圆柱、同轴圆柱以及锥台形导体电阻的求法归纳和比较.doc

工程技术学院本科课程论文圆柱、同轴圆柱以及锥台形导体电阻的求法归纳和比较袁雄（内江师范学院 工程技术学院 四川 内江 641100） 摘 要：利用电阻的表达式，对圆柱、同轴圆柱和锥台形几种不同类型导体电阻的求法进行归纳，最后对它们之间的异同作出了比较。 关键词： 表达式； 导体电阻； 归纳； 比较 中图分类号： 文献标识码： 文章编号：0 引言 计算导体的电阻是电磁学中一个常见的问题，有了电阻我们就可以利用欧姆定律求解其他量，利用焦耳定律求解焦耳热。电阻器1 李艳丽电阻器的种类及识别J辽宁：农业科技与装备，2013（01）:20-12 李建文国产固定电阻器热变特性的调查J陕西：西北大学学报，2013（02）：25-43 李言荣新超导体研究概况及其发展趋势J重庆：重庆师范学院学报，1990（01）:2-44 蒋志君高温超导强电应用研究进展与展望J低温与超导，2009（10）:24-105 王程有电子学应用发展初探J郑州铁路职业技术学院学报，2005（04）:30-12的分类有很多种，如果依工作特性、结构、用途、功率消耗与误差百分比约着眼，可分为固定电阻器、可变电阻器、半可变电阻器与特殊用途电阻器四种。电阻的应用相当广泛，特别是利用超导体制成的高温材料，高温超导材料的用途非常广阔，大致可分为三类：大电流应用（强电应用）、电子学应用（弱电应用）和抗磁性应用。通常情况下，利用公式:R=/S可以直接求解导体的电阻，当导体为圆柱、同轴圆柱及锥台形等较复杂的形状时，求解电阻比较麻烦，这时我们需要建立坐标系，利用几何关系、三角函数找出各个量之间的关系，然后进行积分计算。几种模型求解电阻的方法既有区别也有联系，最后对不同类型导体电阻的求法进行了比较。1 圆柱导体的电阻如图1所示，水平放置一根电阻率为（常量）的金属圆柱导体，其中半径为R，长度为L，求电流沿长度L方向流过时的电阻大小. L R O 图1 圆柱导体当电流沿长度L方向传导时，各个横截面积S不变，此时电阻为 =可见：圆柱形导体电阻的大小与沿着电流传导方向上导体的长度L成正比关系，与半径R的平方成反比关系。2 同轴圆柱的电阻如图2所示，水平放置的一个电阻率为（常量）的金属同轴圆柱，内圆柱的半径为,外圆柱的半径为，导体的长度为L，（1）求电流沿长度L方向流过时的电阻；（2）求电流沿径向时的电阻；（3）把同轴圆柱切去一半（如图所示），求电流沿图示方向时的电阻。 L 图2 同轴圆柱形导体(1)当电流沿长度L方向传导时，各个横截面积S不变，此时电阻为 R= = (2)当电流沿径向方向流过时，横截面积不相等，此时S可表示为2，则电阻为 R= = = (3) 同轴圆柱切去一半时，如图3所示 L I 图3 同轴半圆柱电流沿图示方向流过时，考虑电流离轴线的距离为r，厚度为dr的薄半圆片，此时电流穿过的横截面积为Ldr，电流流过方向的导体长度为，则电阻表示为： 由于各个电阻不相同，各电阻上的电流分布也不相同，此时求解电阻比较复杂，我们可以换一种思维思考，各段电阻相当于并联关系，则有 =则此时的电阻为 R=可见：同轴圆柱切去一半，电流沿图示方向流过时，此时的电阻与长度L成反比，而且与内、外圆柱的半径之比也有关系。3 锥台形导体电阻如图4所示，水平放置的一个电阻率为（常量）的金属锥台形导体，底面半径分别为和，它的长度为L，(1)求电流水平流过它时的电阻；(2)试证当时，答案简化为(其中S为锥台形导体的横截面积)。 L 图4 锥台形导体假定电流沿轴线流过任意横截面的是均匀的，以o点为坐标原点，水平向右为正方向，建立坐标系如图5所示 r O I x L 图5 坐标系则此时导体的电阻为 （1）对（1）式进行积分可得 (2)其中x，r为变量，为了方便计算，统一为x的变量，而x的变化范围为：+L.然后要分别找出、L与、之间的关系，我们放在三角形（如图6所示）中，借助图 dx O 图6 三角形中的几何关系，利用， 可得 (3) tan = (4)又因r=xtan = ，可以表示出横截面积为 S= = (5)联立(1)(2)(3)(4)(5)可得 = = = （6）由上式可知：当=时，锥台形导体变为一个圆柱体导体，此时的电阻为 R= (7)4 圆柱、同轴圆柱和锥台形几种导体电阻求法的比较 圆柱、同轴圆柱和锥台形几种导体电阻的求法既有许多相似之处，也存在一些不同。首先，要明确电流的传导方向，再明确什么是常量，什么是变量，如果全是常量可以直接利用电阻公式求解，如果存在变量，则需要利用几何关系、公式进行积分运算。在求解圆柱模型的电阻时，由于圆柱的各个横截面积都是相等的，长度也是一定的，所以直接利用公式可以求解。在求解同轴圆柱模型的电阻时，当电流沿着长度方向流过，电流流过的横截面积是不变的（这一点和圆柱模型一致），然后利用公式求解；当电流沿径向流动时，各个横截面积不相等，用已知量表示出横截面积，然后利用公式积分求解；当切去一半，电流沿图示方向流动时，由于各个电阻不相等，我们换一种思维方式，考虑它是由无数电阻并联起来的，然后利用并联关系以及电阻公式进行求解。在求解锥台形导体时，发现有两个变量，不易求解，此时统一用一个变量表示，这大大减少了运算的步骤，再放在三角