如果行列式D0.doc

1. 如果行列式D=0，则D中必有一行为零。 （ ）2. 若1能被2，s线性表出，则1，2，s线性相关。 （ ）3. 若一向量组的一部分线性相关，则该向量组线性相关。（ ） 4. 若0=01+02+0t，则1，2，s线性无关。 （ ）5. 若秩（A）=r，则A的所有r级子式不为零且所有r+1级子式均为零。6. 五元齐次线性方程组中，若系数矩阵的秩为2，则其基础解系中任意三个线性无关的解都是它的基础解系。 （ ）7. 若向量组1，2，r可以经向量组1，2， ，s线性表出，且1，2，r线性无关，则rs。 （ ）8. 秩（AB）=秩（A）+ 秩（B） （ ）9. 当 |A|=|B|=0 时，A2B2=（AB）（AB） （ ）10. 若都是数域上的方阵的属于特征根的特征向量，那么任取也是的属于的特征向量。 （ ）11. 如果向量组线性无关，那么其中任一个向量都不是其余向量的线性组合。 （ ）12. 欧氏空间上的线性变换是对称变换的充要条件为关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。 （ ）13. 设是一个矩阵，若用阶初等矩阵右乘，则相当对施行了一次“的第三列乘5加到第四列”的初等变换。 （ ）14. 实二次型正定的充要条件是负惯性指数=0 （ ）15. 若都是数域上的方阵的属于特征根的特征向量，那么任取16. 也是的属于的特征向量。 （ ）17. 如果向量组线性无关，那么其中任一个向量都不是其余向量的线性组合。 （ ）18. 欧氏空间上的线性变换是对称变换的充要条件为关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。 （ ）19. 设是一个矩阵，若用阶初等矩阵右乘，则相当对施行了一次“的第三列乘5加到第四列”的初等变换。 （ ）20. 实二次型正定的充要条件是负惯性指数=0 （ ）21. 若都是数域上的方阵的属于特征根的特征向量，那么任取22. 也是的属于的特征向量。 （ ）23. 向量组线性无关的充要条件是任一组数,，有。 。 （ ）24. 若基到的过渡矩阵为，而向量关于基和的坐标分别为和，那么这两个坐标的关系是。 （ ）25. 两个欧氏空间同构的充要条件是它们有相同的维数。 （ ）26. 若都是数域上的方阵的属于特征根的特征向量，那么任取27. 也是的属于的特征向量。 （ ） 28. 如果向量组线性无关，那么其中任一个向量都不是其余向量的线性组合。 （ ）29. 级方阵与对角矩阵相似的充要条件是有个线性无关的特征向量。 （ ）30. 如果线性空间的线性变换以中每个非零向量作为它的特征向量，则是数乘变换。 （ ）31. 实二次型正定的充要条件是负惯性指数=0 （ ） 32. 在中，是上的线性变换。 （ ）33. 秩为的对称矩阵可写成个秩为1的对称矩阵的和。 （ ）34. 二次型的秩为1。 （ ） 35. 若线性方程组相应的齐次线性方程组有无穷多解，36. 那么也有无穷多解。 （ ）37. 若线性方程组的系数行列式为零，由克莱姆法则知，这个线性方程组一定是无解的。 （ ） 38. 是线性空间的一个子空间。 （ ）39. 在线性空间中，定义（其中是中一个固定向量），则是的一个线性变换。 （ ） 40. 同一数域上任意两个维数相同的线性空间都同构。 （ ）41. 的维数是。 （ ）42. 为的基，为中向量，且，则为的基当且仅当可逆。（ ） 43. 若是数域上的不可约多项式，那么在中必定没有根。 （ ）44. 若线性方程组的系数行列式为零，由克莱姆法则知，这个线性方程组一定是无解的。 （ ）45. 实二次型正定的充要条件是它的符号差为。 （ ）46. 是线性空间的一个子空间。（ ）47. 5、数域上的每一个线性空间都有基和维数。 （ ） 48. 6、两个元实二次型能够用满秩线性变换互相转化的充要条件是它们有相同的正惯性指数和负惯性指数。 （ ）49. 零变换和单位变换都是数乘变换。 （ ） 50. 线性变换的属于特征根的特征向量只有有限个。 （ ） 51. 欧氏空间上的线性变换是对称变换的充要条件为关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。 （ ）52. 若是欧氏空间的标准正交基，且，那么。 （ ）53. 一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性;( )54. 为阶矩阵,若,则( )55. 设及都是的解,则为对应的齐次线性方程组的解( )56. 设均为维向量,若对任意一组不全为零的数,都有,则线性无关( )57. 相似矩阵一定是等价矩阵( )58. 是一个矩阵,对施行一次初等行变换;相当于在的左边乘以相应的阶初等矩阵( )59. 设,则是一个向量空间;( )60. 若向量组能由向量组线性表示,则的秩不大于的秩( )61. 设为阶矩阵,则( )62. 若与相似,则( )63. 若是阶矩阵,且,则( )64. 设有阶矩阵,如果实数和维向量,使成立,则称为的特征值, 称为矩阵的对应于特征值的特征向量( )65. 设有向量组,若存在一组常数都有,则线性相关( )66. 若为阶矩阵. 为维向量,则线性方程组有非零解的充要条件为( )67. 设,则是向量空间( )68. 是行列矩阵( )69. 若是阶矩阵,且,则( )70. 维基本向量组是正交的单位向量组( )71. 若为阶方阵,则( )72. 若阶矩阵与相似,则与的特征值相同( )73. 设,则是向量空间( )74. 若向量能由线性表出,则线性相关.( )75. 阶数不同的两个行列式不能相等。 76. 设与都是价方阵，那么。77. 若齐次线性方程组只有零解，那么必是方阵且。78. 设矩阵的秩为，那么元齐次线性方程组的任意个线性无关的解都是它的基础解系。79. 每个向量空间都有维数。80. 非零的向量空间必有基。81. 五阶行列式的项的符号为“+”。82. 为阶矩阵，若，且，则。83. 维基本向量组是正交的单位向量组。84. 设均为维向量，若对任意一组不全为零的数都有，则线性相关。85. 若为阶方阵，则。86. 若阶矩阵与相似，则与的特征值相同。87. 设，则是向量空间。88. 若向量组线性无关，那么它的部分组也线性无关。89. 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。90. 设及都是的解，则为对应的齐次线性方程组的的解。91. 若向量组能由向量组线性表示，则的秩不大于的秩。92. 是一个矩阵，对于实行一次初等行变换，相当于在的左边乘以相应的阶初等矩阵。93. 设与都是阶方阵，那么。94. 若线性方程组的系数行列式为零，由克莱姆法则知，这个线性方程组一定是无解的。95. 设为阶矩阵，那么是对称矩阵。96. 设是线性相关的向量组，当时，则肯定不全为零。97. 如果向量空间有基，则的基必不是唯一的。98. 如果向量空间是3维的，那么中任意4个向量必是线性相关的。99. 若向量空间中，若向量组中向量两两正交，那么这个向量组必线性无关。100. 设为矩阵，那么AB的充分必要条件是。101. 任意个维向量必定线性相关。102. 若非齐次线性方程组的系数行列式为零，那么此非齐次线性方程组有无穷多解。103. 如果矩阵的秩为，则的每一个阶子式都不为零。104. 设都为阶矩阵，那么。105. 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。106. 齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式必为零。107. 任意个维向量一定线性相关。108. 相似矩阵一定是等价矩阵。109. 非齐次线性方程组的解是一个向量空间。110. 若为阶奇异矩阵，则。111. 所有元排列中奇排列共有个。112. 如果，那么矩阵 中必定有一个3阶子式不等于零。113. 设阶矩阵 和都可逆，那么也可逆。114. 若齐次线性方程组有无穷多解，那么非齐次线性方程组也有无穷多解。115. 矩阵的秩等于它的行向量组的秩。116. 偶排列调整成自然排列的对换次数为奇。117. 行列式中的每一个元素都乘以数，相当于乘。118. 行列式的值是10！。119. 设为阶可逆矩阵，若，则对进行若干次初等变换，当变为时，相应地，变为。120. 设是一组维向量，若维单位向量能由它们线性表示，则线性无关。121. 齐次线性方程组只有零解，则该方程组的系数矩阵为可逆矩阵。122. 行列式的某一列各元素与对应的代数余子式乘积之和等于该行列式的值。123. 若行列式的某两列的数据组成的向量线性无关，则此行列式不等于零。124. 任一实对称矩阵都与一个对角矩阵相似。125. 若矩阵可逆，则等于若干个初等矩阵的乘积。126. 行列式的某一列各元素与任意元素的代数余子式乘积之和等于该行列式的值。127. 若矩阵可逆，则等于若干个初等矩阵的乘积。128. 若齐次线性方程组的系数矩阵为可逆矩阵，则该方程组只有零。129. 行列式的某一行所有元素与其对应元素的代数余子式乘积之和等于零。130. 若向量组线性相关，则向量组也线性相关。131. 矩阵与它的转置矩阵相等。 132. 设是矩阵，是矩阵，是矩阵，是矩阵，则是阶方阵。133. 设与都是阶正交矩阵，则也是正交矩阵。134. 若是矩阵，满足，则或。135. 设为阶矩阵，若，则 中至少有一行可以由其余行向量线性表出。136. 五阶行列式。137. 设为3阶方阵且，所以。138. 设由个向量组成的维向量组，如果，则该向量组线性相关。139. 设为零向量，则与任何向量都正交。140. 若齐次线性方程组的系数矩阵为可逆矩阵，则该方程组只有零解。141. 行列式的某一行所有元素与另一行对应元素的代数余子式乘积之和等于零。142. 初等矩阵的和仍然是初等矩阵。143. 矩阵与它的转置矩阵相等。144. 若向量组线性相关，则向量组也线性相关。145. 设是阶矩阵，则。146. 设是元齐次方程组的基础解系，则从任意取出的个向量都是线性无关的。147. 齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式必为零。148. 任意个维向量一定线性相关。149. 若阶矩阵与相似，则与的特征值相同。150. 若向量组线性无关，那么它的部分组好线性无关。151. 非齐次线性方程组的解集不构成一个向量空间。152. 若为阶奇异矩阵，则。153. 设，则是一个向量空间。154. 是一个矩阵，对施行一次初等行变换，相当于在的左边乘以相应的阶初等矩阵。155. 维基本向量组是正交的单位向量组。156. 若向量能由线性表出，则线性相关。157. 设为阶矩阵，则。158. 若与相似，则。159. 设有阶矩阵，如果实数和维向量，使成立，则称为的特征值，称为矩阵的对应于特征值的特征向量。160. 若为阶矩阵，为维向量，则线性方程组有非零解的充要重要条件为。161. 是5行7列矩阵。162. 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。163. 若向量组能由向量组线性表示，则的秩不大于的秩。164. 设，为元素的余子式，则。165. 二次型，则该二次型的矩阵为166. b+c q+r y+z a p x c+a r+p z+x = 2 b q ya+b p+q x+y c r z 167. 如果是的导数的重因式，那么就是的重因式。( )168. 若线性方程组相应的齐次线性方程组有无穷多解，那么也有无穷多解。( )169. 设是一个矩阵，若用阶初等矩阵右乘，则相当对施行了一次“的第三列乘5加到第四列”的初等变换。( )170. 若都是数域上的方阵的属于特征根的特征向量，那么任取也是的属于的特征向量。( )171. 设是欧氏空间的线性变换，那么是正交变换的充分必要条件是能保持任二个非零向量的夹角。( )172. 设与都是非空集合，那么。 173. 设、都是非空集合，则到的每个映射都叫作二元运算。 174. 只要是到的一一映射，那么必有唯一的逆映射。 175. 如果循环群中生成元的阶是无限的，则与整数加群同构。 176. 如果群的子群是循环群，那么也是循环群。 177. 群的子群是不变子群的充要条件为。 （ ）178. 如果环的阶，那么的单位元。 179. 若环满足左消去律，那么必定没有右零因子。 180. 中满足条件的多项式叫做元在域上的极小多项式。 181. 若域的特征是无限大，那么含有一个与同构的子域，这里是整数环，是由素数生成的主理想。 （ ）182. 设与都是非空集合，那么。 183. 设、都是非空集合，则到的每个映射都叫作二元运算。 184. 只要是到的一一映射，那么必有唯一的逆映射。 185. 如果循环群中生成元的阶是无限的，则与整数加群同构。 186. 如果群的子群是循环群，那么也是循环群。 187. 群的子群是不变子群的充要条件为。 （ ）188. 如果环的阶，那么的单位元。 189. 若环满足左消去律，那么必定没有右零因子。 190. 中满足条件的多项式叫做元在域上的极小多项式。 191. 若域的特征是无限大，那么含有一个与同构的子域，这里是整数环，是由素数生成的主理想。 1 二次型的矩阵表示1.判断题(1) 设(2) (3) （4） 设 A, B为n阶矩阵,若存在n阶矩阵C, CAC=B, 则A与B合同.答案 (1) ; (2) ; (3) ; (4) . 2. 若数域P上的二次型 f 与g等价，则f 与g的秩相等；反之成立吗？答 反之不真。例如实数域上的二次型 与的秩相等，但不等价。2 标准形14判断题（1） 数域F上，任意一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵；（2） 数域F上，两个n阶矩阵合同的充分必要条件是它们有共同的秩；（3） 二次型的秩等于它的标准形不为零的平方项的个数；（4） 二次型的标准形中平方项的个数，与所作的非退化线性替换有关；（5） 两个对称矩阵一定合同.答案：（1）；（2） ；（3）；（4） ；（5） .3 规范形 25判断题（1） 复数域上两个n阶对称矩阵合同的充分必要条件是它们有相同的秩；（2） 实数域上有两个n阶矩阵合同的充分必要条件是它们有相同的秩；（3） 矩阵与矩阵在复数域上不合同；（4） 矩阵与矩阵在实数域上不合同；（5） 对称矩阵的秩和符号差具有相同的奇偶性. 答案 （1）；（2） ；（3） ；（4） ；（5）26试问：在有理数域内，是否合同？在实数域内又如何呢？ 答 在有理数域内不合同。用反证法，如果它们合同，则存在有理数域上2级可逆矩阵，使 于是但，所以这与是有理数域的矩阵矛盾. 在实数域内，合同.事实上， 27设是n阶实对称矩阵.试问，合同的充分必要条件是什么？ 答 秩是偶数且符号差为零.其理由如下： 设的秩是，正惯性指数是，那么在实数域上合同于规范形即存在实数域上可逆矩阵，使由此可见而 可见的秩是，正惯性指数是由此可知，在实数域上合同的充分必要条件是即 4 正定二次型 43判断题：（1） 实二次型正定当且仅当正定；（2） 实二次型正定当且仅当（3） 实二次型正定当且仅当它的正惯性指数 （r为二次型的秩）；（4） 二次型的主子式全大于零，则正定；（5） 正定矩阵的各阶主子式均大于0；（6） 正定矩阵合同于单位矩阵；（7） 实二次型负定当且仅当，（为二次型的秩，为正惯性指数）；（8） 实二次型负定，则它的矩阵的偶数阶顺序主子式全小于零；（9） 实二次型负定，则它的矩阵的奇数阶顺序主子式全大于零；(10) 实二次型半负定当且仅当答案 （1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） ；（7） ；（8） ；（9） ；（10） . 44. 设是一个实二次型，若对任意的实数，均有，问是否为正定二次型？ 解 否.例如,实二次型,对任意的实数均有,但它不是正二次型.45. 正定矩阵与单位矩阵合同. 对吗? 负定矩阵与什么样的矩阵合同? 解 正定矩阵