人教A第二章学案4 平面向量的基本定理、平面向量的正交分解及坐标表示、平面向量的坐标运算.ppt

学案4平面向量基本定理平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算 学点一 学点二 1 平面向量基本定量 如果e1 e2是同一平面内的两个向量 那么对于这一平面内的任意向量a 有且只有一对实数 1 2 使 其中 不共线的向量e1 e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 不共线 a 1e1 2e2 2 平面向量的正交分解把一个向量分解为 叫做把向量正交分解 两个互相垂直的向量 3 1 两个向量和差的坐标运算已知a x1 y1 b x2 y2 则a b x1i y1j x2i y2j 即a b 同理可得a b 这就是说 两个向量和 差 的坐标分别等于 2 数乘向量和坐标运算 a x1i y1j 即 a 这就是说 实数与向量的积的坐标等于 3 向量AB的坐标表示若已知A x1 y1 B x2 y2 则AB 即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的 终点的坐标减去始点的坐标 x1 x2 i y1 y2 j x1 x2 y1 y2 x1 x2 y1 y2 这两个向量相应坐标的和 差 x1i y1j x1 y1 用这个实数乘原来向量的相应坐标 x2 x1 y2 y1 学点一用基底表示平面内的向量 评析 已知a 2 1 b 3 4 求 1 3a 4b 2 a 3b 3 a b 分析 根据向量坐标运算公式计算 解析 1 3a 4b 3 2 1 4 3 4 6 3 12 16 6 19 2 a 3b 2 1 3 3 4 2 1 9 12 11 11 3 a b 2 1 3 4 1 1 学点二平面向量的坐标运算 评析 1 向量的坐标运算主要是用加 减 数乘运算法则进行 2 若已知有向线段两端点的坐标 则应先求出向量的坐标 解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则 1 学习平面向量基本定理应注意些什么 1 e1 e2是同一平面内两个不共线的向量 2 该平面内的任意向量a都可用e1 e2线性表示 且这种表示是唯一的 3 基底的选取不唯一 只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为一组基底 4 定理的证明 教材是用作图法证明存在性 用反证法证明唯一性 2 向量的正交分解与向量的坐标的关系是怎样的 应注意什么问题 设向量a沿单位正交基底i j分解的线性表示为a xi yj 于是实数对x y唯一确定 把 x y 叫做向量a的坐标 可见 向量a的坐标实质上是a的正交分解的系数 学习向量的正交分解与向量的坐标应注意以下问题 1 把点的坐标与向量的坐标区别开来 相等的向量的坐标是相同的 但起点 终点的坐标可以不同 2 两个向量a x1 y1 b x2 y2 a b x1 x2 y1 y2 3 在书写向量的坐标时 注意与点的坐标的区别与联系 向量a x y 中间用等号连接 而一个点的坐标A x y 中间没有等号 如A 4 8 B 6 5 a 3 5 等 4 向量有两种表示方法 一种是几何法 即用向量的长度和方向表示 另一种是坐标法 即用一对有序实数表示 有了向量坐标法表示 就可以将几何问题转化为代数问题来解决 1 平面向量基本定理告诉我们 平面内任何一个向量都可以沿着两个不共线的方向分解成两个向量的和 并且这种分解是唯一的 2 平面向量基本定理中 同一平面内两个不共线的向量e1 e2 叫做基底 基底的条件是在同一平面内不共线 即同一平面内的两个向量e1 e2只要不共线即可作为基底 换句话说 平面内向量的基底不唯一 那么同一平面内任何一组不共线的向量都可作为表示这一平面内的所有向量的基底 3 由于零向量可看成与任何向量共线 所以零向量不可以作为基底 4 在平面直角坐标系中 以原点为起点的向量OA a 点A的位置被向量a唯一确定 此时点A的坐标与向量a的坐标统一为 x y 5 两个向量相等等价于它们对应的坐标相等 6 建立平面向量的坐标 基础是平面向量的基本定理及正交分解 对所给向量应会根据条件在x轴和y轴进行分解求出其坐标 7向量的坐标表示