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麻省理工学院 物理系 物理学 8 01 作业 1 解答 1999 年秋 季 David Pooley 问题 1 1 估计和误差 教材上的问题 1 1 问题 1 1 估计和误差 教材上的问题 1 1 对于开始的两个物体 我用了木尺上最小刻度的一半 即 0 5 毫米 来估计误差 对于 后两个物体 我用一根金属卷尺来测量 卷尺可以随着温度变化伸长或收缩 正如木尺的 长度会随着湿度变化 对于较大的长度 例如一张课桌 这样测量显然会引起误差 我估计 这个误差为 2 毫米 物体 眼睛估测值 测量值 注释 马克杯 高度 22 厘米 15 75 0 05 厘米 起步不是很顺利 CD 盒 15 厘米 14 2 0 05 厘米 好一点了 课桌 1 6 米 1 524 0 002 米 对于那么大的东西而 言已经不错了 尺 30 5 厘米 30 48 0 05 厘米 我是最棒的 问题 1 2 基本单位 教材问题 1 14 问题 1 2 基本单位 教材问题 1 14 正如教材中所说的 位置 时间以及质量给出了对于理想质点的运动和特征的完整描述 因此 在我们所用的任何一个单位制中 必须将上述三者的单位 L T M 结合起来 如果采用长度 质量和密度为基本单位 可以得到 正如你所看到的 我们没有时间 T 的单位 所以我们不能把这些作为三个基本单位 但是 如果我们把长度 质量和速度作为基本单位 我们得到 这里 我们有了所有必需的单位 所以这是三个基本单位的一个正确选择 记住 我们必须 能够将基本单位 拆分 出来 这点很重要 例如 质量和速度在一起就包含了所有的必须 单位 但是仅仅通过这两个单位无法将 L 和 T 拆分开 通过长度 质量和速度 我们可以 从中得出基本单位 例如 长度除以速度得到 T 问题 1 3 一张纸的厚度 问题 1 3 一张纸的厚度 a 厚度 10mm b 绝对误差 0 5mm c 相对误差 测量值 绝对误差 mm10 0 5mm 5 d 共有 85 页 所以每页纸的厚度是 85 0 5mm 0 10 118 6 m e 绝对误差 6 m f 相对误差没有改变 5 g 不同的学生在测量厚度时会施加不同大小的压力 另一个因素是进行测量的房间的湿 度 这会影响纸张的厚度 同时 也有可能书本之间的纸张厚度有细微的不同 问题 1 4 相对误差 问题 1 4 相对误差 相对误差是绝对误差除以测量值的 我们拿羚羊骨来做例子 量得它的厚度是 18 3mm 误差 1 0mm 因此 它的相对误差是 5 5 mm3 18 mm0 1 学生的身高 利用讲座中学生 Zach 早上 10 点的身高 是 183 2cm 误差 0 1cm 绝对 误差值在两种情况 在羚羊的例子中是完全相同的 下大致相等 但是 Zach 的身高的相 对误差值是 055 0 cm2 183 0 1cm 为什么两个相对误差的差别如此之大 因为 Zach 的身高比羚羊的股骨厚度要厚很多 它们 具有相同的绝对误差 因为它们来源相同 都是用 眼球 在尺或者金属条上估测出来的人 为失误 但是相对误差在量值上有着两个数量级的不同 问题 1 5 遥远的类星体 教材问题 1 8 问题 1 5 遥远的类星体 教材问题 1 8 要得到地图上的距离 你只需把实际距离 12 4 109光年 乘以地图上的比例 1 1 5 1020 实际距离 ly 9 1012 4 m ly 26 15 1017 1 1 m1046 9 地图距离 实际距离 比例 m 26 1017 1 20 105 1 1 7 82 105 m 782km 486 英里 约为剑桥 MA 到里士满 VA 的距离 请查一下美国的州名缩写 问题 1 6 地球上的距离 教材问 题 1 10 问题 1 6 地球上的距离 教材问 题 1 10 沿着地球表面从极地到赤道的距离就是图中的弧 s 的弧长 一个简单的方法可以让你记住如 何计算弧长 弧长 s 与整个圆周长的比值等于夹角 与 2 的比值 沿着直线的距离 d 由毕达哥拉斯定理给出 Miles 问题 1 7 你身体内的原子 教材问题 1 26 问题 1 7 你身体内的原子 教材问题 1 26 我们以氧原子 O 为例 首先 计算出体重为多少克 然后 我们用原子的摩尔质量 每摩尔的克数 去除 并乘以阿伏加德罗常数 每摩尔的原 子个数 对每种元素重复上述步骤 并把它们都加起来得到总和 元素 百分比 克数 原子质量 A N 原子个数 O 65 47450g g994 15 10022 6 23个原子 1 78661 1027个 C 18 5 13050g g011 12 10022 6 23个原子 6 54308 1026个 H 9 5 6935g g00794 1 10022 6 23个原子 4 14345 1027个 N 3 3 2409g g0067 14 10022 6 23个原子 1 03574 1026个 Ca 1 5 1095g g08 40 10022 6 23个原子 1 64527 1025个 P 1 730g 0 97396g3 10022 6 23个原子 1 41932 1025个 共计 6 71859 1027个原子 答案应该和条件有相同的精度 两位数字 因此原子总个数为 6 7 1027 问题 1 8 天文距离 教材问题 1 29 问题 1 8 天文距离 教材问题 1 29 a 我们可以使用问题 1 5 中的方程 以弧度为单位 S r 1AU 天文单位 b 首先我们必须以米为单位表示光年 然后我们就能使用教材上提供的 信息了 C 1pc 3 086 1016m 1 ly 9 46 1015m 问题 1 9 恒星的平均密度 教材问题 1 37 和 1 38 问题 1 9 恒星的平均密度 教材问题 1 37 和 1 38 1 37 对于质量 我们用希腊字母 来表示 3 3 8 30 3 cm g4 1 cm100 m1 kg1 g1000 m100 7 3 4 kg100 2 3 4 r M 体积 质量 1 38 同样的道理 问题 1 10 位置 速度和加速度 问题 1 10 位置 速度和加速度 a 见图表 b 求导即可 见图表 c 再次求导得 见图表 d 用 b 部分的方程 e 使用c 部分的方程 a 0 4m s2 a 2 4m s2 a 4 4m s2 f 令 以求出t 3s 现在 把t带入方程x t 中 以求得物体速度为零时的位置 简单的答案如下x 3 2m v 3 0m s 当然 a 3 4m s2 g 两个时刻间的平均速度定义为 h 我们使用相同的方程 i 平均速度 s 是物体通过的总路程除以所花费的时间 总距离可以由累加整个路程中的每 一个单向的小段路程而得到 通过图表我们能看到 物体从 x 16 m 处到达了 x 2 m 处并返回 x 16 m 处 这就是为什么图表非常有用的原因 总路程为 36 米 花费时间 6 秒 因此 平均速度 j 反向是什么意思 当然 它的意思是你一开始向着一个方向走 然后你转身并向另一个 方向走 如果你一开始向着负方向走 那么反向后你就朝着正方向走 反之亦然 换句 话说 你速度的符号发生了变化 反向发生在速度零点 这是个非常重要的概念 你 也可以从微积分的方面去考虑这个问题 如果你使方向反向 那么在这个位置上你的位 移就会达到极大值或极小值 为了找出反向的位置 你可以求出位移的导数并令其为零 这和令速度为零是完全相同的 因为速度就是位置的导数 从 f 部分我们知道了 v 3 0 所以物体反向移动的时刻为 t 3s 问题 1 11 汽车碰撞和安全带 教材问题 2 35 问题 1 11 汽车碰撞和安全带 教材问题 2 35 这是一个很难解决的问题 因为得到答案需要好多步骤 并且到了最后非常有必要问一个非 常重要的问题 我的答案有意义吗 首先 撞上某物体的确切意思是什么 它的意思是两个物体 例如 一个乘客和汽车仪表盘 发生接触 也就是它们在同样的时刻处于同一位置 这是第一步 描述每个物体在减速时 间内的位置 我们知道 对于匀加速过程 于是我们现在必须计算出对于乘客和仪表盘来说 x0 v0和a分别是多少 我们需要建立一套同样的体系 想象一下让时间在汽车碰撞的一刹那停住 我们把原点放在 乘客所处的位置 他的初始条件是 x0 0 v0 50km h 14m s 仪表盘在乘客前方 0 6 米 处 并且有初始条件x0 xsep 0 6m以及v0 14m s 那么加速度是多少呢 既然仪表盘装在 汽车上 那么它也拥有a 200m s2的加速度 但是 乘客并没有系上安全带 因此他并没 有和汽车相连 他在汽车开始相撞的时候也就没有加速度 他 从椅子上飞出去 当他撞 上仪表盘时他理所当然很快地被加速 这之前 他一直以速度v0 向前运动 乘客和仪表盘的位移方程为 好 我们现在已经描述了位置 但是我们需要记住的是 这些方程只有在匀加速时适用 例 如在从汽车开始加速直到它停下来为止的时间内适用 我们有位置随时间变化的函数x t 同时我们可以对其求导以获得速度关于时间的函数v t 现在 让我们先来计算一下碰撞发生时的时间tbang 也就是当乘客的位置等于仪表盘的位 置时刻 然后我们就可以将其代入v t 的方程中并找出 相近的 最终答案 应该注意到 直到最后一步我才把数据代入 这点非常重要 为了得到乘客和仪表盘的速度关于时间的函数 我们简单地对xp t 和xd t 进行求导 乘客和仪表盘之间的相对速度是上述两者之差 这个答案有意义吗 没有 为什么 因为汽车和乘客初始情况下都以 14m s 的速度运动 在碰撞过程中 乘客一直以 14m s 的速度运动 但是汽车在行进方向获得加速度并停下 所以最大相对速度为 14m s 任何高于它的速度意味着车被 弹回来 了 而我们知道这 是没有发生的 记住我们初始的方程只有在匀加速度条件下成立 如果在汽车已经停下之 后继续对其使用这个方程 我们就假定了汽车正在离开墙壁做加速运动 我们知道在乘客撞上仪表盘以前车一定会停下 事实上车在t 0 069s时停下 因此相对速 度为vrel 14m s 问题 1 12 脑筋急转弯 回到地球上的同一点 问题 1 12 脑筋急转弯 回到地球上的同一点 解决脑筋急转弯没有什么特别好的方法 但是一种非常有用的提示 那就是考虑 特殊情况 在这些特殊情况中 我们可以寻找地球上的特殊点 我们最好从北极点 南极点和赤道上入 手 北极点是一个满足条件的点 如果你从它出发向南走一定的距离 d 然后走一个圈 长度 由你定 再向北走相同的距离 d 你就回到了北极点上 很好 另一些满足条件的点必须在围绕着南极点的特殊圆上且满足以下条件 其周长为 10 n 其 中 n 1 2 3 令圆 1 的周长为 10 公里 在向东走过 10 公里后 你回到了出发点 令圆 2 的周长为 5 公 里 在向东走 10 公里后 你依然回到了出发点 这样对于任意正整数 n 来说都是成立的 每一个这样的圆在整个运动中都是第二个过程 起始位置可以设置在这些特殊圆北面 10 公 里的任意一点 这些起始位置也构成了一个圆 这样 第一个过程就是向南走 10 公里到 达特殊圆 第二个过程就是沿着特殊圆向东走 10 公里并回到这一过程的出发点 而后第三 个过程就是向北走 10 公里回到出发点 实际上就是第一个过程的返回 假设地球是一个完美的球体 我们就能根据左图计算出周长 为 10 公里的圆的纬度lcirc1 从图上我们可以看出图上满足 条件 2 r 10 公里 其中r 6357 sin 90 lcirc1 解出lcirc1 后 我们得到圆 1 位于南纬 89 59 08 地球是完美球 体的假设所引起的误差不到 1 现在我们需要计算出在该圆以北 10 公里的地点的纬度lstart1 由此图以及我们已知的弧长 可以计算出 出发点的纬度lstart1 就是lcirc1 这些步骤可以在第二个周长为5km的圆的情况下重复 以计算出lstart2 南纬89 54 10 以此类推 这类圆有无数多个 而且每个圆上都有无数个这样的点 问题 1 13 人类的股骨 问题 1 13 人类的股骨 a 我测量后得出 d 应为 1 6 0 2cm l 应该是 24 5 0 5cm 这里的误差很大 因为我不 确信自己有能力能精确地测量这个图形 d l 的比率应该等于 d l 1 6 24 5 0 065 为了得到两个测量数据相除后的误差 我们可以使用两种彼此等价的方法中的一种 记 住 这些都是我们在课程 8 01 中使用的简化方法 在以后的 MIT 专业课中 你们可能 会学更多的正规课程来教你如何根据几个量计算出其最终结果的误差 方法一 计算出可能的最大结果 例如 在分子中加上误差 在分母中减去误差 然后减去无误差情况下计算所得的结果以得到误差的范围 方法二 当乘以或除以测量值时 把每个值的相对误差相加 得到总的相对误差值 将其与没有误差的计算值相乘 得到总的绝对误差值 因此最终答案为 b 对含有误差的数值进行加 为了求平均 我们可以把所有测量值相加并除以其值的总和 减时 我们把所有的误差相加 我们在课程 8 01 中做过这样的事情 c 下有趣的文字是 Bernie Burke 教授撰写的