高中数学教学设计案例 二倍角的正弦、余弦、正切公式.doc

你在教学过程中是如何充分利用教材的，举一个案例说明。高中数学教学设计案例二倍角的正弦、余弦、正切公式衡阳陈宝光1、教学任务分析本课时的任务是通过两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系，使学生初步理解公式的结构及其功能，并为三角变换打下基础。从教科书的编写看，有如下特点：（1） 将三个和角公式中的角、进行特殊变换（令=）得到2，这样直接作用就是增强学生对角的变换的直接体会，强调对二倍角的理解与应用，蕴含着对学生进行换元思想的教育，更重要的是为后面讲三角变换打下基础。（2） 突出建立二倍角公式过程的探索性。教科书努力避免直接呈现逻辑推理过程，而是鼓励学生独立探索，这就要求教师在教学中既要提出能引起学生思维的问题，不能把结果过早地告诉学生，又要组织学生探索，并对学生的探索活动作出适当的引导，把握其中的度是顺利完成教学任务的关键。（3） 例1.本例是直接应用二倍角公式解题，目的是为了让学生初步熟悉二倍角的应用，理解二倍角的相对性。例2是本节课本上最后一个例题，结合三角形，具有一定的综合性,同时也是和与差公式的应用问题.两个例题选取合适，能够达到本课目的，不再另外增加例题，只附加两个变式练习。2、教学重点难点教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，通过探索得到二倍角正弦、余弦和正切公式；教学难点：二倍角的理解及其灵活运用.3、教学基本流程4、教学情景设计教学过程1导入新课(复习导入)请学生回忆上两节共同探讨的和角公式、差角公式，并回忆这组公式的来龙去脉，然后让学生默写这六个公式.教师引导学生：和角公式与差角公式是可以互相化归的.当两角相等时,两角之和便为此角的二倍,那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢?今天,我们进一步探讨一下二倍角的问题，请同学们思考一下，应解决哪些问题呢？由此展开新课.提出问题还记得和角的正弦、余弦、正切公式吗？(请学生默写出来，并由一名学生到黑板默写)你写的这三个公式中角、会有特殊关系=吗？此时公式变成什么形式？在得到的C2公式中，还有其他表示形式吗？细心观察二倍角公式结构，有什么特征呢？能看出公式中角的含义吗？思考过公式成立的条件吗？让学生填空：老师随机给出等号一边括号内的角，学生回答等号另一边括号内的角，稍后两人为一组，做填数游戏：sin( )=2sin( )cos( )，cos( )=cos2( )-sin2( ).思考过公式的逆用吗？想一想C2还有哪些变形？请思考以下问题：sin2=2sin吗？cos2=2cos吗？tan2=2tan？师生活动：问题,学生默写完后，教师打出课件，然后引导学生观察正弦、余弦的和角公式，提醒学生注意公式中的,，既然可以是任意角，怎么任意的？你会有些什么样的奇妙想法呢？并鼓励学生大胆试一试.如果学生想到,会有相等这个特殊情况，教师就此进入下一个问题，如果学生没想到这种特殊情况，教师适当点拨进入问题，然后找一名学生到黑板进行简化，其他学生在自己的座位上简化、教师再与学生一起集体订正黑板的书写，最后学生都不难得出以下式子，鼓励学生尝试一下，对得出的结论给出解释.这个过程教师要舍得花时间，充分地让学生去思考、去探究，并初步地感受二倍角的意义.同时开拓学生的思维空间，为学生将来遇到的3或3等角的探究附设类比联想的源泉.sin(+)=sincos+cossinsin2=2sincos（S2）;cos(+)=coscos-sinsincos2=cos2-sin2(C2);tan(+)=这时教师适时地向学生指出，我们把这三个公式分别叫做二倍角的正弦，余弦，正切公式，并指导学生阅读教科书，确切明了二倍角的含义，以后的“倍角”专指“二倍角”、教师适时提出问题，点拨学生结合sin2+cos2=1思考,因此二倍角的余弦公式又可表示为以下右表中的公式. 这时教师点出，这些公式都叫做倍角公式（用多媒体演示）.倍角公式给出了的三角函数与2的三角函数之间的关系. 问题,教师指导学生，这组公式用途很广，并与学生一起观察公式的特征与记忆，首先公式左边角是右边角的2倍；左边是2的三角函数的一次式，右边是的三角函数的二次式，即左到右升幂缩角，右到左降幂扩角、二倍角的正弦是单项式，余弦是多项式，正切是分式. 问题,因为还没有应用，对公式中的含义学生可能还理解不到位，教师要引导学生观察思考并初步感性认识到：()这里的“倍角”专指“二倍角”,遇到“三倍角”等名词时,“三”字等不可省去；()通过二倍角公式,可以用单角的三角函数表示二倍角的三角函数；()二倍角公式是两角和的三角函数公式的特殊情况；()公式(S2),(C2)中的角没有限制，都是R.但公式(T2)需在k+和k+(kZ)时才成立，这一条件限制要引起学生的注意.但是当=k+,kZ时,虽然tan不存在,此时不能用此公式，但tan2是存在的,故可改用诱导公式. 问题,填空是为了让学生明了二倍角的相对性，即二倍角公式不仅限于2是的二倍的形式,其他如4是2的二倍,是的二倍,3是的二倍,是的二倍，-是-的二倍等,所有这些都可以应用二倍角公式.例如:sin=2sincos,cos=cos2-sin2等等. 问题,本组公式的灵活运用还在于它的逆用以及它的变形用，这点教师更要提醒学生引起足够的注意.如:sin3cos3=sin6，4sincos=2(2sincos)=2sin,=tan80，cos22-sin22=cos4，tan2=2tan(1-tan2)等等. 问题,一般情况下:sin22sin,cos22cos,tan22tan.若sin2=2sin,则2sincos=2sin,即sin=0或cos=1,此时=k(kZ).若cos2=2cos,则2cos2-2cos-1=0,即cos=(cos=舍去).若tan2=2tan,则=2tan,tan=0,即=k(kZ).解答：（略）2应用示例例1 已知sin2=,求sin4,cos4,tan4的值. 活动：教师引导学生分析题目中角的关系，观察所给条件与结论的结构，注意二倍角公式的选用，领悟“倍角”是相对的这一换元思想.让学生体会“倍”的深刻含义，它是描述两个数量之间关系的.本题中的已知条件给出了2的正弦值.由于4是2的二倍角,因此可以考虑用倍角公式.本例是直接应用二倍角公式解题，目的是为了让学生初步熟悉二倍角的应用，理解二倍角的相对性，教师大胆放手，可让学生自己独立探究完成.解:由,得2.又sin2=,cos2=.于是sin4=sin2(2)=2sin2cos2=2()=;cos4=cos2(2)=1-2sin22=1-2()2=;tan4=(-)=. 点评：学生由问题中条件与结论的结构不难想象出解法，但要提醒学生注意,在解题时注意优化问题的解答过程，使问题的解答简捷、巧妙、规范，并达到熟练掌握的程度.本节公式的基本应用是高考的热点.变式训练 1.不查表,求值:sin15+cos15.解:原式= 点评：本题在两角和与差的学习中已经解决过，现用二倍角公式给出另外的解法，让学生体会它们之间的联系，体会数学变化的魅力.例2 在ABC中,cosA=,tanB=2,求tan(2A+2B)的值. 活动：这是本节课本上最后一个例题，结合三角形，具有一定的综合性,同时也是和与差公式的应用问题.教师可引导学生注意在三角形的背景下研究问题,会带来一些隐含的条件,如A+B+C=,0A,0B,0C,就是其中的一个隐含条件.可先让学生讨论探究，教师适时点拨.学生探究解法时教师进一步启发学生思考由条件到结果的函数及角的联系.由于对2A+2B与A,B之间关系的看法不同会产生不同的解题思路,所以学生会产生不同的解法，不过它们都是对倍角公式、和角公式的联合运用，本质上没有区别.不论学生的解答正确与否，教师都不要直接干预.在学生自己尝试解决问题后,教师可与学生一起比较各种不同的解法，并引导学生进行解题方法的归纳总结.基础较好的班级还可以把求tan(2A+2B)的值改为求tan2C的值.解：方法一:在ABC中,由cosA=,0A,得sinA=所以tanA=,tan2A=又tanB=2,所以tan2B=于是tan(2A+2B)=方法二:在ABC中,由cosA=,0A,得sinA=所以tanA=.又tanB=2,所以tan(A+B)=于是tan(2A+2B)=tan2(A+B)= 点评：以上两种方法都是对倍角公式、和角公式的联合运用,本质上没有区别,其目的是为了鼓励学生用不同的思路去思考,以拓展学生的视野.变式训练化简：解：原式训练 p135 1、5。3课题小结1.先由学生回顾本节课都学到了什么？有哪些收获？对前面学过的两角和公式有什么新的认识？对三角函数式子的变化有什么新的认识？