四边形探究题.doc

1、 已知线段AC=8、BD=6已知线段AC垂直于线段BD,图1、图2、图3中的四边形ABCD的面积分别为S1、S2和S3，则S1= ，S2= ，S3= ；DCBAO26ODCBA44ODCBA53231如图4，对于线段AC和与线段BD垂直相交（垂足O不与点A，C，B，D重合）的任意四边形，请你就四边形ABCD的面积大小提出猜想，并证明你的猜想；ODCBA4猜想：四边形ABCD的面积等于线段AC和BD乘积的一半。当线段BD与AC（或CA）的延长线垂直相交时，猜想顺次连接点A，B，C，D，A所围成的封闭图形的面积是多少？2、 如图5点C是线段AB上一点，ACM，CBN是等边三角形。OANABAMACAAA5 求证：AN=BM F E 你还能得到哪些结论？（至少写出2个来） 如图6，若将ACM绕点C，按逆时针方向旋转180，使A落在BC的延长线上，结论“AN=BM”是否还成立？为什么？请证明。CNABMMA64如若点C在线段AB的上方，其他条件不变结论“AN=BM”是否还成立？请画出符合要求的图形，说明成立与否即可。3、 如图7已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，过点A作AGEB，垂足为G，AG交BD于点F.求证：OE=OFCBAD7 OF E G对于上述命题，若点E在AC的延长线上AGEB，交EB的延长线于点G，AG的延长线交DB的延长线于点F，其他条件不变，如图8则结论“OE=OF”是否还成立？如果成立，请给予证明；若不成立，说明理由。EFGDCBAO84、 如图9在正方形ABCD中，三角板的直角顶点M在AB的中点处，三角板的另一个顶点在D处，P是AD边上的中点，一条直角边交CBE的平分线于NP9MBADCEN试判断线段MD与MN的关系;DNMBACE若将上述条件中的“M在AB的中点处”改为“M是AB上或AB延长线上的任意一点”，其余条件不变，试问（1）中的结论还成立吗？如果成立，请给予证明；若不成立，说明理由。（备用2个图）NMBADCE5、 在ABC中，AC=BC，C=90将一块等腰直角三角尺的直角顶点放在斜边AB的中点P处，绕点P旋转。（1） 如图1，三角尺的两条直角边分别交边AC、CB于D、E两点，观察线段PD和PE之间有怎样的大小关系？说明你的理由。PBACDECBAPDE12（2） 如图2，三角尺的两条直角边分别交射线AC、射线CB于D、E两点，（1）中的结论还成立吗？说明你的理由。6、22（本小题满分8分）图121ABCD探索在如图121至图123中，ABC的面积为a （1）如图121, 延长ABC的边BC到点D，使CD=BC，连结DA若ACD的面积为S1，则S1=_（用含a的代数式表示）；ABCDE图122（2）如图122，延长ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连结DE若DEC的面积为S2，则S2=_（用含a的代数式表示），并写出理由；DEABCF图123（3）在图122的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连结FD， FE，得到DEF（如图123）若阴影部分的面积为S3，则S3=_（用含a的代数式表示）发现图124DEABCFHMG像上面那样，将ABC各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到DEF（如图123），此时，我们称ABC向外扩展了一次可以发现，扩展一次后得到的DEF的面积是原来ABC面积的_倍应用去年在面积为10m2的ABC空地上栽种了某种花卉今年准备扩大种植规模，把ABC向外进行两次扩展，第一次由ABC扩展成DEF，第二次由DEF扩展成MGH（如图124）求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少m2？23如图131，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转（1）如图132，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想；图131A( G )B( E )COD( F )图132EABDGFOMNC（2）若三角尺GEF旋转到如图133所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由图133ABDGEFOMNC23在图14-114-5中，正方形ABCD的边长为a，等腰直角三角形FAE的斜边AE2b，且边AD和AE在同一直线上操作示例当2ba时，F图14-1ABCEDHG（2ba）如图14-1，在BA上选取点G，使BGb，连结FG和CG，裁掉FAG和CGB并分别拼接到FEH和CHD的位置构成四边形FGCH思考发现小明在操作后发现：该剪拼方法就是先将FAG绕点F逆时针旋转90到FEH的位置，易知EH与AD在同一直线上连结CH，由剪拼方法可得DH=BG，故CHDCGB，从而又可将CGB绕点C顺时针旋转90到CHD的位置这样，对于剪拼得到的四边形FGCH（如图14-1），过点F作FMAE于点M（图略），利用SAS公理可判断HFMCHD，易得FH=HC=GC=FG，FHC=90进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH是正方形实践探究（1）正方形FGCH的面积是 ；（用含a，b的式子表示）图14-3FABCDE图14-4FABCDE图14-2FABC(E)D（2ba）（a2b2a）（ba）（2）类比图14-1的剪拼方法，请你就图14-2图14-4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图F图14-5ABCED（ba）联想拓展小明通过探究后发现：当ba时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G的位置在BA方向上随着b的增大不断上移当ba时，如图14-5的图形能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图中画出剪拼的示意图；若不能，简要说明理由24（本小题满分10分）ABCEFG图15-2DABCFG图15-1在ABC中，AB=AC，CGBA交BA的延长线于点G一等腰直角三角尺按如图15-1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B（1）在图15-1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；（2）当三角尺沿AC方向平移到图15-2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DEBA于点E此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DEDF与CG之间满足ABCDEFG图15-3的数量关系，然后证明你的猜想；（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图15-3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立？（不用说明理由）26操作示例ADFGC（H）ENBM图112 图111对于边长为a的两个正方形ABCD和EFGH，按图111所示的方式摆放，在沿虚线BD，EG剪开后，可以按图中所示的移动方式拼接为图111中的四边形BNED。从拼接的过程容易得到结论：四边形BNED是正方形；S正方形ABCDS正方形EFGHS正方形BNED。实践与探究（1）对于边长分别为a，b（ab）的两个正方形ABCD和EFGH，按图112所示的方式摆放，连接DE，过点D作DMDE，交AB于点M，过点M作MNDM，过点E作ENDE，MN与EN相交于点N。证明四边形MNED是正方形，并用含a，b的代数式表示正方形MNED的面积；在图112中，将正方形ABCD和正方形EFGH沿虚线剪开后，能够拼接为正方形MNED，请简略说明你的拼接方法（类比图111，用数字表示对应的图形）。（2）对于n（n是大于2的自然数）个任意的正方形，能否通过若干次拼接，将其拼接成为一个正方形？请简要说明你的理由。8、（2007北京）在四边形ABCD中，对角线AC平分DAB（1） 如图1、当DAB=120，B=D=90时，求证：AB+AD=AC（2） 如图（2）当DAB=120，B与D互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明。ABCD图1ABCD图2ACD图3B（3） 如图（3）当DAB=90，B与D互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系？写出你的猜想。9、（2007唐山）如图所示，四边形ABCD和A1B1C1D1都是边长为2cm的正方形，AC与BD交于点O，将正方形A1B1C1O绕点O按逆时针旋转，其中阴影部分分为两个正方形的重叠部分。（1）当点O、A、A1在同一条直线上时（如图1），阴影部分面积为 （2）当O A1AB时（如图2），阴影部分面积为 ；（3）当O A1与AB不垂直相交时（如图3），请你猜想阴影部分的面积时多少？证明你的结论；（4）根据以上信息，你能得到什么结论。ADBCA1B1C1O图1ADBCA1C1图3OB1EFADBCA11B1C1O图2EFB110、如图14-1，的边在直线上，且；的边也在直线上，边与边重合，且（1）在图14-1中，请你通过观察、测量，猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系；（2）将沿直线向左平移到图14-2的位置时，交于点，连结，猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将沿直线向左平移到图14-3的位置时，的延长线交的延长线于点，连结，你认为（2）中所猜想的与的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由A（E）BC（F）PlllAABBQPEFFCQ图14-1图14-2图14-3EPC11如图所示，在ABC中，ACB=90，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且AF=CE （1）求证：四边形ACEF是平行四边形； （2）当B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请证明你的结论 （3）四边形ACEF有可能是正方形吗？为什么？12、（2007淄博）已知：如图，在ABC中，AB=AC，ADBC，垂足为点D，AN是ABC外角CAM的平分线，CEAN，垂足为点E，ABCDMNE(第8题)（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明图8-2图8-113、如图8-1，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合)，PEBC于点E，PFCD于点F.(1) 求证：BP=DP；(2) 如图8-2，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明；(3) 试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论 .14如图12.14，在ABC中，点O是AC边上的一动点， 过点O作直线MN/BC,设MN交BCA的平分线于点E，交BCA的外角平分线于点F（1）说明EOFO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？AEBCFONMD图12.14并说明你的结论15、已知，如图所示，正方形ABCD，E、M、F、N分别是AD、AB、BC、CD上的点，若EFMN，求证：EF=MN.16（本题满分6分）如图，在中，分别为上的点（不与重合），且将沿着直线向下翻折，得到，再展开（1）请证明四边形为菱形；AEFCB（2）当等腰满足什么条件时，按上述方法操作，四边形将变成正方形？（只写结果，不作证明）17如图在线段AE的同侧作正方形ABCD和正方形BEFG(BEAB)，连结EG并延长交DC于M，过M作MNAB垂足为N，MN交BD于P (1)找出图中对全等三角形并加以证明(正方形的对角线分正方形得到的两个三角形除外)；(2)设正方形ABCD的边长为1，按照题设方法作出的四边形BGMP若是菱形，求BE的长18（本题满分12分）如图11，在中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于，且，连结（1）求证：是的中点（6分）（2）如果，试判断四边形的形状，并证明你的结论（6分）图11图919（本题满分9分）已知：如图9，在中，垂足为点，是外角的平分线，垂足为点（1）求证：四边形为矩形；（2）当满足什么条件时，四边形是一个正方形？并给出证明20（河北2009）图14-1AHC(M)DEBFG(N)G图14-2AHCDEBFNMAHCDE图14-3BFGMN在图14-1至图14-3中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点四边形BCGF和CDHN都是正方形AE的中点是M（1）如图14-1，点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合，求证：FM = MH，FMMH；（2）将图14-1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图14-2，求证：FMH是等腰直角三角形；（3）将图14-2中的CE缩短到图14-3的情况，FMH还是等腰直角三角形吗？（不必说明理由）图15-2ADOBC21MN图15-1ADBMN12图15-3ADOBC21MNO21（河北2010）在图15-1至图15-3中，直线MN与线段AB相交于点O，1=2=45（1）如图15-1，若AO=OB，请写出AO与BD 的数量关系和位置关系；（2）将图15-1中的MN绕点O顺时针旋转得到图15-2，