为与的积，记为=多项式的乘法具有以下的性质：i) = ii) ( ) = ( ) iii) (+)= + iv) 若,且全不为零,则0从而若= ,且 0,则=3.多项式的次数定义. , 0称中不为零的项的最高次数为该多形式的次数,记为()。零多项式不定义次数。我们给出多项式的和与积的次数定理，它在多项式理论中占有重要的地位。定理 设0，0i) +0时, (+)max(), ()ii) ()=(）+( )4.带余除法定理 设 , ,且0,一定有中的多项式，存在，使= +成立，其中（）1，那么称为的重因式。定理 若不可约多项式是的重因式（），那么是的重因式。推论1。若不可约多项式是的重因式（），那么是，的因式，但不是的因式。推论2 不可约多项式是的重因式，那么那么是与的公因式。推论3 多项式没有重因式11多项式的根余数定理 一次多项式除多项式，所的余式为。定义 设，如果=0，则称为的一个根。如果是的重因式，则为的重根。当=1时，为单根；当时，为重根。定理 设， ，那么在中至多有个根（重根按个计）。推论1设，它们所确定的两个多项式函数相等。推论2设，是数域上的两个次数不大于的多项式。如果对于中不同的数都有 那么。12.拉格朗日插值公式设是个不同的数,而任意个数,显然适合条件 这称为拉格朗日插值公式.13.复数域上的多项式 定理.每个次数1的复系数多项式在复数域中至少有一个根.推论1.每个1)次复系数多项式在复数域中恰有个(重根记为个).推论2.复数域上每个次数1的多项式均可约.这样, 0)次复系数多项式的标准分解式为其中是的首项系数,为互异复数,为正整数。14.实数域上的多项式定理 设，是一个非实复数。如果是的根，那么的共轭数也是的根，并且与有相同的重数。定理 实数域上的不可约多项式只有一次多项式与含有一对共轭虚根的二次多项式。推论 每个次数的实系数多项式，都可唯一分解成实系数的一次多项式与二次不可约因式的乘积。因此，次数的实系数多项式的标准分解式为其中是的首项系数，及都是实数，且是不可约的，即。15.有理数域上的多项式定义 设是整系数多项式,如果的各项系数互素,即,称为本原多项式.引理1 两个本原多项式的乘机仍是本原多项式.引理2 次整系数多项式在有理数域上可约,当且仅当可分解为两个次数都小于的整系数多项式的乘机。定理（艾森施坦因判别法）设是一个整系数多项式。如果存在一个素数，使的(i)整除但不整除；（ii）不整除，那么在有理数域上不可约。16.多元多项式设是一个数域，是个文字，形式为的式子，其中是非负整数，称为一个单项式。而成为单项式的次数如果两个单项式中相同文字的幂全一样，那么它们就称为同类项。一些单项式的和称为元多项式。在元多项式中，称系数非零的单项式的最大次数为这个多项式的次数，如果元多项式中不存在系数为零的单项式，则称为零多项式。定义 元多项式与，如果同类项的系数全部对应相等，则称为相等。命题 数域上的元多项式与相等的对于中的任一组数恒有=对于两个不同的单项式 (1) (2)如果 而 ,则称(1)先于(2).将多项式的各项,按上述规定先后顺序排列,称为字典排序法。按照字典排序法写出的多项式的第一项称为多项式的首项，但首项的次数未必为多项式的次数。对于字典排序法，我们有定理 当，时，乘机的首项系数等于的首项系数与的首项系数的乘积。推论1 如果那么的首项等于每个的首项系数的乘积。推论 2 如果，那么。定义 如果的所有单项式都是次的，则称为次齐次多项式。命题 两个齐次多项式的乘积仍为齐次多项式，它的次数等于这两个多项式次数之和。任何一个次多项式都可以唯一的表示成= 其中是次齐次多项式，成为的次齐次成分。17.对称多项式 定义 元多项式，如果对于任意的，都有=那么这个多项式成为对称多项式。在元对称多项式中，以下几个多项式称为初等对称多项式。定理 对于数域上的任意元对称多项式都有一个元多项式使得=二、例题选讲例1 设且，。证明：。证 因为所以有因 且 故有 ，即得。例2 令 求的奇次项系数之和。 解 由于 所以是偶函数 故奇次项系数为零。例3 设，如果 试证明证 因为，所以当时，因而为偶数，同时由为偶数知为奇数，这是不可能的。故=0。从而，有若，则，于是的首项系数为正数，而的首项系数为负数，矛盾。故。从而 =0。例4 当为何值时，整除 解法一 由带余除法容易算出。假如那么 从而得到解得。这时显然有。法二：待定系数法 假如那么必定有把右边乘开后整理得根据多项式相等的条件可得到解得结果与法一总全相同。例5 证明，如果则有。（西南交通大学）分析 此题初看起来似乎较复杂，无从下手。但是只要想到就找到了与的联系。再利用带佘除法判断一个多项式是否整除另一个多项式这一重要方法，问题就解决了。证 利用带佘除法，设，则因而有，由得所以，故，。例6 设是实系数多项式，且 （1） （2）则能被整除。（北京大学）证 用乘（1）式，用乘（2）式，然后相减得但，故。同理可证， 。例7 设和是数域P上两个一列多项式，k与是的正整数，求证：的充要条件是。（浙江大学）证 先证必要性。设，其中，两边K次方得故。再证充分性。设。（i）若则。（ii）若不全为0，则令，那么且,存在，使得两边消去，得由得，但，这样继续下去有，但，。其中C与非零常数。下面再给出应用带佘除法的例子。例8 设证明证： 用反证法。如果，由整除定义知。设，因此，由题设 知其中(注:多项式的次数定义为)。证：由带佘除法定理 因为故存在 再由带佘除法定理其中。故，其中。例8 设，其中为非负数，求证：同为奇数或同为偶数。分析 只要想到，找到了与的联系，并且能够运用多项式的根与一次因式的关系就解决了。证： 若，存在而之二根为，且，故 （1） （2）（1）+（2）得即若n为奇数，则均为奇数；若n为偶数，则均为偶数。若同为奇数或同为偶数时，的二根，均为的根，因此有而故即。例9 设不都是零多项式，证明，的最大公因式是它们的公因式中次数最高者。反之，的公因式中次数最高者必是它们的最大公因式。分析 根据最大公因式的定义，就可以获得证明。证 设是的一个最大 公因式，由于不都是零多式顶，所以。若是的任一个公因式，则有，而，所以。反之，设是的一个公因式，且对的一公因式来说均有，我们证明是的一个最大公因式。设是的一个最大公因式。则，又则前半部结论知；另一方面，是的一个公因式，由题设知，所以，再由，因此，从而是的一个最大公因式。说明 由本题的结论，所以有时也称最大公因式与最高公因式。例10 假设。试求，使得。分析 这是一道基本计算题目，求最大公因式可以用辗转相除法，然后逐步推回去，便可求得满足条件的。解： 0 用等式号来，就是因之而于是这里。例11 假设，且，证明：分析 证明这类问题，我们可以用最大公因式的定义，或公因式成为最大公因式的条件还须，寻式两边都头首项系数是1的多项式。证： 令。因为，所以从而。又因为，所以，即而所以有，同理可证，从而得。再的首项系数都是非曲直，因此必定有即。例12 设且首项系数都是1，则。分析 这个题目，我们可以用最小公倍式的定义，或公倍式成为最小公倍式的条件来着手完成。证明： 令，从可知是的一个公倍式。现在设是的一个公倍式，则又根据有关定理知，存在，使这表明，而从（1）两边约去公因式得从而可知从而可知设代入（1）式得，即。这表明是有的一个最小公倍式。例13 设为两个多项式，证明：不互素的充分必要条件是存在多项式，使得，其中，。证：必要性设，则，又设，则， 令，则充分性： 由 知若，则，但矛盾。故不互素。例14设，为数域P上的非零多项式，且则多项式与的最大公因式为。分析 易知是与的公因式。再证的与 互素即可。证：因为 所以是与的公因式。只要证明与互素即可。设不互素，因而有不可约多项式使|，| 所以|即| 有因 =所以，故，从而的到，这与矛盾，故结论成立。例15 设是中一个次数大于零的多项式。如果对于任意的，只要|，就有|或|，那么不可约。 证 反证法。设可约，则，其中，的次数都小于的次数。有，根据条件可以的出|或|，这是不可能的。例 16 证明，数域上一个一次大于零的多项式是中某一不可约多项式方幂的充要条件是对与任意或着，或者存在一个正整数，使得。分析 注意利用不可约多项式与任意多项式的关系及多项式因式分解定理。即可证明。 证 必要性：设=（不可约）。则对于中的任意，只有两种可能：或者，在前一种情形中有，在后一种情形中有，即。充分性：设为其标准分解式。令，若S1，则且不整除，即当条件成立时，必须S=1，即。例17 设是一个多项式。证明：（K为常数）的充分必要条件是：对于任意证书a，b都有。分析：对于充分性，由于对于任意整数a，b都有，我们可用特殊值法求解来完成。证：必要性 由于，所以。充分性当时，结论成立。当时，设由于，故。此时，的次数n不能大于1，事实上，若n1，则，令a=x，b为一个固定的非零数，则即比较两端关于x的n-1次多项式，得，从而，这是矛盾的。故的次数不能大于1，亦即总之，有。例 18 设试求出的所有系数的和。 解：。则所有系数之和为。例 19 设为次数大于零的多项式。证明：如果，则的根只能是零或单位根。 分析：这里注意用根的定义与根的个数和多项式次数的关系进行推导。 证：因为，故存在多项式，使设是的任一根，即，则，这就是说，当是的一根时，则也是的根。依次类推，可知都是的根。但是为次数大于零的多项式，它的根不可能有无限多个。故必存在正整数S，t（不妨设St）使 ,于是有,即;或即为单位根.例20 设是一个n次(n0)多项式。证明：整除的充分条件与必要条件是，有n重根。 分析：这里注意运用一次因式与根的关系和是的K重工分的充分与必要条件进行推导。证：充分性 设有n重根，且，则 显然有 。必要性：法一：因为，故可设两边逐次求微商，在移项可得其中，为的首项系数。以上诸式相乘，并从两边消去，则得 即有n重根。法二：设是的所有互不相同的根，而且它们的重根分别为则 （1）由于，故也是的根且重根数分别为于是 （2）由（1）、（2）式得这就是说，只有一个根其重数为n-1。从而是的n重根。从而是的重根例21 若实系数多项式对x的一切值都不小于0，则必可表为这里与是实系数多项式，证明之。证 首先多项式没有奇数次重实根。因为不然它就要改变符号。因此，这里是一个 没有实根的多项式，其次，我们把多项式的复数根分为两组，而把彼此共轭的根归入不同的组里去。相应于每个根的诸一次因试的乘积各形成共轭系数的多项式 与 ，因此，而且令， 故例22 给定实数a,b,c，其中c0。试证至少有两个虚根。 分析 这里要注意运用实系数多项式虚根成对与重根与微商之间的关系。 证 由于虚根成对出现，所以只要证 至少有一个虚根。用反证法，设它的根都是实根，由于，。 可知 和 只有公根x=0。令所以之根都不等于零。因此 之根若为重根，则必为二重根。这证明了 至少有三个不同根。当 有五个不同的根，则有四个不同根；当 有四个不同根，则有一个为二重根，因此有一个不同根为 的根，另有三个根不是 之根。当有三个不同根，则有二个不同根为二重根。所以有二个不同根为的根，另有二个不同根不是之根。总之有四个不同根。这导出矛盾。故结论不成立。例23 假设 是两两不同的整数。试证：多项式在有理数域 Q上不可约。 （华中师范大学）证 用反证法，设 在 中可约：其中 是正系数多项式，且设于是所以 均为正整数，1且反号，即例 24 设是n个不同的整数,证明整系数多项式在有理数域Q上不可约。证：用反正法。因为对任意实数，有故无实根。如果可约，不妨令，为整系数多项式，则也没有实根。这样，在x取一切实数值时，均不改变符号，不妨设（x代表任何实数），由。（k=1,2,n）知。若或的次数小于n，由它在n个不同值上取1必有恒等式或。因此，与的次数只能恒等于n。于是有,是整数。这时，比较和的系数得这方程组,无适合条件的整数解。所以不可约。例 25 设是一个整系数多项式。证明：如果存在一个偶数a及一个奇数b，使都是奇数，则没有整数根。分析：若能说明任何整数都不是的根，而说明任何奇数C都不是的根就可达到我们的目的。证明：显然，不能是零多项式，故可设其中是整数，且。由于a是偶数，而是奇数，故为奇数。从而对任何偶数，都是奇数。又因为b是奇数，而是奇数，于是对于任何实数C，由于是偶数，故为偶数，从而是奇数。综合上述，对任何整数K，都是奇数。从而，即没有整数根。例 26 设为有理数域上的n（大于等于2）次多项式，并它在有理数域上不可约，知的一个根的倒数也是的根，证明的每一个根的倒数都是的根。分析 如果能找到一个以的根的倒数为根的Q上的多项式，而且它与只有零次因式的差别，那么结论就可以得证了。证 设，因为在有理数域上不可约，故。令，由条件知的倒数为的根，因而有，又为的根，不可约，故。设为的任一个根，当然，所以，即所以从而为的根。例27.求的根。解：再求所以知有重因式.而由于与有完全相同的不可约因式这样,我们可得的根是1和-2。再利用综合除法演算 1 2-6-8176-20813-3-11612-813-3-11612-8014 1-10-48141-10-480156-4-8156-4-8016128161280知1是d的4重根，同样方法知-2是的3重根。说明，此题虽然可以直接用综合除法求得结果，但我们没有这样作，而采用了去掉重因式的有效办法。由于这样作更具有一般性（对没有有理根的情况仍然使用）例28设有五个实根，证明至少有根小于1。（山东海泽学院）分析此题由条件出发利用跟2与系数的关系推出矛盾得证 设五个实根为 证至少有个。否则，若 。那么，由亘与系数的关系有 （1） （2）有（1）知（3）由（2）知 （4）注意到（3）及每个，这这与（4）式矛盾。所以至少有一个，从而有一个根例29求证：实系数三次方程的三个根的实部均为负数的充分必要条件是 （华中师大，华东师大）证： 比要性，设三个根为其中不妨设是实根。且有必要性题设知0。再若 且，那么， ，在这种情况下得证再当为负实数时,那么虽然有，其中充分性.当时,那么可知方程系数全为正,从而方程无正根.而且0也不是方程的根.如果方程三个根均为实数,那么一定是负数.从而得证. 如果方程的三个根不全是实数,那么可设先证.否则,那么这与,矛盾.下证,用反证法. 若,那么由，矛盾,故例30设多项式1） 证明在有理数域Q上不可约2） 设是的一个根，证明：所以具有如下形式（其中是有理数）的数的全体构成一个域（华东师大）证 1）取p=2，由于，有艾森斯坦因判别法得知：在有利域Q上不可约。2）令，非空，容易验证M关于加法封闭，0是零元，的负元是，加法适合结合律，交换律，所以M是一个加群。又 由于，从而关于乘法封闭。又1是M的单位元。乘法适合结合律，交换律，可以验证分配律仍然成立。最后证明逆元存在。使得由于与互素，所以。存在使得又，这样就得到的逆元为故M是一个域。例31设是一个复数，且为一非零有理系数多项式的根，集合证明1)在J中存在唯一的首相系数是1的多项式使得J中每一个多项式均可被整除;2) 在有理数域Q上不可约:3)如果求上述的。（曲埠师大）证明 1）由题设令S表示J中多项式的次数所成的集合，有最小数原理知S中必有最小的整数n，再取J中次数为n的首相系数为1的多项式，对于任意令其中或如果则知这于的选择矛盾，因此，于是即再具有上述性质，于是且从而与相伴，但有与均为首相系数为1的多项式，所以=。2）如果在Q上可约，可令其中于是，从而中至少友谊个等于0，即至少有一个在J中。虽然，这与的选择矛盾，故在有理数域Q上不可约。3）当时，令则， 为首相系数是1且在Q上是不可约的最低次数的多项式，所以即为所求。例32试求以为根的有理系数的不可约多项式。（中科院） 解 设为有理系数多项式，以为根则， 也是的根。令=如果在有理数域上可约，则一定分解为2个 二次多项式之积，但任何两个多项式之积 均不为有理系数多项式，故在有理数域上不可约。教 学 内 容备注第二章 行列式 一、内容概述1.行列式的定义： 其中为排列的逆序数。2行列式的性质(1) 设D为n阶行列式，则，即行列式转置以后其值不变。(2) n阶行列式D某一行（列）有公因子可以提出来。(3) n阶行列式D的某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行外全与原来行列式D的对应的行一样。(4) n阶行列式D中某行（列）的对应元素都相等，则D=0。(5) n阶行列式D中某行（列）的对应元素成比例，则D=0。(6) 把n阶行列式D的一行（列）的倍数加到另一行（列），行列式的值不变。(7) 变换行列式的两行（列），行列式改变符号。3.一行（列）展开设为阶行列式，为元素的代数余子式，则4.行列式的乘法设和是任意两个阶行列式.且,则,而.其中 5.拉普拉斯定理 (laplace定理)设在行列式D中任意取定了个行,由这k个元素所组成的一切k阶子式与他们的代数余子式的乘积的和等于行列式D。6.克莱姆法则 （Cramer法则） 设 ，且，则有唯一解，其解为，其中二、 例题选讲例1 如果排列的逆序是4，则的逆序是6,进而推广之，如果排列的逆序是k，则的逆序是例2 写出五阶行列式中包含的所有正项。（西南交通大学，84年）解：包含的所有正项为：。例3 1）设A为三阶方阵，为伴随矩阵，且。 2）设三阶矩阵均为三维向量，且已知求行列式 解：1）由得，而2）由得：例4 若都是4维列向量，且4阶行列式（A） m+n (B) -(m+n) (C) n-m (D) m-n 答：（C） 由于第4列是两组的和，由行列式的性质得：例4 设为整数，则。证：由于，右边的行列式除主对角线上元素都是奇数外，其余元素都是偶数，故它的展开式中，除主对角线上元素之积这一项为奇数外，其余的项均为偶数，于是奇数0。例5 已知n阶矩阵。证：由已知 而 =，。推而广知，n阶矩阵, 则矩阵的行列式的每个元素的代数余子式必相等。例6 计算行列式 （辽宁师大2002年）解: 原行列式=。例7设解：原行列式D= = 例8 计算行列式 1） 其中2）1. 解：1）原行列式=例9设 (都师范大学2000年) 解 :原行列式D= = =(1+)例10 计算行列式1)(其中) 2)(其中)解 :原行列式=(2)同样方法得=例11 计算n+1阶行列式解:原行列式=x+=x+ =x+(x-1)(x-2) 例 12 证明 D=证 :因为D= =例13 计算n阶行列式 ，其中。 (华南师大1987年)解: 因为+ =例 14 计算 (华东师大 1997年) 解 例 15 计算行列式(1)(2) (1)解：(1) 当n=2时，有(2) 当n3时，则(2) 当n=2时，有 当n3时，则例 16 计算n阶行列式解：例17计算n阶行列式解：原行列式例18计算n阶行列式 （华中师范大学 1993年）解：原行列式(1) 当 时，由例8 1) 得(2) 当 中有且仅有一个，这时取第一行，第行，由拉普拉斯定理可得。(3) 当 中有两个或两个以上时，。例19计算行列式 解：（I）当时，。（II）当时，按第一列展开得，此即，作特征方程。当时，则当时，当时，由解得当，且时，当时，当时，由解得。解法二：当时，当时，例20计算阶行列式（西安交通大学 99年）当时，例21计算下列行列式（郑州大学）解：例22 由题设可知是一个次数不大于次的多项式，但是它有个不同的根，所以，即例23 设是数域中互不相同的数，是数域中任意一组给定的数，用克莱姆法则证明存在唯一的数域上的多项式使证明：由，则有把它看成关于的线性方程组，由于系数行列式为一范达蒙行列式的变形，由题设条件知它不等于，故只有唯一解，从而所求多项式是唯一的。例24设是一个阶行列式，都是实数，且，若，证明。（北师大）证明：用反证法，若，则的列向量线性相关，故存在不全为零的数使，于是有现在不妨设是中最大数，当然，于是由上面第一个等式得，即有两边约去得，这与题设矛盾，故。例 25 设多项式的n个根为,则称为判别式,证明 有重根的充分必要条件为 证：因为所以有重根例26 若阶方阵与的第列不同，试证：证： 故例27 设是阶矩阵，其中将A的第行元素换而其余的元素不变，记这样所得的矩阵为，证明：证：令为的元素的代数余子式，则把上面的个等式相加得由于上式右端个括号里的式子分别是的第列与第一列，第二列，第列，第列对应元素的代数余子式之和，因而除最后一个括号内的式子等于外，其余的全为0，即有例28设为复系数三次多项式，是两个虚数，且已知，试证为实系数多项式。证：设，只须证即可由题令将上述四个等式看作是关于为未知量的线性方程组，其系数行列式恰是一个范达蒙行列式，由故互不相同，所以因此线性方程组有唯一解，即是唯一的。同时，由题设易知，因此又有等式由此可见也是上述线性方程组的解为唯一的，故，因而确为实系数多项式。教 学 内 容备注第三章 线性方程组一、内容概述给定一个一般的线性方程组，它有解、无解、有多少解，完全由其系数矩阵与增广矩阵的秩决定，亦即由行列向量的线性关系所决定。此外，关于线性方程组的求解方法、解的结构的讨论，亦与线性关系有关，因而线性相关性是线性方程组的理论基础，因而我们的讨论就从这里开始。1.向量的线性相关性1）维向量及其线性运算2）设，若方程组，在中有非零解，则称线性相关，否则称它们线性无关。3） 线性相关=0；线性无关0线性相关它们的对应分量成比例；线性无关它们的对应分量不成比例4）设则线性相关；线性无关5）部分相关，整体相关；整体无关，部分无关。6）设 （） （）若线性无关，则也线性无关。7）设，存在，使，则称可由线性表出（或线性表示）。 设为向量组（），为向量组（），若组（）中任一都可由组（）线性表出，则称组（）可由组（）线性表出；若组（）与组（）可以互相线性表出，则称组（）与组（）等价。 若线性无关，而线性相关，则可由线性表示，且表示法唯一。8）极大线性无关组，向量组的秩，两个等价的向量组有相同的秩。1 线性方程组 设给定了数域上的一个线性方程组其中为行列的矩阵， 。 为（）导出方程组。1） 非齐次线性方程组有解的充分必要条件是它的系数矩阵与增广矩阵有相同的秩2） 方程组若有解，则 ）当时，有无穷多解； ）当=时，有唯一解。3） 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是它的系数矩阵的秩小于未知量的个数，即，不失去一般性，假设两组向量的极大无关组分别为与 则向量组中任意向量都可由个向量，线性表示，故此向量组的秩必不超过，故结论成立。例9设向量组 的秩为，在向量组中任取个向量 证明：向量组的秩。证：设向量组中去掉向量组后剩下的向量为即向量组与和起来就是向量组。于是，可得知向量组的秩向量组的秩+向量组的秩，而向量组的秩故向量组的秩向量组的秩-向量组的秩。例10证明个维向量线性无关的充分必要条件是行列式。其中为向量的转置向量。（厦门大学）证：因为由此可知，线性无关。例11设，是个在，上连续的函数，试证，线性相关=0 其中。 （清华大学）证：“”若，线性相关，则存在一组不为零的数使得 则对于1有即 上面关于的齐次线性方程组有非零解，故其系数行列式“”若行列式，则存在一组不全为零的数使 即 记 即有 若 ,即 知，线性相关。 若，设是，生成的线性空间，若，线性无关，则它们是的一个基，又是的非零元素，且它与的基中每一个元都正交，这是不可能的。综上得知，线性相关。例12已知个向量线性相关，但其中任意个都线性无关，证明：（1）如果则这些或者全为0,或者全不为0；（2）如果存在两个等式 ， 其中，则。证：（1）如果，则证毕，否则总有一个不等于0，不失去一般性，设，那么其余的都不能等于0，否则若某个=0，则有，其中，这任意个都线性无关，矛盾，从而证得全不为。（2）由于，由上面（1）知全不为零，再看，如果，则结论成立。若全不为，则由-得 故 。例13设 ，已知秩秩 （厦门大学）证明：（1）方程组有个线性无关的解（2）是方程组的解，其中（3）方程组的任一解可表为其中。证：（1）因为秩秩，所以方程组有解，由秩可知有个线性无关的解： 显然，线性无关。（否则，矛盾）。所以，+，+，+亦线性无关。令 可得 为的个线性无关的解。（2）令 其中，由于（3）设为的个解且线性无关，于是为的个解，并且容易验证它们是线性无关的，所以的任意解可表示为令 ， 则 且。例14取何值时，方程组 有解 无解 有唯一解 （曲阜师大）解：（1） 当且时，由克莱姆法则知方程组有唯一解；（2） 当时，秩，秩，秩秩，方程组无解；（3） 当时，秩秩，方程组有无穷多解。例15讨论满足什么条件时，方程组 有解,无解或唯一解?(哈尔滨工业大学)解:(1) 当互不相等时,方程组有唯一解.(2) 当时,秩秩,方程组有无穷多解.(3) 当中只有两个相等时,方程组系数矩阵与增广矩阵的秩都是,方程组有无穷多解.例16讨论取什么值时，方程组有解，并求解 （华中师大1996年）解：系数行列式（1） 当且时，方程组有唯一解，（2） 当时，原方程组变为 此时方程组无解。（3） 当时，原方程组变为 此时方程组无解。例17设四元线性齐次方程组（）为 又已知某线性齐次方程组（）的通解为（1） 求线性方程组（）的基础解系（2） 问线性方程组（）和（）是否有非零公共解？若有，则求出所有的非零公共解；若没有，则说明理由。解：（1）由已知（）的系数矩阵为，故（）的基础解系可取为（2） 非零公共解。将（）的通解代入方程组（），则有 解得当时，则向量。满足方程组（）（显然是（）的解），故方程组（）（）有非零公共解。所有非零公共解是 （是不为零的任意常数）。例18已知阶方阵 ， 均为维列向量，其中线性无关，如果，求方程组的通解。解：令 ，则由得把代入上式，整理后得线性无关，得方程组 解此方程组得其中为任意常数。（2002研究生入学试题）例19已知矩阵的元素皆整数，其中为互素整数且，求证线性方程组（为维向量）只有零解。证：即只有零解的充分必要条件是。 考虑多项式 由已知，的元素皆为整数，所以全为整数，而多项式首项系数为，由多项式根的性质知，若有有理根，则必为整数根，但不是整数，所以不是的根，即，故原方程组只有零解。例20证明：实系数线性方程组 有解的充分必要条件是属于的向量与齐次线性方程组 的解空间正交。（山东师范大学）证：假定实数是方程组的任一解，则 （）对于 （）的任意解 有 即向量与齐次方程组的任意解正交，则有 与 同解于是矩阵与有相同的秩 ，从而与有相同的秩方程组有解。例21证明方程组 有解的充要条件是，方程组 的解全是方程的解。证：设 ，则有解。等价于秩秩,此即,秩秩这又等价于与同解.得证.例22设为阶方阵，求证矩阵方程有解的充要条件是有相等的秩，其中 ，。证：必要性。若有解，则的第列是的解。（表示的第列）故系数矩阵与增广矩阵有相等的秩。 充分性。由条件知有解；可得为的解。例23.设系数矩阵的秩为的含有个未知量的非齐次线性方程组有解.试证:它的任一解(向量)都可由它的个线性无关的解向量线性表示.(哈尔滨师大试题)证:(见高等代数选讲(白)P.98的例3).设为的一个特解,为它的导出组的一个基础解系.于是的任意一个解,其中显然是的个解向量.下证,这解向量是线性无关.事实上,若,则对上式两端左乘得:,由,有,因,推出,把它代入式左端又得,则由线性无关,得,进而,所以, 的任意解向量均可由个线性无关的解向量线性表示.例24.设为S个线性无关的n维向量,则一定是一个有n个未知量的齐次线性方程组的一个基础解系. 解: 设,作齐次线性方程组 其系数矩阵的秩为S.则秩(A)=Sn,有基础解系 ,其中r=n-S.设 ,由此作齐次线性方程组 的系数矩阵.秩(B)=r=n-Sn.所以有基础解系,含有n-r=S个向量.而即可.因线性无关,且有为的解.即为的解.例25.已知平面上三条不同的直线方程分别为,试证这三条直线交于一点的充分必要条件为. (2003年.高数(一)试题)证: 必要性.设三条直线交于一点,则为的非零解,其中,于是,而但,故.充分性.考虑线性方程组,将的三个方程相加,并由,可知方程组等价与方程组:,因为故方程组有唯一解,所以,方程组有唯一解.即三条直线交于一点.例26.设平面上的n 条直线 试给出它们有唯一公共点的充分必要条件,并证明之.(长春地质学院) 解:令其中方程组可改号为 AZ= ,其中 Z=所以 n条直线有唯一公共点方程组有唯一解方程组 有唯一解秩秩 线性无关,且 线性相关 线性无关,且 可以线性表示.例27.直线和,有唯一交点的充分必要条件是什么?试证明之.(内蒙古大学) 解:令,其中两直线有唯一交点 AZ=D有唯一解,其中秩A=秩线性无关,且D可由它们线性表示.例28.怎样的线性方程组,给出空间中组成四面体的四个平面? (北京理工大学,陕西师大)解:具有三个未知数四个线性方程的方程组,其中任何三个方程的未知数的系数构成的矩阵的秩都等于3,而增广矩阵的秩等于4.例29什么条件下四点在同一圆上? 解: 圆的一般方程为:,故四点共圆的充分必要条件为方程组: 有非零解.即与的秩相同.例30.求出通过点的二次曲线方程解:设二次曲线的方程为: + 分别将 代入得:,解得:A=-2,B=0,C=-1,D=2,E=0故:此曲线方程为:例31:求出通过点的球面方程. 解:球面方程为: 并得 分别代入上式,得: 解得: =, 所求球面方程为: .教 学 内 容备注第四章 矩阵一、 内容概述1.矩阵及其运算（1）矩阵的加法及性质设 规定其中其中加法适合以下性质：I)交换律 ; II)结合律; III)有零矩阵 ; IV)有负矩阵;矩阵的减法：(2)数乘矩阵及性质 设 ，为任意数数乘矩阵适合以下性质：; ; ; (3)矩阵的乘法 设 规定其中 矩阵乘法适合的性质： 结合律; 分配律; 有单位矩阵 ;矩阵乘法不适合交换律。一般 ; 也不适合消去律即不一定有(4)矩阵的转置 设规定,其中 转置矩阵适合的性质： 2可逆矩阵与逆矩阵（1）伴随矩阵及其性质设 则它的伴随矩阵为中元素的代数余子式。伴随矩阵适合的性质： 秩 (2)逆矩阵及其性质设 若存在n阶方阵使，则为可逆矩阵是的逆矩阵设为逆矩阵的性质： 当为可逆时(3)求逆矩阵的两种方法：I)用公式 II)初等变换法.3.初等变换与初等矩阵单位矩阵经过一次初等变换得