解析法巧解中考数学压轴题.doc

解析法巧解中考压轴题 在平面几何题中，适当的建立直角坐标系，利用代数的方法解决几何问题，即解析法，有时会显得更简洁高效现以近年中考压轴题为例，分析说明解析法之妙 例1 （2013泰州）如图1，在矩形ABCD中，点P在边CD上，且与C、D不重合，过点A作AP的垂线与CB的延长线相交于点Q，连结PQ，M为PQ中点 若AD10，ABa，DP8，随着a的大小的变化，点M的位置也在变化当点M落在矩形ABCD外部时，求a的取值范围 分析 本题将矩形、三角形、动点、参数相结合，考察学生利用相似解决问题的综合能力，难度较大，区分度高，按照参考答案给出的解题思路，如图2所示，当点M落在矩形ABCD外部时，须满足的条件是“BEMN”分别求出BE与MN的表达式，列不等式求解，即可求出a的取值范围 由ADPABQ，解得QBa 由QBEQCP，同样由比例关系得出BE 又因为MN为QCP的中位线，得出 MNPC（a8） 再由BEMN，即 得出a 12.5 当点M落在矩形ABCD外部时，a的取值范围为a12.5 这种解法不仅要想到添加辅助线，还两次运用了相似比，计算量大，易出错比较稳妥而简洁的做法是将图形放进直角坐标系中，利用数形结合的方法来解决此类问题一如何建立合适、恰当的坐标系呢？通常需要考虑以下两点： 第一，让尽可能多的点落在直角坐标系上，这些点的坐标含有数字O，可以起到简化运算的功效； 第二，考虑图形的对称性，同样，也能起到简化运算的作用解答 如图3所示，建立以B点为原点，BC方向为x轴正半轴，BA方向为y轴正半轴的直角坐标系 则A(0，a)，P(0，a8) 直线AP的斜率为kAP， 直线AQ为yxa， 直线AQ与x轴交于点Q， Q(a，0)又M为线段QP上的中点，M（5a，4）因为M点落在矩形ABCD的外部，所以M点在第二象限，解得a12.5 这样，通过建立合适的直角坐标系，使图形上各点得到确定，让问题变得清晰明了，避免了运用相似而产生的复杂计算 例2（2014连云港）某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB8 问题思考： 如图4，点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC、BPEF(1)分别连结AD、DF、AF，AF交DP于点K，当点P运动时，在APK、ADK、DFK中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由 问题拓展： (2)如图5，在“问题思考”中，若点M、N是线段AB上的两点，且AMBN1，点G、H分别是边CD、EF的中点，请写出点P从M到N的运动过程中，GH的中点D所经过的路径的长 (3)在第二问的情况下，求OMOB的最小值 分析 这是一道关于正方形的综合题，难度较大，解题难点在于分析动点的运动轨迹，需要很好的空间想象能力和作图分析能力；此外本题还综合考查了二次函数、整式的运算、四边形、中位线、相似、轴对称与勾股定理等众多知识点但是，如果我们建立直角坐标系，用解析几何的方法就可以避开相似，省去很多不必要的麻烦在第(1)问根据点的坐标，求得PKa，进而求得DKPDPK，然后根据面积公式即可求得，第(2)(3)问涉及点的运动轨迹，GH中点O的运动路径是与AB平行且距离为3的线段XY上，如图6所示；然后利用轴对称的性质，求出OMOB的最小值解答 (1)如图6所示，以A点为原点，AB方向为x轴正半轴，AC方向为y轴正半轴，建立直角坐标系设APa 又P在M到N之间运动， 1a7 a经过的路径是一条与AB平行的线段，长为3 (3)如图7所示，作点M关于直线XY的对称点M，连结BM 由轴对称性质可知，M(1，8)， 由两点之间线段最短可知，此时OMOBBM最小