积分与级数的MATLAB实现.doc

积分与级数1 积分问题求解方法： Q=quad(F,0,2); %自适应法Simpson法F=int(f,x);F=int(f,x,a,b);1.1 定积分的数值解例：绘制积分区域f=inline(x.3-x.2+2*x+1);figure; hold onfplot(f,-1000,1000)patch(-600 -600:800 800,0 f(-600:800) 0,r);例：计算x.3-x.2+2*x+1的定积分内联函数M函数f=inline(x.3-x.2+2*x+1);Q = quad(f,0,2);function y = myfun(x) y= x.3-x.2+2*x+1;Q = quad(myfun,0,2); 针对函数值序列的数值积分trapz(sin(0:0.01:pi)*0.01 % 梯形数值积分例：编程实现上例功能自定义数值积分函数function area=getarea(f,x1,x2) delta=0.01; % 子区间的宽度 x=x1:delta:x2; y=feval(f,x); area=cumsum(y)*delta;area=getarea(f,0,2); area(end)area=getarea(myfun,0,2); area(end)1.2 不定积分的解析解例：已知，计算，并验证之。syms x;f=sin(x)/(x2+4*x+3); F=int(f,x);f0=diff(F,x);simple(f0)-f % 0figure;subplot(2,1,1); ezplot(f,-1 6);subplot(2,1,2); ezplot(F,-1 6);4次积分、求导验证F=int(int(int(int(f); f0= diff(F,4);simple(f0)-f % 0例：考虑不可积问题和。syms x; F=int(exp(-x2/2)% F= 1/2*pi(1/2)*2(1/2)*erf(1/2*2(1/2)*x)syms a x; G=int(x*sin(a*x4)*exp(x2/2)1.2 定积分和无穷积分例：计算syms x t;f=(-2*x2+1)/(2*x2-3*x+1)2;I=int(f,x,cos(t),exp(-2*t);I=simple(I);figure; subplot(2,1,1); ezplot(f,-20,20);subplot(2,1,2); ezplot(I,-20,20);例：考虑不可积问题的定积分。syms x;I1=int(exp(-x2/2),x,0,1.5); vpa(I1,10);I2=int(exp(-x2/2),x,0,inf); vpa(I2,10);% 图示无穷积分的渐进过程y1=;for x1=0:0.1:10; I1=int(exp(-x2/2),x,0,x1); y1=y1 vpa(I1,10);endplot(0:0.1:10, double(y1),.-);1.3 多重积分例：对的偏导数求积分。syms x y z;f=sin(x2*y)*exp(-x2*y-z2);df=diff(diff(diff(f,x,2),y),z); df=simple(df);% 积分次序1f1=int(df,z); f1=int(f1,y); f1=int(f1,x); f1=int(f1,x); f1=simple(f1);% 积分次序2f2=int(df,x); f2=int(f2,x); f2=int(f2,y); f2=int(f2,z); f2=simple(f2);simple(f2-f1); % 值为0例：计算的值。syms x y z;I=int(int(int(4*x*z*exp(-x2*y-z2),x,0,2),y,0,pi),z,0,pi);vpa(I,6)2 函数的级数展开与级数求和2.1 单变量的Taylor幂级数展开求解方法： x=0处的展开式：(maclaurin展开式)x=a处的展开式：(Taylor展开式) taylor(f,x,n); 例：在x=2和x=a处，展开。% 原函数syms x; f=sin(x)/(x2+4*x+3);xs=0:0.1:3;ys=subs(f,x,xs);plot(xs,ys);% 检验9阶maclaurin展开式在x=0处的逼近效果f9=taylor(f,x,9); ezplot(f,0 1); hold on; ezplot(f9,0 1);% 检验2,3,4阶Taylor展开式在x=2处的逼近效果T2=subs(taylor(f,x,2,a),a,2); Y2s=subs(T2,x,xs);T3=subs(taylor(f,x,3,a),a,2); Y3s=subs(T3,x,xs);T4=subs(taylor(f,x,4,a),a,2); Y4s=subs(T4,x,xs);plot(xs,ys Y2s Y3s Y4s);例：对进行Taylor级数展开，观察近似效果。X0=-2*pi:0.01:2*pi; Y0=sin(X0);syms x; Y=sin(x);plot(X0,Y0); axis(