函数的来源与发展应用.doc

函数的来源与发展应用一、 函数的产生十六、十七世纪，欧洲资本主义国家先后兴起，为了争夺霸权，迫切需要发展航海和军火工业。为了发展航海事业，就需要确定船只在大海中的位置，在地球上的经纬度；要打仗，也需知道如何使炮弹打的准确无误等问题， 这就促使了人们对各种“运动”的研究，对各种运动中的数量关系进行研究，这就为函数概念的产生提供了客观实际需要的基础。二、 函数的发展历程1.早期函数概念代数观念下的函数十七世纪，莱布尼兹首次使用“function”（函数）表示“幂”，后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量。与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用 “流量”来表示变量间的关系。2.十八世纪函数概念解析观念下的函数18世纪中叶欧拉给出了定义：“一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。”他把约翰贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数和超越函数，还考虑了“随意函数”。不难看出，欧拉给出的函数定义比约翰贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。3.十九世纪函数概念对应关系下的函数1822年傅里叶发现某些函数也已用曲线表示，也可以用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论，把对函数的认识又推进了一个新层次。1837年狄利克雷突破了这一局限，认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念，指出：“对于在某区间上的每一个确定的x值，y都有一个确定的值，那么y叫做x的函数。”这个定义避免了函数定义中对依赖关系的描述，以清晰的方式被所有数学家接受。这就是人们常说的经典函数定义。4.现代函数概念集合论下的函数新的现代函数定义为“若对集合M的任意元素x，总有集合N确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为y=f(x)。元素x称为自变元，元素y称为因变元。”1 、函数概念的形成与发展函数概念可倒溯4000 年, 其中3700 年充满着对此的预觉.它的进展导出了一个复杂的概念网络:图形的几何表象,作为一个公式的代数表达式, 独立的与不独立的变量之间的关系, 可以表现更一般关系的输入输出的机制和现代的集合论上的定义.函数概念萌芽于17 世纪时对方程个数少于未知数个数时的不定方程的求解, 例如对方程x +y=100 , 写成y =100 -x , 则y 值的变化取决于x 的赋值.这就产生了变量概念及依存关系 1 .把“函数”一词最早用做数学术语的是莱布尼兹(G .W.Leibnitz).最初, 他仅用函数表示x , x2 , x3等.直至1718 年, 贝努利(J .Bernoulli)给出函数的定义:变量的函数是由这个量和常数组成的解析表达式.这个概念在1755 年由欧拉(L .Euler)精确化:如果某些变量以这样一种方式依赖于另一些变量即当后面这些变量变化时, 前面这些变量也随之而变化, 那么前面的变量称为后面变量的函数.他认为, 任意画出的曲线表示所确定的x , y 间的关系就是函数.并和达朗贝尔(D Alembert)在弦振动的研究中首先采用了函数记号.后来, 由于积分运算式子以及分段函数等不符合一个解析式的定义, 函数概念就发展为柯西(A .L .Cauchy)定义:若对x 的每一个值, 都有确定y 的值与之对应, 则称y 为x 的函数.此后, 狄利克莱函数的构造否定了曲线函数的看法, 狄利克莱(G .P .L .Dirichlet)进一步给出函数的定义:对于在某区间上每个确定的x 值, y 都有一个或多个确定的值与之对应, 那么, y 叫做x 的函数.黎曼(Riemann)的定义:对于x 的每一个值, y 总有完全确定的值与之对应, 而不论建立x , y 之间的对应方式如何, 均将y 称为x 的函数.随着19 世纪对各种函数类(连续函数, 可微函数, 解析函数)的进一步研究, 以及集合论的问世,函数概念被布尔巴基(Bourbaki)定义为两个集合之间的一个关系.由此前进, 又定义了以集合的集合(称为类)为元素的集合函数.尽管如此, 随着人们对客观世界认识的不断深入, 又出现了函数、广义函数论等.函数概念还在不断的发展与完善中.从200 多年来函数概念的发展历史来看, 它孕育了变量思维方式、集合对应观点、函数分析方法、等价交换方法等重要思想方法.2、函数教学思考在初等数学中, 有关函数知识分三次出现 2 :第一次是在初中三年级, 函数及其图像这一章中介绍了函数变量说, 并对一次函数和二次函数定义、图像和性质进行了具体研究;第二次是在高中一年级, 在引进集合与对应等概念的基础上, 用集合、对应的观点解释函数定义, 给出定义域、值域和函数符号, 并对幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等初等函数进行研究;第三次是在高中三年级, 在微积分内容中对函数做了进一步的介绍.2.1 函数概念教学在中学数学教学中, 函数是最重要的概念之一.函数概念深刻反映了客观世界的运动变化与实际事物的量与量之间的依存关系.它告诉人们一切事物都在不断地变化着, 而且相互联系、相互制约, 从而了解事物的变化趋势及其运动规律, 因而函数概念是培养学生的辩证唯物主义观点、解决实际问题的有力工具 3 .函数概念不仅与中学数学中的重要内容(如数、式、方程等)有密切联系,而且也是近代数学的主要基础.由于函数思想充分体现了集合、对应、映射等基本数学思想, 因而就使中学数学能接近数学科学的现代水平, 进而使学生获得基本的深刻的有用的高等数学思想方法怎样教学函数概念呢?弗赖登塔尔在描述函数时, 强调的是依赖的思想:我们的世界不是一个僵化的关系系统, 而是一个变化的领域, 一个变动对象互相依赖的领域, 函数是一种特定的依赖关系, 也就是在区分为自变量和因变量的变量之间的依赖关系 5 .函数的构成应当从映射入手.在一般关系的范围中, 它是一个不确定的难以理解的运算.最重要的是函数的关系的定义无论从内容还是从记号上来讲, 都没有运算价值.不少教学法专家认为, 关系概念比函数概念更基础、更一般, 主张教师在教学中用关系来定义函数.关系缺乏应用的原因是它具有类似于一览表那样的记录特征.科学的内容不是描述性的记录, 而是联系.这种联系不是用关系, 而是要用相互关联的程度来描述.引入函数概念可以不考虑关系.在学生接触了许多函数, 已经能作出函数以后, 再让他们去归结什么是函数, 这才是数学活动的范例.要在某一层次上解释函数是什么时, 只要说将某一对象指派给另一对象.但低于这一层次,就必须对这种指派加以具体化, 以便理解,对数 学抽象与数学抽象度分析法有着精辟的论 述: 弱抽象是指概念扩张式抽象 ,即从原型中 选取某些特征 (侧面 ) 加以抽象 ,从而获得比 原结构更广的结构 ,使原结构成为后者的特 例.弱抽象的原型往往来自某些较具体又直 观的事物对象 ,其丰富的内容结构或概念内 涵使它具备成为弱抽象的原型.数学中有很 多素材具备成为弱抽象原型的特征 ,如圆、椭 圆、双曲线、 抛物线之间的密不可分的联系 , 使一些结论的横向、纵向推广具备足够的可 行性 ,可将一些特殊的点或直线一般化 ,把具 体的数字形式化 ,将静止的曲线运动化 ,掌握 静中探动、动中求静、动静结合的策略 ,从中 提炼出能具体认识发展规律的素材 ,这有利 于培养学生的