向量概念案例分析.doc

第二讲参与本讲的嘉宾姓名单位职称、职务王尚志首都师范大学教授罗强苏州第五中学特级教师张思明北大附中特级教师（正文）张思明：各位老师大家好，欢迎老师们继续参加我们高中数学新课程第四模块的课题研讨。我们从今天的课开始，主要来讨论向量这部分的内容。我们把这个内容分成了三块：第一个我们要来讨论如何建立向量的概念；第二块我们要来讨论向量里最核心的基本定理；第三块我们要来讨论向量的运算。这里面我们也把三角函数恒等变形跟向量联系起来，把运算的能力加强作为一个讨论的重点。首先我们会做一个向量的起始课，看一看老师们如何结合物理背景来建立起向量的概念。我们给大家的一个课例展示，是西安高新一中的（杨天旭）老师为我们提供的一个课例。我们一起来看一下这个课例。杨天旭：下面我们先来观察两个实例，仔细观察一下这张图，图中有一队帆船在这里要进行比赛。他们要从A地向西北方向航行15海里到达B地。为了更好的突出A地和B地，这里我用另一张图来表现。这样的线条可以到达B地。现在有一支帆船是这样行进的，它也走了15海里。大家思考这只帆船为什么没到达B地？学生：因为他的方向不对。杨天旭：没有保证他的航向，航行方向不对。非常好！我们再看一个例子，这是来自于物理当中的一个例子。说现有一个放置在水平位置上的物体，在水平方向上，以5牛的力才能够把该物体拉动。现在F1表示5牛的力。现在有一个人，用与地面成30度角大小仍然是5牛的力来拉这个物体。请问他能把这个物体拉动吗？这个物理知识有一定的关系但并不难。同学：拉不动。因为那个方向的分力是小于5牛的，因此他是拉不动5牛的。杨天旭：很好事实上确实是拉不动，但是注意到这两个力的大小都是5牛，为什么产生的效果却不一样呢？ 同学：因为他的方向不同。杨天旭：非常好还是一个方向问题。下面同学们根据上面两例以及你们在生活当中见到的一些例子来谈一谈他们的共同性。知道的请举手。 学生：我觉得以上提到的两个量不仅有大小而且还有方向，如果方向不一样就算大小一样的话他们的作用效果也不一样。杨天旭：也就是说他们的共性在于刚才我们见到这两个例子当中的量是由两个因素决定的是吧。 学生：是的一个是大小一个是方向。杨天旭：缺一不可？ 学生：对！杨天旭：非常好！那么在现实生活中这样的量还有很多我们把这样的量，叫做既有大小又有方向的量。再回答一个问题，那么这样的量与我们以前见到的长度面积质量等量有什么关系有什么不同呢？ 学生：我觉得他们都有长度都有一定的大小，不同之处是今天学的这个量有方向。杨天旭：相同的地方就是他们都有大小。不同的地方就是今天学的这个量还有方向。而长度面积质量这些量是没有方向的这些量在物理当中叫做什么？我们今天看到这两个例子当中的量在物理当中叫什么那么今天所学的量之所以与以前的不同就在于他多了一个方向的因素我们把他称为有方向的量简称为向量。这就是本章要学的内容平面向量。今天我们来学习它的概念。我们通过实际例子已经清楚了，什么叫向量那么你会表示向量吗？你会表示一个向量吗？我们要研究它你首先应该能够表述它大家想想谁能回答我这个问题 学生：我觉得应该画出来。杨天旭：画出来什么学生：画出来一条有方向的线段，通过这个线段的长短来表示这个量的大小。通过它的方向来表示这个向量的方向。这样就可以把这个量的大小范围表示出来。杨天旭：很好！简单的说他说用一条线段就可以表示但是这样的线段和我们平常见到的线段不一样。它特别强调的是什么？方向。那么我们这样的向量叫做什么？有向线段。那么什么是有向线段？简单的说就是有方向的线段。我们再思考一下，在物理当中我们表示矢量的时候怎么表示啊？是不是也是用一条线段啊？那么这线段怎么画的？是一条带箭头的线段。我们把一条带箭头的线段叫做有向线段。根据刚才（王侧）同学谈到的。说这样的线段可以来表示一个向量。他也说了一些理由但是我觉得没有完全说清楚。所以我想把这个 题再问一下。为什么有向线段可以表示一个向量？学生：因为向量的定义是既有大小又有方向，然后有向线段就可以表示一个量的大小，然后又是有向的，就可以表示方向。杨天旭：也就是用这个有向线段的长度来表示向量的大小，然后用箭头所指的方向表示向量的方向。那么这就说明什么呢？可以用有向线段来表示而且说明了为什么可以用有向线段来表示向量。但是接下来我们用什么办法来计它呢？这个时候我们就要翻回来再研究一下有向线段。首先有向线段应该是一条线。那么一条线段就应该有两个端点；其次它是有方向的。假如现在方向指向B点的话，那么这个有向线段就画出来了。那么这个时候，我们用什么东西来记这个向量呢？可以把它记为他们。学生：不行。杨天旭：为什么不行？ 学生：没有方向。杨天旭：那应该怎么记呢？加一下，再回过来。这条有向线段的长度表示了这个向量的大小。那么这两条有向线段的长度又用什么来表示这里也有一个交代，用了哪个符号啊？说它表示的就是向量的大小或称长度。有些书上也叫向量的模。这都是新名词啊。那么向量的 模就是向量的大小，进一步通过直线表示出来，就是这条有向线段的长度。这个有向线段，既然能够表示向量？那么你如何来做一条？画一条行不行？大家思考一下，有人认为是这样画的。他先画出AB两点，然后把两点连起来。然后再随意的打上一个箭头，那么这种有向线段的衔接过程对吗？我们仔细反过来研究一下，因为有向线段是解释向量的，那么这样画行不行？不行那么按照它的发展规律应该是先画什么？所以这个点是有向线段的起点，这个点我们叫做有向线段的终点。先画起点，接下来再画什么？比如我在这里画了一个点C，然后定方向所以必须先确定方向。假如现在它是西北方向45度，就是西偏北或者北偏西45度。怎么定？应该画一条射线，轻一点画。这条射线指代的是这条向量的方向。因为这个时候它这个时候的什么量还没有定，向量。所以第二个应该是画出他的射线。这个射线指的是方向。第三步再根据这个向量的大小，在这条射线找一点，使得这一点到这点的距离就是能够表达。你的向量的大小这一步应该是什么?定终点.怎么定终点?是有大小的意思。最后一步应该是连线标箭头。 有向线段的画法步骤我们又有了，这样就可以用有向线段这样的图形来表示向量。但是如何写呢？假如不用图让你写，你写怎么写？有向文字。比如说我们现在这个地方就可以写成什么呢AB或CD还可以怎么写呢？书上回应还可以这样写。就是用更简单的字母 。几个字母？一个字母。小写的字母是吧。那么再看一下书。 书上说的刚才是印刷出来的还是手写出来的？手写出来的吧，小写字母。可是你看资料资料上是印刷出来的看资料的时候资料上还有一种说法，什么说法？你要看啊你不仅要自己动手还要看啊。学新东西那么还有一种写法是什么？是印刷体。这个时候仍然用小写的 字母但一律是黑体那么到这里学了用有向线段表示向量那么如何表示呢怎样用有向线段表示向量下面同学们做一个题下面我找几个同学到黑板上来把它的受力情况画一下试试看，大家看一下，大家看一看怎么样？学生：我觉得他画的满好的，但是我觉得他既然已经画出了标度就不用把N=10写上去了。杨天旭：但是不管怎样说画的非常好，在这里比我画的都好。我也画了一个，那么和这个比较之下有什么区别？我画的为什么没有（张欣）同学画的好？首先都有标物吧，对；其次这些地方都是相似的，这也有起点这里是用F，他同时用了字母什么AB，他表明了这里的有向线段是OA。表示重力的有向线段是什么OB，我们接下来探究一下这个问题同学们看一下这个力叫什么？那么他们的合力呢？学生：0杨天旭：0代表什么老师说了没有？没有提吧。我告诉大家在数学当中这个地方有一个说法。我们遇到这样的情况，这两个力的合力为0的时候，这个0在数学上就叫做0向量。怎么样了呢？是不是大小抵消了啊？大小抵消说明了什么？大小为0。那么大小也可以叫做长度，所以0向量指的是长度为0的向量。注意写法，这是谁啊0。上面画一个箭头，如果是印刷体怎么写，那么我们再继续看，另外一个问题那么在物理当中把这个叫做什么？学生：标度。杨天旭：事实上这还有一个叫法我们把这个叫做单位长度。那么这个标度是用来干什么的呢？度量这个向量大小的，那么这样一来，我们再把它跟单位长度联系起来考虑的话我们又想到一个东西。什么？单位向量。如果这个是单位长度的话，我给这里标上相应的方向它是不是就是一个向量了。那么这个向量能够来度量OA向量吗？可以吗？显然不行。为什么这个向量不能度量OA向量？我们一定要突出这一点。因为方向不对，但是这个向量的长度呢？是用来度量这个向量的大小。那么这个必须要搞清楚，什么样的单位向量可以来度量相应向量。也就是保证它的长度要为1。同时这个向量的方向要与你所度量的向量方向一致。这里实际上有一个已有的向量，为了进一步弄清单位向量。现在有一个向量，如何找到它的单位向量？找一个单位长度，然后再找一个单位向量，那么现在这个单位向量，是不是原向量的单位向量呢？不止一个，那怎么做调整，看这个向量，截取一个单位长，通过单位长度我们学习了单位向量，单位长度的意义何在？学生：我觉得就是表示向量的大小。杨天旭：我们学的单位向量的意义何在？学生：用单位向量可以知道原来向量的方向。杨天旭：就是可以来度量这个向量。首先你的这个单位向量和要度量的这个向量的方向是一致的，然后它的长度又是一个单位长度的，然后就可以度量这个向量的长度。下面大家做一下，选择适当的比例尺，用有向线段表示向量，我们一起来做。首先怎么办？设定起点在平面上取一点；接下来呢？这辆汽车是不是朝着西北方向行使，就我们这个来说应该是黑板的左上角；下一步是不是要确定重点度量它的长度？那能不能像刚上课时随便找一个？不行了，那怎么样？这个它的长是多少？15千米。那么现在我们应该选择一个什么样的长度做单位长度呢？那就是你在黑板上可以画下的。如果我现在选择一个以10米长的东西作为单位长度行不行？显然不行。所以在这里我选择的是1厘米。那现在要说什么呢？这实质上长是1厘米，那么按照一定的比例尺。如果我选1米的一厘米表示15千米。我选了一个1：50000。那么1厘米代表多少？学生：500杨天旭：那这个好琢磨了1厘米代表500米我现在画多长？30厘米。这是多少个10厘米？那好我画3个。同学们思考一下，如果现在让我们表示的不是长度而是上一道题，就是水平方向30度5牛顿的力。这个时候单位就不是长度了，这个时候如何确定单位长度，这时候就可以任取一点为什么？因为本身大小不是用长度来的，是用牛。那我们就可以规定1厘米代表多少呢？代表1牛或者是两牛都可以。那么取一点A然后按照1：50000比例尺得出1厘米代表500米，那我们来归纳一下用有向线段表示向量的时候有些什么样的有规律的步骤呢？请你来说一下。学生：可以先选取一个基本点，再选取一个方向，然后在选完方向以后可以选择一个单位长度，单位向量，然后再表示出这个向量的大小然后从而这个有向线段可以表示出这个向量的大小。杨天旭：第一步是？学生：先取一点然后表示方向，然后表示方向画一条射线。老师：第二步？学生：第二步表示它的一个长度？对先定单位向量的长度，然后单位向量再表示出有向线段，物理上叫标度，然后第三步表示出有向线段的长度。杨天旭：差一点，要规定一个单位长度的实际意义，那么现在这个例子的话本身就是长度，所以我们选择一个比例尺。假如现在这个向量的大小不是长度，而是其他的量怎么办？学生：其他量就可以。杨天旭:比如说大小是5牛?学生:就可以通过单位长度表示向量.就是仍然定一个1厘米长的线段,然后说一下这个1厘米长度的线段。杨天旭：这里有一个对应思想，也就是说一定要有一个对应思想。要对应起来，建立对应关系。如果是长度的话，就用比例尺如果长度可以在作业本上画出来呢？直接用实际的画1：1就够了。如果画不出来再确定比例尺。如果本身大小不是以长度单位出现的话就采用定义思想。如图在矩形ABCD中，向量AB与DC，向量AC与BD又有什么关系？学生：AB等于DC。因为是由A点到B但然后由D点到C点。它的方向是相同的。杨天旭：长度也相同是吧？方向也相同。你就认为这样的两个向量就是相等的。我是这么认为的，这个问题我们下一节课再谈但是你答对了。它是方向也相同大小也相同。请坐。你说一下向量AC与BD呢？学生：向量AC和BD大小相等，方向不相同杨天旭：是不一定相同还是一定不同啊？学生：方向一定不同但是大小相同。杨天旭：再看，用有向线段表示在足够高的地方做自由落体运动的物体，在1秒末的速度解决这个问题要先做一个什么工作呢？要把什么算出来速度先算出来。多少？10米/秒。那么怎么用有向线段表示呢？第一，在平面上找一点，这个点用哪一字母随便，用V也可以用A也可以。假定用A；第二步在竖直朝下的方向画一条射线；第三步确定单位长度，那么怎么确定单位长度呢？那么单位长度是多少？1厘米。但是这个题有一点这个长度和这个向量本身的度量单位是不一样的。那么这个速度单位是什么？米/秒。因此我们可以怎么做对应的思想，怎么说？用1厘米的长度来表示每秒两米的速度，那你也可以定义什么？每秒一米也可以定位为每秒四米。是不是都可以啊？一旦人家定了你就不能改了，这样再把终点找到再连个箭头就完了，第三个思考表示某个确定向量的有向线段的起点可以变化吗？为什么？学生：我觉得它是可以变换的。杨天旭：为什么?学生:因为确定向量有两个因素:第一个是方向,第二个是大小.而这两个因素里不包括它的点,因此无论它的起点在什么地方只要它的方向一样也就是方向已经定了,它的方向一样而它的长度大小又是一样的那么这几个向量我觉得应该是一样的.因此它的起点是可以变换的。杨天旭：回答的非常好！因为从前面我们的定义可以看出，我们在把具体的例子，抽象成数学概念向量的时候。我们只提到了它的方向和大小把这个起点A抽象出来没有？没有。还有这个地方作用点O提炼出来没有？抽象出来没有？都没有。所以数学中的向量，它的起点位置可以变化但是注意到这里还有几个数学思想。提醒大家注意一下，我们这个向量是用什么表示出来的？有向线段。有向线段是什么？那么这是什么思想数形结合的思想。还有一点，当我们用有向线段表示向量的时候，而这个向量作为一个实际背景，它的大小并不是长度的时候，我们这个时候如何规定单位向量？采用了什么思想？对应的思想。此外我还想讲两点，通过学习，我们感觉到向量与客观现实密不可分就连最近我们国家的嫦娥一号升空探月都与我们这里的向量有瓜葛。要把握什么？学生：方向。杨天旭：不能偏离。这充分的说明，要想为我们祖国做出更大的贡献必须要搞社会主义。我还想说第二点我们在今天的学习当中，还反映到了一点，好象在上物理课牵扯到很多物理方面的内容。这充分的说明了学科之间的相互依存，相互作用，相互推进。其实这个现象自古就有。比如说我举个例子，牛顿发现微积分创建微积分就是来自于物理中的一些现象。同时他能够创建微积分也来自于数学家也叫几何学家莱布尼兹的重大贡献这是分不开的。由此我就想到学科之间可以互相作用，互相依存，互相交流，互相推进，那么我们同学们之间在生活当中在学习当中应该更多的交流，更多的沟通，更多的合作这样才能有长足的发展。张思明：我们看完了这个课例按照惯例我们还是先请罗强老师为我们做一个分析。罗强：杨天旭老师的这堂课是向量的概念是整个向量这一章的起始课。我觉得像这样的一个起始课，首先要让学生打破原有的认识建立一种新的认识，是什么呢？就是我们的研究对象发生了一个变化，原来我们数学研究对象一种研究的是数，一种研究的是型，当时研究的是数的话是一个数量。而现在我们将要研究的是既有大小又有方向的一种量，这是我们的一个全新的研究对象，但是这个全新的研究对象。在我们前面学习中间已经有所接触，同时这样一个研究对象。在现实生活中间也有很丰富的背景所以杨老师的这一节课，在这两方面我觉得做的非常成功他在概念导入的时候，一个是以帆船作为实例来引入那体现了这个我们的研究对象确实是源自于生活的需要，第二个就是以物理中的一种实例物理的受力分析等等来引入，这样的话也就是让学生找到了我们学习新的向量知识时的一个起点，也为我们后面学生的学习做了大量背景的铺垫和准备。同时杨老师也给有关向量起始课有关向量的一些基本概念，进行了一些讲解，讲的也非常清楚到位。从杨老师的课里我们还会提出更新的问题。当然包括向量刚才罗校长分析的非常清楚，是一个新的概念我们新课程培训中我们老强调一个词，要整体把握课程。面对一个新的内容应该从哪些角度整体把握？为什么我们强调在向量引入的时候要考虑它的背景？我们特别想请王老师帮我们分析一下。王尚志：我们整体把握必修四的课程里头和我们在前期的整体把握高中课程里都反复强调了向量的重要性。向量进入高中在某种意义上，改变了高中数学内容的结构就像刚才罗校长说的增加了我们新的研究对象。所以我们怎么样来认识向量的作用和价值我想我们已经多次进行了强调。那么我记得我们曾经强调向量首先是一个代数的研究对象，可以进行丰富的运算；第二它是一个几何的研究对于它可以帮助我们刻划最重要最基本的几何图形点线面，将来还可以帮助我们刻划曲线曲面。另外在研究空间图形的基本度量关系中发挥了重要的作用我们也做了系统的介绍这是作为一个几何的研究对象；第三件事儿那么既是代数的又是几何的那么向量理所当然应该成为我们通常所说的数形结合的桥梁也就是说如果你不能既从像代数又从几何认识向量你就无法真正的掌握或者研究这样一个数学的对象；第四个重要方面也是今天可能我们要强调的一个方面就是向量有着丰富的重要的物理背景，可能这也是杨老师这节课给我们带来的一个重要的启示。就是我觉得数学的学习应该大气一点。应该不仅关注到数学本身，还应该关注到数学和其他学科和日常生活的联系。我们才能真正的认识数学的价值，才能真正的理解这些数学的实质，那么；第五个问题就是向量给我们提供一个重要的模型，可能老师需要知道这一点我就不细致的说。 我想思明提出这样一个问题向量有着丰富的物理背景，那么这个物理背景是不是仅仅是为了引入向量的概念呢？还是向量的物理背景将会贯穿向量学习的自始至终我觉得我们建议的是后者。我想我们来梳理一下在向量的学习中首先要认识向量，认识向量作为一个有向线段基本特点就像刚才罗校长说的它既有大小又有方向。在物理上既有大小又有方向的量应该是力学最基本的研究对象，就是我们通常说的矢量。因为在力学中如果做这样一个不严格的分类我的研究对象是两种：一个是标量只有大小没有方向的量；一个是矢量，不仅有大小而且有方向的量，那么这样的量在我们的学习过程中是贯穿在数学学习始终的。比如说最简单的是速度是路程，然后进而就是力等等那么这些量几乎伴随着我们的学习，比如说我们通常所说的路速度时间，这样的一个模型，几乎我们可以认为数学发展到哪儿它就会伴随到哪儿。那么对这样的一些向量的认识如果脱离了这些背景，那我们就很难抓住他们的实质。 那么进而我们就要讲向量的运算，向量的运算是什么呢？无非是向量的加法，向量的数乘，向量的数量积。这是我们高中需要学习的主要的那么我们都非常清楚向量的加法，它的背景是速度的合成，是力的合成和力的分解，速度的分解。这些都是我们所谓向量加法的物理背景而数乘运算又是力的拉伸或者压缩。在同一个方向的拉伸或者压缩或者在相反方向的拉伸和压缩，那么我们再说我们通常所说的数量积。那就是力在运动方向上所做的功，这是一个数量做的功可正可负。什么时候正呢？如