基于排队论的眼科病床合理安排的数学模型.pdf

2 0 1 0 年1 月 第l 期 浙江教育学 院学报 J O U R N A LO FZ H E J I A N CE D U C A T I O NI N S T I T U T E J a n u a r y2 0 1 0 N 0 I 基于排队论的眼科病床合理安排的数学模型 汪琴 岑璐局 张渊娴 马新生 浙江教育学院理工学院 浙江杭州3 1 0 0 1 2 摘要 以排队论理论为基础 建立了医院眼科病人排队系统的数学模型 首 先 建立了对医院病床安排系统进行综合评价的指标体系 并对现有F C F S 规则和改 进规则进行了评价 然后 建立了区间估计模型 使得病人在门诊时就被告知大致入 住时间 最后 建立了多指标床位分配模型 得出了床位的最佳设置值 关键词 评价指标 排队论 区间估计 床位分配 中图分类号 0 2 2 6 0 2 1 2 1文献标识码 A 文章编号 1 6 7 l 一6 5 7 4 2 0 1 0 0 1 0 0 7 9 1 0 l 引言 对医院病床进行合理安排 有效减少病人的排队等待时间 提高医疗资源的使用效率 具 有重要的理论和实际意义 文献 1 中提出了某医院眼科病床合理安排的评价和优化问题 该 眼科门诊每天开放 住院部共有病床7 9 张 眼科手术主要分四大类 白内障 视网膜疾病 青 光眼和外伤 外伤疾病属于急症 住院后第二天便安排手术 其他病人采用F C F S F i r s tc o m e F i r s ts e r v e 规则安排住院 医院提供了5 0 天3 4 9 名已出院病人 7 9 名住院病人及1 0 2 名等待 住院病人情况的历史数据记录 问题一 建立合理的评价指标体系 用以评价病床安排模型的 优劣 问题二 试就该住院部当前的情况 建立合理的病床安排模型 并对该模型利用问题一 中的指标体系作出评价 问题三 根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况 在病人门诊 时即告知其大致人住时间区间 问题四 若该住院部周六 周日不安排手术 医院的手术时间 安排是否应作出相应调整 问题五 在一般情形下 医院病床安排可采取使各类病人占用病床 的比例大致固定的方案 就此方案建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间 含等待入院 及住院时间 最短的病床比例分配模型 该问题属于多通道随机服务问题 文献 2 3 分别采用秩和比法和T O P S I S 法讨论了医院 病床使用效率的评价方法 文献 4 讨论了一类简单的M M 1 医院排队系统的优化问题 这 些方法和已有的排队论理论p 均无法直接解决以上问题 本文以排队论理论为指导 引入病人满意度和病床利用率两个评价指标 在对大量历史数 收稿日期 2 0 0 9 1 I 一1 0 作者简介 汪琴 1 9 8 8 一 女 浙江杭州人 浙江教育学院理工学院数学与应用数学专业2 0 0 7 级学生 岑璐局 1 9 8 8 一 男 浙江宁波人 浙江教育学院理工学院应用化学专业2 0 0 7 级学生 张渊焖 1 9 8 9 一 女 浙江嘉兴人 浙江教育学院理工学 院数学与应用数学专业2 0 0 7 级学生 通讯作者 马新生 1 9 6 6 一 男 江西宁都人 浙江教育学院理工学院教授 工学博士 万方数据 浙江教育学院学报 2 0 1 0 卑 据进行详细统计分析的基础上 建立了眼科病床合理安排的数学模型 给出了以上问题的解决 方案 2 模型假设及数据的初步分析 综合理论和历史数据分析的需要 本文作如下假设 1 病人数据源是无限的 2 不同病人的人院时间与住院时间均为独立同分布随机变量序列 且与病人的年龄 性 别等因素无关 3 考虑理想化的病人排队系统 忽略其他可能改变病人等待住院 手术及出院时间的因 素 也不考虑病人发生死亡或手术医疗事故等意外情况 4 由于医院条件的限制 白内障手术只能安排在每周一 周j 做 排队论理论是通过对服务对象到来及服务时间的统计研究 得出这些数量指标 等待时 间 排队长度 忙期长短等 的统计规律 然后根据这些规律来改进服务系统的结构或重新组 织被服务对象 使得服务系统既能满足服务对象的需要 又能使机构的费用最经济或某些指标 最优 在进行分析之前 必须首先识别每天到达病人数和病人住院时间的统计分布规律 为此 采用P e a r s o n x 2 检验 J 并利用M a f l a b 软件计算得到 在显著性水平a 0 0 5 时 每天到达病 人数服从参数A 8 6 9 的P o i s s o n 分布 此时p 0 5 5 8 6 病人住院时间不服从负指数分布 此时P 0 o o o o 直方图分别如图1 图2 所示 因此 本医院排队系统属于M G C m m 系统 图1每天到达病人数直方图 图2 病人住院时间直方图 3 模型的建立与求解 3 I 评价指标体系模型及 问题一 的求解 要评价医院现有的病床安排模型一F C F S 的优劣 就需要我们确定合理的评价指标体 系 兼顾等待住院病人队列的长度和医院资源的利用率这两个因素 我们定义病人满意度和 医院病床利用率两个评价指标 用以评价病床安排模型的优劣 定义I 病人满意度 记i 表示按时问先后顺序对病人的编号 每个病人从住院到第一次手术之间的间隔时间 为t i l 2 3 4 9 它们的平均间隔时间为了 则每个病人的满意度为 1 Y f i 1 2 3 4 9 平均满意度为 万方数据 第l 期汪琴 岑璐局 张渊娴 马新生 基于排队论的眼科病床合理安排的数学模型 8 l l 2 t 定义2 医院病床利用率 记 7 表示对日期顺序的编号 n 1 2 5 0 每天的出院人数为c 则每天医院病床的有 效利用率为 矾 鲁 n 1 2 5 0 其中m 7 9 为眼科总的病床数 病床的平均有效利用率为 g 4 g21 矿 利用历史数据 求得平均满意度歹 0 5 5 病床的平均有效利用率孑 0 0 8 7 5 5 3 每个 病人的满意度和每张病床的使用率见图3 和图4 图3 每个病人的满意度图4 每张病床的有效利用率 从病人的满意度看 由于采取了外伤病人优先安排住院原则 即外伤病人在门诊后的第二 天便可以住院 所以外伤病人的满意度达到最大值 都为1 但是相比之下 其他病人的满意度 不恒定 这就导致了不同病人之间的满意度存在很大差距 使得满意度具有明显的波动性 这 说明该病床安排模型不能很好满足所有病人的要求 从病床的有效利用率看 病床的有效利用率不高 且每天的起伏很大 不能做到每天都使 病床得到最充分的利用 从而说明该病床安排模型不是非常合理 因此 当前该医院住院部对全体非急症病人运用的F C F S 先到先服务的规则安排住院 虽 然操作简单 也满足了急症病人的需求 但效率不高 没有考虑等待住院病人队列的长度 即病 人的等候时间 也没有使医院的资源 即住院部所提供的病床得以充分的利用 综上所述 采用F C F S 规则不适合解决安排住院的问题 3 2M I G I C I o o l o o 排队系统模型及 问题二 的求解 由于病人每个病人住院必需排队等待 故本系统具有多个通道 且每队队长没有限制 又 医院眼科共有病床7 9 张 故具有多个服务台 且各服务台工作是相互独立的 平均服务率相 同 即p p 儿 p 其中c 7 9 因此 本问题的排队属于M G I C I o o o o 系统 整个服务 1l 机构的平均服务率为c l t 其中c 7 9 令p 一 k 只有当三 C 时 因 为只有C 个服务台 最多有c 个病人在被服务 n c 个病人在等候 因此这时的状态转移率应 为叫P 故我们可以得到 r u P l A P o 凡 1 p 尸 l A P 1 A 砒 P I n c q 厶P I A P 1 A 伽 P n c 这里 P j 1 且P 1 用递推法解上述差分方程 可求得状态概率 P o 乏e I 玎1 吉 十万I 七 却 弘一沙 l 击 去 P o 系统的运行指标平均队长 平均等待时间和逗留时间分别为 L 生 小 c 圯2 揣P 0 因为 薹 n c P 一2 互凡 2 互专 P 右边 殴 i L o E 鲁 为达到排队系统的最优化 我们认为考虑该问题的出发点有以下几点 最大限度地满足 病人的基本住院需求 平时尽可能使病床负荷率保持在一定水平 从而减小对急需住院治疗的 拒收率 尽可能提高病床的利用率 以充分利用医院现有的资源 尽量减少一般病人住院 田 曰 万方数据 第1 期汪琴 岑璐局 张渊娴 马新生 基于排队论的眼科病床合理安排的数学模型 8 3 等待时间 缩短等待住院病人t 队列的队长 显而易见 以上三项要求之间存在着矛盾 不能 只为了满足其中一项要求而牺牲另一项甚至两项要 求 因此 如何协调上述三项要求 寻求总体综合效益 优化便是本题的中心 由于白内障手术只在周一和周三做 且做双眼是 周一先做一只 周三再做一只 并且周一和周三只安 排白内障手术 其他眼科疾病 除急症外 都不安排在 周一 周三 所以若根据F C F S 规则安排住院 便会导 致一些病人在住院后不能及时被安排手术 最多的病 人住院后等待了6 天才被安排手术 为此我们对 F C F S 的病床安排模型进行改进 对在周一 周三至周六住院的白内障病人筛选出 来 把他们都安排在周二 周日住院 这样就能保证白 内障病人在住院后的第二天就能接受手术 提高了医 院病床的利用率 对在周一至周六住院白内障 双 眼 病人都安排在周日住院 不仅如此 我们还根据 图6M G C w o M A T L A B 操作 青光眼和视网膜疾病的手术不安排在周一和周三进行 所以我们筛选出在周六和周一住院的 青光眼和视网膜疾病的病人 把他们的住院时间推迟一天 即周日和周二住院 这样便保证了 这些病人在医院里准备2 天后都能够及时地进行手术 由于我们对一些病人的住院时间进行 了调整 使得医院有了更多的空床位 尤其是对白内障 双眼 病人住院的时间推迟得比较久 部分病人推迟了6 天左右 我们便筛选出在他们之后住院且住院时间小于6 天的病人 对他们 的住院时间提前 这样做不仅缩短了病人的等待住院时间 使等待住院病人队列缩短 还提高 了医院资源的有效利用率 图6 是我们解决该问题的思路与方案 根据以上的分析 利用M A T L A B 进行编程 在原有的F C F S 病床安排模型的基础上进行修 改 设计病人住院安排如表1 表1 病人住院安排表 注 表示安排住院 表示不安排住院 对改进后的安排进行计算 得到平均满意度歹 0 7 9 医院病床的平均有效利用率孑 万方数据 浙江教育学院学报 2 0 1 0 皇 0 0 8 8 7 1 3 与问题一的F C F S 规则比较 可以发现我们所建立的病床安排模型大大优于原有的 F C F S 病床安排模型 在医院资源利用率不变的基础上 既提高了病人的满意度 又缩短了住院 等待时间 这说明改进措施是有效的 3 3 区间估计模型及 问题三 的求解 为了能够让病人在门诊时就能被告知大致人住医院的时间区间 我们根据当时已经出院 病人的数据 统计得到除急症病人外 其他病人的平均住院时间 然后建立区间估计模型M 对门诊病人的住院时间进行估计 在不考虑外伤的情况下 可近似认为病人的服务时间即等待时间f 服从正态分布 肛 I T 2 其中方差矿2 未知 故平均等待时间 z 的置信度为1 一口 0 9 5 的置信区间为拍1 一 冀 一 冀 ff t l 一号 n 一1 兰 孝 f I 一孚 n 一1 三l 4n 4 n 计算可得 置信区间为 1 2 5 3 9 1 1 2 7 5 9 5 故可以在病人门诊时告知其大致入住院时间区间为 1 2 1 3 即住院时间大概是在门诊 后的第1 2 或1 3 天 3 4 问题四 模型的建立与求解 基于问题二的求解方法 考虑该住院部周六 周日不安排手术的情况 我们对医院的手术 时间做相应的调整 由于我们假设白内障手术只在周一和周三进行 故该条件对白内障病人 不受影响 只对青光眼和视网膜疾病的部分病人进行调整 再借鉴问题二中建立的M G C o o 排队模型 对新的住院安排表进行相应的调整 便能够做到在周六周日不进行手术的前提 下 不仅保证外伤疾病的病人能在门诊的第二天就能住院 且在住院后的下一天进行手术 还 保证其他的病人都能够在住院后的1 2 天内接受手术 沿用 问题二 中的方法 利用M A T L A B 求解 计算得到了每天病人的住院安排表 如表2 所示 这时 病人的满意度为歹 0 6 7 病床的平均有效利用率为孑 0 0 8 0 均有所降低 表2 病人住院安排表 3 5 多指标床位分配模型及 问题五 的求解 为求解问题五 我们改进文献 7 中的多指标席位分配模型 建立多指标床位分配模型 该问题可描述如下 设共有n 种病人 第i 种病人的人数为a i 1 2 n 记a 口i 影响床位分配的因素有z 个 第 个因素对第i 种病人影响的指标值为茗F i 1 2 n i I 万方数据 第l 期 汪 琴 岑璐局 张渊娴 马新生 基于排队论的眼科病床合理安排的教学模型 J 1 2 1 指标矩阵为 茗l I X 1 2 X 2 1 X 2 2 菇B l 聋J 2 第 个影响因素的权重为埘 1 2 z 吩 1 可供分配的床位总数为m 第i 种病人 分到的床位为茗 f 1 2 n 并 为整数 问如何在这n 种病人 合理分配 这m 个床位 通常指标值分为 效益指标 成本指标 和 固定指标 所谓效益指标是指标值越大越 好的指标 病床周转率 成本指标是指标值越小越好的指标 平均逗留时间 固定指标是指 标值稳定在某个固定值为最好的指标 病床利用率 考虑到不同指标属性不同 量纲也可能不同 作如下规范化处理 对于效益指标 令 髫 一r a i n 髫 e H 二 竖堕 一 i l 2 n J 1 2 z 2 e 甜 一 l z n L zJ I m i a x n x V 一l m I i n n X q 对于成本指标 令 m a x 茗 一髫d e 堕 二 i 1 2 l J 1 2 z 3 1 m a x x 一m 1 1 1 X 对于固定指标 令 e 1 一j i 黯 i l 2 厅 1 2 z 4 其中菇扑为第 个影响因素对第i 种病人的最佳指标值 利用公式 2 一 4 将指标矩阵 1 化为规范指标矩阵 E e l le 1 2 e 2 1e 2 2 e n ie 4 I 5 利用主观赋值法或客观赋权法确定权重w J 1 2 Z 计算各种病人的加权综合指标和整个系统的综合指标 P w j e i 1 2 厅 P P 6 多指标床位的合理分配应该按各种病人综合指标的比侧来分配 即尽可能地满足各种病 人的t t 综合配额 笠m i 1 2 J 1 于是我们得到多指标床位合理分配模型如下 P m i n 八m 菇 2 丝Pm 飞 2 7 t 茹i m h 一 I 2 e e e 万方数据 8 6 浙江教育学院学报 钏瓤 钏 l 2 n 其中 并 为整数 江1 2 n 该模型求解方法 首先 枚举求出满足约束条件 卜睁吣一睁 1 一o A n 的解 然后 验证解是否满足约束条件 z m 求出所有可行解 最后将可行解逐一代入目 标函数 肌 以 2 荟 鲁mx 1 比较相应目标函数值的大小 最小者即为模型最优解 在本问题中 我们既要考虑保证医院给病人提供需要的医疗服务 又要考虑医院卫生资源 的合理利用及其长远的发展 还要根据题目要求对平均逗留时间的权重进行优先考虑 具体 求解如下 根据历史数据进行统计分析得到各类病人各个指标的数据 给出指标矩阵x 见表3 表3 指标矩阵X 利用公式 2 一 4 将指标矩阵x 转化为规范化指标矩阵E 见表4 表4 规范化指标矩阵E 利用公式 6 计算各类型的加权综合指数和系统综合指标 得 万方数据 第l 期汪琴 岑璐局 张渊娴 马新生 基于排队论的眼科病床合理安排的数学模型 8 7 P l 吁e 0 5 5 2 p 叶e 2 0 2 4 5 1 P 3 哆e 3 0 2 3 2 1 2 J2 IJ2 33 P 4 叩 0 2 2 4 9 P 7 0 序 0 7 J2 1J 5 l P 0 5 5 2 0 2 4 5 1 0 2 3 2 1 0 2 2 4 9 0 7 1 9 5 4 1 建立相应的多指标床位分配模型 转化为等价连续型非线性模型 求出相对合理的病床分 配比例 如表6 所示 此时 所有病人在系统内的平均逗留时间 含等待入院及住院时间 最 短 为1 3 2 3 天 表6 病床分配比例 4 结论 本文针对文献 1 提出的问题 以排队论为理论基础 建立了眼科病床合理安排的数学模 型 该模型综合考虑了病人和医院两方面的利益 与实际紧密联系且具有可操作性 采用数学 软件进行计算 结果较为准确 1 利用假设检验理论 对医院现有历史数据进行了统计分析 得到每天到达病人数服从 参数A 8 6 9 的P o i s s o n 分布 此时P 0 5 5 8 6 病人住院时间不服从指数分布 此时P 0 0 0 0 0 近似服从正态分布 据此 该医院排队系统属于M G C o o o o 系统 2 建立了评价指标体系模型 给出了病人满意度和医院病床利用率两个指标 用以评价 病床安排的优劣 这是排队论理论在医院病床安排的应用 是对经典排队论评价指标的推广 具有直观 计算简单的特点 计算可得 原有系统的平均满意度歹 0 5 5 病床的平均有效利 用率孑 0 0 8 7 5 5 3 然后 基于M G C o o o o 系统 给出了新的排队规则 此时病人的平均满 意度歹 0 7 9 医院病床的平均有效利用率孑 0 0 8 8 7 1 3 两个指标均有显著改善 3 建立了病人等待时间的区间估计模型 基于F C F S 排队规则 在0 9 5 的置信度下 病 人等待时间是1 2 到1 3 天 4 在周六周日休息的假设下 重新给出了住院安排方法 此时 病人的平均满意度歹 0 6 7 病床的平均有效利用率孑 0 0 8 0 均有所降低 5 建立了以所有病人在系统内的平均逗留时间 含等待入院及住院时间 最短为优化目 标的多指标床位分配模型 得到五种病人的床位分配是1 7 1 8 9 2 3 1 2 平均逗留时间为1 3 1 4 天 排队论模型的应用非常广泛 因而适用于现实中的一切服务系统 故本文给出的模型可以 推广到其他的服务系统中 例如通信系统 交通系统 计算机 存贮系统 生产管理系统等 本文是在 2 0 0 9 年全国大学生数学建模竞赛 参赛文章 获全国二等奖 的基础上 通过参考命题者提供 的解答要点 进行修改整理而得 万方数据 8 8 浙江教育学院学报 2 0 1 0 阜 参考文献 1 全国大学生数学建模竞赛组委会 2 0 0 9 高教社杯全国大学生数学建模竞赛B 题 E B O L 2 0 0 9 1 0 一 l O h t t p m c m e d u c n m c m 0 9 P r o b l e m s 2 0 0 9 c a s p 2 王启栋 张康莉 刘召平 等 医院科室病床使用情况的综合评价分析 J 中国医院统计 2 0 0 1 8 2 1 0 3 1 0 5 3 宋萍 用T O P S I S 法对医院床位利用情况进行综合评价 J 重庆医学 2 0 0 3 3 2 4 4 5 5 4 5 8 4 韩新焕 朱萌纾 吴静 医院管理系统巾排队模型的优化决策分析 J 数理医药学杂志 2 0 0 8 2 1 1 1 6 1 8 5 运筹学 教材编写组 运筹学 M 北京 清华大学出版社 1 9 9 0 6 魏宗舒 概率论与数理统计教程 M 2 版 北京 高等教育出版社 2 0 0 8 7 付必胜 杨益民 张华 多指标席位分配模型及其应用 J 数理统计与管理 2 0 0 9 2 8 4 6 6 0 6 6 5 M a t h e m a t i c a lM o d e l so ft h eR e a s o n a b l e A r r a n g e m e n to fO p h t h a l m i cS i c k b e d B a s e do nQ u e u i n gT h e o r y W A N GQ i n C E NL u j u Z H A N GY u a n x i a n M AX i n s h e n g S c h o o lo fS c i e n c ea n dT e c h n o l o g y Z h e j i a n gE d u c a t i o nI n s t i t u t e H a n g z h o u3 1 0 0 1 2 C h i n a A b s t r a c t G i v e ni nt h i sp a p e ra r et h em a t h e m a t i c a lm o d e l so ft h eq u e u i n gs y s t e mi nad e p a r t m e n to fo p h t h a l m i co fA B Ch o s p i t a l F i r s t t h ee v a l u a t i o ni n d e xs y s t e mi se s t a b l i s h e d a n dt h e nt h e e v a l u a t i o nv a l u e so ft w oq u e u i n gr u l e s F C F Sa n dt h em o d i f i e dr u l e ss e tb yt h i sp a p e r a r ec a l c u l