(六)不定方程.doc

不定方程一个方程含有两个或两个以上未知数时，叫做不定方程。如果不限定解的性质，不定方程一般具有无穷多组解。不定方程中，最基本的是二元一次不定方程，例如 6x+4y = 36。解二元一次不定方程一般分为3个步骤：(1)把方程中的系数约化成最简比；(2)找出方程的一组特解；(3)通过一组特解找出方程所有的解。含有更多未知数的方程，我们一般先把它转化成二元一次不定方程，然后再求解。例如我们来解：6x+4y = 36先化简系数，得到：3x+2y = 18 可以用x来表示出y：经过试验，找到它的一组整数解是不难的，如：x=4，y=3这组解也可以用其他的方法得到（例如余数分析法）。通过这个方法，我们可以得到所有满足条件的解：x=0，y=9x=2，y=6x=4，y=3x=6，y=0我们注意：在原来的方程中，在原来解的基础上，我们把x增加2，y减小3，就可以使等式重新成立。这样就可以找到另一组解了：x=6，y=0类似地，当x减小2时，y要加上3才行，这也是方程的另一组整数解：x=2，y=6这样我们可以用下面的式子来表示所有满足这个方程的整数解：x=42k，y=33k，其中k可以是任何整数。类似地，我们可以写出方程3x-2y=18的所有解：x=62k，y=93k（k为任何数）例1 用1分、2分和5分硬币凑成1元钱，共有多少种不同的凑法？分析与解答设1分、2分、5分的硬币各为x, y, z 个则可以列得不定方程x+2y+5z=100z的取值范围为020之间的整数。当z取20，18，16，0时，对应y有1，6，11，51种取值，故分别有1，6，11，51个解；当z取19，17，15，1时，对应y有3，8，13，48种取值，故分别有3，8，13，48个解。由（1+6+11+51）+（3+8+13+48）=541知，共有541种凑法。评注此题与上题类似，也是先确定某个未知数的一组值，然后根据每个值的情况来求解其他未知数的值的数目。要记住：三元一次方程，如果确定了两个未知数的值，那么第三个的值也确定。例2 现有铁矿石73吨，计划用载重量分别为7吨和5吨的两种卡车一次运走，且每辆车都要装满，已知载重量7吨的卡车每台车运费65元，载重量5吨的卡车每台车运费50元，问需用两种卡车各多少台运费最省？分析设需要载重量7吨、5吨的卡车分别为x、y台，则：7x+5y=73只需求出这个不定方程的自然数解，然后算出运费最省的方案。解答设需要载重量7吨、5吨的卡车分别为x、y台，则7x+5y=73：是整数，用试验方法可以得出在1至9的自然数中，x只能是4，9计算运费：所以用9辆7吨卡车、2辆5吨卡车运费最省评注此题也是两个未知数的不定方程，需要检验的情况较多，需要逐个验证。不过要注意，最后题目要求并不是列出所有解，而是求总运费最省的解的方案。例3一辆匀速行驶的骑车，起初看路标上的数字是一个两位数，过了一个小时路标上的数字变为，又行驶了一个小时后路标上的数字是三位数，求每次看到的数字和汽车速度。分析由于汽车是匀速行驶，因此汽车在单位时间里行驶的路程是相等的，根据这个关系可以列出方程，又因为x、y代表某一位数字，它们只能取1至9这几个自然数（首位不能是0），这样可以求出这个方程的解10y+x-（10x+y）=100x+y-（10y+x）10y+x-10x-y=100x+y-10y-x9y-9x=99x-9y18y=108xy=6x因为x、y都只能取1，2，9，所以x=1，y=6汽车的速度为61-16=45（公里/小时）因此第一次看到的数字是16，第二次看到的数字是61，第三次看到的数字是106，汽车的速度是45公里/小时评注此题涉及到一定的物理知识，匀速运动每段单位时间内行驶的路程一样。清楚这个条件之后，列方程求解也比较简单了。例4 中国民间问题：如果一只兔可换2只鸡，2只兔可换3只鸭，5只兔可换7只鹅某人用20只兔可换得鸡鸭鹅共30只，问其中鸡鸭鹅各多少只？分析设鸡、鸭、鹅分别为x、y、z只那么有：x+y+z=30，其中x只鸡可换得去解解答设鸡鸭鹅分别为x、y、z只，得：式去分母，同乘237，得21x+28y+30z=840 30-得9x+2y=60 所以其中鸡鸭鹅分别为2，21，7或4，12，14或6，3，21只评注此题也是三个未知数的不定方程，需要检验的情况较多，过程也比较长，需要有足够的耐心。例5 有三种书，每本价格分别为3角、4角和5角，现有2元钱。问这三种书各买多少本，恰好把钱用完？分析设这三种书分别为x、y、z本由题意列出方程为3x+4y+5z=20，先确定系数最大的未知数的取值范围，然后将这个未知数的每一个值代入原方程，把原方程化成二元一次不定方程，再求其自然数解解答设这三种书分别为x、y、z本，则：3x+4y+5z=20 当z=1时代入得3x+4y=15当z=2时代入得3x+4y=10所以这个不定方程有两组解：答：这三种书分别买1本、3本、1本或2本、1本、2本，恰好把钱用完评注此题也是三个未知数的不定方程，不过它只有一个方程的约束条件。这就需要先限定一个未知数的一组值，然后对每一个值列出一个新的二元不定方程。进而求解。过程一般来说也比较麻烦，一定不要遗漏情况。例6 求不定方程3x+2y = xy的自然数解分析：先将原方程变形，注意用一个未知数表示另一个未知数，得3x=xy-2yy（x-z）=3x 到y解答：将原方程变形为：所以原不定方程的自然数解为：评注 这种含有xy的乘积的方程，一般先用一个未知数表示另一个未知数，然后根据整除性限定未知数范围。进而通过穷举和检验的方法求解。例7设x与y分别表示两个两位整数，并且满足方程100x+y=2xy，求x与y分别是多少？分析 先将原方程变形如下：解答要使是整数，就有2x-1是50的约数，只需列举50得两位奇约数进行试验.50的两位奇约数只有25，所以就有2x-1=25；解得：x=13评注 这种分母中含有未知数的方程，一般先根据整除性限定未知数范围。进而通过穷举和检验的方法求解。例8已知x与y是两个不同的两位质数，且为整数，问x和y各是多少？分析 初看本题不是解不定方程的问题，但可采用与上题类似的方法解决.由于x与y是不同的质数，所以x与x+y一定互质，这就说明x+y一定是198的约数，列举出198的所有约数：198，99，66，33，22，18，11，9，6，3，2，1.由已知条件，x+y还应满足下列条件：（1）x+y不是一位数；（2）x+y是偶数；（3）x+y是两个不同质数之和.由以上条件不难发现应有x+y=66，由此可得四组解（不计x与y的顺序）： 评注 这种表达式分子分母都含有未知数的方程，一般先用一个未知数表示另一个未知数，然后根据整除性限定未知数范围。进而通过穷举和检验的方法求解。例9百鸡问题：“鸡翁一，直钱五，鸡母一，直钱三，鸡雏三，直钱一。百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何？”。分析与解答设x，y，z分别表鸡翁、母、雏的个数，则此问题即为不定方程组 的非负整数解x，y，z，这是一个三元不定方程组问题。上面方程组的下式3上式得到14x+8y=200，即7x+4y=100则x=，可见x必须要能被4整除。且x故x可以取4,8,12，得到三组解如下：即翁、母、雏各有4，18，78个或者8，11，81个或者12，4，84个。评注 此题为典型的三元不定方程问题。需要检验的情况较多，需要逐个验证。求解方法也采用比较典型的消元法和试验法。作业题1篮子里有煮蛋、茶蛋和皮蛋共30个，价值24元，已知煮蛋每个0.6元，茶蛋每个1.00元，皮蛋每个1.20元。问：篮子中最多有几个皮蛋？解答设煮蛋、茶蛋和皮蛋各x, y, z个，则可以列方程组将(1)-(2)得到0.