自控原理第三章.ppt

1 第三章线性系统的时域分析法 3 1典型输入信号及时域性能指标3 2一阶系统的时域分析3 3二阶系统的时域分析3 4高阶系统的时域分析3 5线性系统的稳定性分析3 6线性系统稳态误差计算 2 3 1 1典型输入信号 单位阶跃函数 r t l t t 0 R s 1 s 单位斜坡函数 r t t t 0 R s 1 s2 单位加速度函数 r t 1 2t2 t 0 R s 1 s3 单位脉冲函数 r t t t 0 R s 1 正弦函数 r t Asin t R s A s2 2 3 1典型输入信号及时域性能指标 3 1动态过程 过渡过程或瞬态过程 在典型输入信号作用下 系统输出量从初始状态到最终状态的响应过程 2稳态过程 稳态响应 在典型输入作用下 当t 时的系统输出 它表征系统输出最终复现输入量的程度 用稳态性能描述 3 1 2动态过程和稳态过程 收敛过程 等幅振荡过程 发散过程 4 1动态性能 在阶跃输入作用下 测定或计算系统的动态性能 第一次达到其终值一半所需的时间 上升时间tr 振荡 第一次上升到终值所需时间 非振荡 从终值10 上升到终值90 所需的时间 峰值时间tp 超过其终值到达第一个峰值所需的最短时间 调节时间ts 到达并保持在终值 5 内所需的最短时间 0 5hs td tr tp ts ts 0 5hs td 3 1 3动态性能和稳态性能 延迟时间td 5 若h tp h 则响应无超调 实际中 常用tr tp ts和 tr tp 评价系统的响应速度 评价系统的阻尼程度 ts 评价速度和阻尼程度的综合指标 超调量 响应的最大偏离量h tp 与终值h 之差的百分比 即 2稳态性能 稳态误差描述系统稳态性能通常在典型输入作用下进行测定或计算 单位阶跃输入下的稳态误差也称为余差 6 3 2一阶系统的时域分析 3 2 1一阶系统数学描述 例如RC电路 其微分方程为 其中 c t 为电路输出电压 r t 为电路输入电压 T RC为时间常数 由原理图得系统结构图 当初始条件为零时 其传递函数为 一阶惯性环节 7 系统输出 L 1变换 得 系统输入 阶跃响应的特点 3 c t 的终值为1 即该系统在阶跃作用下 稳态误差为零 2 动态性能与时间常数T有关 其指标 1 在t 0时的斜率最大 为 3 2 2一阶系统单位阶跃响应 8 系统输入 R s 1 L 1变换 得 系统输出 脉冲响应记作g t 即 1 T T 脉冲响应的特点 1 响应曲线的斜率为 在t 0时最大 2 c t 的终值为0 即该系统在脉冲输入作用下 稳态误差为零 动态响应过程由T决定 3 2 3一阶系统的单位脉冲响应 9 拉氏反变换 得 误差 一阶系统跟踪单位斜坡信号的稳态误差为 减少时间常数T 可以加快瞬态响应速度 可减少系统跟踪斜坡信号的稳态误差 系统输入 系统输出 结论 3 2 4一阶系统的单位斜坡响应 10 跟踪误差随时间推移而增大 直至无限大 因此 一阶系统不能跟踪加速度输入 系统输入 系统输出 拉氏反变换 得 误差 3 2 5一阶系统的单位加速度响应 11 1典型输入信号的响应 2等价关系 t 1 t 1 系统对输入信号导数的响应 就等于系统对该输入信号响应的导数 系统对输入信号积分的响应 就等于系统对该输入信号响应的积分 注意 积分常数由零初始条件确定 3动态特性 T 响应速度 即响应时间 反之亦然 4跟踪能力 阶跃输入 无稳态误差 即能够跟踪阶跃信号 跟踪速度取决于T 斜坡输入 有位置误差 且稳态误差等于时间常数T 加速度输入 稳态误差无穷大 即一阶系统不能跟踪加速度信号 由时间常数T决定 0 0 T 3 2 6一阶系统时域分析小结 12 3 3 1二阶系统的数学描述1标准二阶系统微分方程 2标准二阶系统传递函数 自然频率 或无阻尼振荡频率 阻尼比 阻尼系数 3标准二阶系统结构图 开环传递函数 4非标准二阶系统的标准化 1过阻尼 1欠阻尼 1临界阻尼 3 3二阶系统的时域分析 13 5二阶系统参数与特征根的分布 二阶系统的特征方程 特征根 显然 的取值决定特征根的性质 实根过阻尼 复根欠阻尼 纯虚根无阻尼 正实根 两个相等的正实根 负实根 实部为正的共轭复根 实部为负的共轭复根 s 两个相等的负实根 即 s1 2 j n 14 1 欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应 衰减系数 阻尼振荡频率 拉氏反变换 得 欠阻尼 单位阶跃作用下 其输出 其中 包络线 衰减振荡过程 3 3 2二阶系统单位阶跃响应 15 其中 n 无阻尼振荡频率自然振荡频率过渡过程为等幅振荡过程 即 s1 2 j n 无阻尼 单位阶跃作用下 其输出 拉氏反变换 得 3 临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应 临界阻尼 即 s1 s2 n 2 无阻尼二阶系统的单位阶跃响应 16 过阻尼 即 其中 4 过阻尼二阶系统的单位阶跃响应 说明 1 响应速度 2 二阶系统的过阻尼过程与一阶系统不同 17 1 欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应 2 无阻尼二阶系统的单位阶跃响应 3 临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应 4 过阻尼二阶系统的单位阶跃响应 小结 1 0时 其阶跃响应为衰减过程 2 0时 其阶跃响应为等幅振荡过程 3 0时 其阶跃响应为发散过程 1 非振荡发散 1 0 发散振荡 0 等幅振荡0 1 衰减振荡 1 非振荡衰减 18 欠阻尼 衰减振荡 左半平面共轭复根 纯虚根 无阻尼 等幅振荡 负实轴两相等实根 临界阻尼 单调收敛 收敛速度较快 负实轴两不等实根 过阻尼 单调收敛 收敛速度较慢 标准二阶系统不同阻尼时的单位阶跃响应曲线 19 1欠阻尼 1 上升时间 求得 响应速度越快 一定 d n 3 3 3二阶系统性能分析及计算 20 根据峰值时间定义 应取 一定时 闭环极点离负实轴距离越远 2 21 3 超调量 时 时 时 当时 22 4 调节时间 令 为实际响应与稳态输出之间的误差 则有 时 并在上述不等式右端分母中代入 23 上升时间tr 与 及虚部有关 当 一定时 与 n成反比 峰值时间tp 与根的虚部成反比 与根的实部成反比 延迟时间td 超调量 只与 有关 越大 超调量越小 调节时间ts 标准二阶系统欠阻尼过程性能指标计算小结 当 一定时 与 n成反比 24 例3 2 P60 系统如图所示 要求超调量 20 峰值时间tp 1s 试确定参数K及 并计算单位阶跃响应的ts及tr 解 由系统框图 得 25 上升时间tr 与 及虚部有关 当 一定时 与 n成反比 峰值时间tp 与根的虚部成反比 与根的实部成反比 延迟时间td 超调量 只与 有关 越大 超调量越小 调节时间ts 标准欠阻尼二阶系统阶跃响应小结 当 一定时 与 n成反比 0 1 26 2过阻尼 1 上升时间 3 调节时间 当 当 按10 90 的定义 2 延迟时间 27 解 闭环特征方程 按题意 要有尽量快的响应速度 且无超调 又 1 所以T1 T2 0 2s ts 4 75T1 0 95s 例3 3系统如图 其中T 0 1 K开环增益 若要求系统在单位阶跃作用下无超调 且ts 1s 问K应取多大 并计算tr td 应取 1 2 10 28 3 3 4二阶系统的单位斜坡响应 C s 即系统对斜坡的响应等于该系统对阶跃响应的积分 欠阻尼过程 瞬态分量 稳态分量 临界阻尼过程 过阻尼过程 29 对于单位反馈系统 误差为 e t r t c t 当时间t 时 误差响应e t 的稳态值称为稳态误差 对于单位斜坡响应 其稳态误差为 误差响应为 30 解 系统开环传递函数为 解得 当KA 13 5 rad s 2时 过阻尼二阶系统 当KA 200 rad s 2时 欠阻尼二阶系统 当KA 200 rad s 2时 欠阻尼二阶系统 例3 4 31 1 开环增益 稳态误差 但系统阻尼比 振荡 但实际中 不宜太小 超调量与稳态误差的矛盾2 要提高系统精度 就要保持足够大的K 但K n 2 但KA n 的同时 阻尼比 振荡 比例控制无法实现动静态性能兼顾 系统斜坡响应曲线如下 32 1比例 微分控制 PD控制 其中 即引入微分 可实现 n不变 Td d 振荡 ts 增加微分作用的实质 增加系统闭环零点 注意 输入端噪声较强时 不宜使用 闭环传递函数 3 3 5二阶系统性能改善 开环传递函数 开环增益 33 例3 5设单位反馈系统开环传递函数 其中K为开环增益 已知系统在单位斜坡输入时 稳态误差为ess 1 K 若要求ess 0 2 rad d 0 5 试确定K与Td 并估算在单位阶跃作用下的动态性能 说明 影响系统稳态误差的因素开环增益K和系统型别 与开环零点无关 解 Td 0时 系统闭环特征方程 Td 0时 系统闭环传递函数 要求 d 0 5 34 开环增益 结论 引入测速反馈 n不变 Kt t 振荡 但开环增益K 斜坡的ess 思考E3 10 a 2测速反馈控制 35 解 系统 a 闭环传递函数 单位斜坡函数作用下 单位阶跃作用下 其动态性能 例3 6系统如图 试确定系统阻尼比为0 5的Kt值 并计算系统 a b 的各项性能指标 36 系统 b 闭环传递函数 系统开环增益 单位斜坡函数作用下 单位阶跃作用下 其动态性能 结论 测速反馈可改善系统的动态性能 但稳态误差 为减小稳态误差 必须增加K 而使Kt单纯增大系统阻尼 37 1 附加阻尼的来源 PD 误差微分测速 输出微分 2 使用环境 输入端噪声较大时 应采用测速反馈控制 3 对开环增益K的影响 PD 开环增益K与 n均无影响测速 等效开环增益减小 n不变斜坡作用下的稳态误差较大 4 对动态性能的影响 相同阻尼比的情况下 PD的超调大于测速反馈的 3PD控制与测速反馈控制比较 PD与测速反馈均可再不改变 n的情况下提高阻尼比 38 3 4 1高阶系统数学描述高阶系统闭环传递函数的一般形式为 其中 zi i 1 2 m闭环实数零点 pj j 1 2 q闭环实数极点 k nk k 1 2 r闭环r对共轭复数极点q 2r n 3 4高阶系统的时域分析 39 当已知高阶系统的各个闭环极点后 可以通过因式分解将其化为部分分式和的形式 结论 1 高阶系统时域响应可以看成一阶 二阶系统响应的叠加 2 特征根具有正实部 则系统的过渡过程为发散的 不稳定 特征根具有负实部 则系统的过渡过程为收敛的 稳定的 3 衰减或发散的速度取决于根的实部的值 3 4 2动态过程分析 40 闭环极点位置对系统的影响设三阶系统单位阶跃作用下的L变换 结论 实部为负的极点 越靠近虚轴 衰减速度越慢 对过渡过程的影响越大 越远离虚轴 衰减速度越快 对过渡过程的影响越小 41 定义 靠近虚轴 且附近没有闭环零点 而其它闭环极点与虚轴的距离都比该极点与虚轴距离大5倍以上的闭环极点称为高阶系统的闭环主导极点 工程上往往要求高阶系统有一对共轭复数的主导极点 应用主导极点的概念 可得高阶系统单位阶跃响应的近似表达式 其中 s1 s2为共轭复根 对上式进行反L变换 注意 上式考虑了闭环零点及非主导极点对过程的影响 与欠阻尼二阶系统不同 3 4 3闭环主导极点 42 1 峰值时间tp 结论 1 闭环零点的作用 使tp 即系统响应速度 闭环零点越靠近虚轴 作用 2 非闭环主导极点的作用 使tp 即系统响应速度 3 闭环极点与零点靠近 则对系统响应速度的影响相互消减 4 当系统不存在零点和非闭环主导极点时 tp为二阶欠阻尼的tp 3 4 4动态性能估算 43 结论 1 其中 3 无闭环零点和非主导极点时 为二阶欠阻尼的 2 闭环零点影响修正系数 闭环非主导极点影响修正系数 2 超调量 44 结论 其中 非主导极点对系统动态性能的总影响是增大峰值时间 但可减小超调量和调节时间 1 闭环零点靠近虚轴 Q 总之 2 闭环非主导极点靠近虚轴 F ts ts 3 调节时间ts 45 稳定是指系统在扰动消失后 仍能恢复到原平衡状态 3 5 1控制系统稳定的充要条件 一阶系统 脉冲响应 二阶系统 脉冲响应 推广到n阶系统 系统的全部特征根都具有负实部 则系统是稳定的 稳定条件 T 0 稳定条件 0 3 5线性系统的稳定性分析 46 不稳定区 稳定区 临界稳定 系统稳定的充要条件 系统的全部特征根都位于 s 的左半平面当特征根位于虚轴 临界稳定状态 只要求出系统的全部特征根 便可确定其稳定性 47 1劳斯阵列 劳斯表 设n阶线性系统的闭环特征方程为 注意 n阶系统的劳斯阵共有n 1行 3 5 2劳斯 Routh 稳定判据 48 1 稳定的必要条件系统特征方程 稳定的必要条件 2 如果系统满足稳定必要条件 且劳斯阵列的第一列系数全部大于零 则系统稳定 3 劳斯阵列的第一列系数的符号改变的次数等于正实部根的个数 2劳斯稳定判据 49 例3 7已知系统特征方程 试用劳斯稳定判据判断该系统的稳定性 解 1 特征方程中各项系数 0 满足必要条件 2 构造劳斯阵列 第一列系数符号变化两次 系统不稳定即有两个不稳定特征根 15 3 5 由 到 符号变化1次 由 到 符号变化1次 注 某行同乘或同除一个正数 结果不变 50 例3 8已知系统特征方程 试用劳斯稳定判据判断其稳定性 解 1 特征方程中各项系数 0 满足必要条件 2 构造劳斯阵列 第一列系数全部大于0 所以系统稳定 1510 35 15 10 51 例3 9已知系统特征方程 试用劳斯稳定判据判断其稳定性 解 1 特征方程中各项系数 0 满足必要条件 2 构造劳斯阵列 13102615 05 2 52 特殊情况1 劳斯阵列中某导出行的第一项为零 而该行不全为零或没有余项则 方法1 以很小的正数 代替零项 继续计算劳斯阵列 令 0 检验劳斯阵列第一列符号的变化 有符号变化 符号变化次数为正实部根的个数 系统不稳定 无符号变化 有纯虚根存在 系统临界稳定 不稳定 方法2 用 s a 乘以原方程 其中a 0 再对新方程应用劳斯判据 特殊情况2 劳斯阵列中某导出行全为零 用全零行上行各元素构造辅助多项式 并对辅助多项式求导 用其系数代替全零行 继续计算劳斯阵列 有等值反号根存在 且符号变化次数为正实部特征根的个数 系统不稳定 由辅助方程可求出这对等值反号的根 3劳斯判据特殊情况 53 15 2 5 15 由 到 符号变化1次 由 到 符号变化1次 令 0 该系统不稳定 且符号变化两次 即有两个实部为正的特征根存在 方法1 用 代替0 54 方法2 用s 1乘以原特征多项式 重新构造劳斯阵列 1516153925 223 315 5 25 2 29 215 74 29 15 该系统不稳定 由 到 符号变化1次 由 到 符号变化1次 符号变化两次 即有两个实部为正的特征根存在 55 例3 10已知系统特征方程 试确定不稳定特征根 解 1 2 7 4 1 3 4 1 3 4 00 4 6 1 5 4 12 5 1 5 4 不稳定特征根为 2 3 56 解 1 特征方程中各项系数 0 满足必要条件 2 构造劳斯阵列 1124172 149 41636 83272 00 149 48 29 2 5 9 该系统不稳定 且符号变化两次 即有两个实部为正的特征根存在 此外 由辅助方程得到 12 例3 11 57 判断系统稳定性确定给定系统参数范围 说明 1 稳定性问题 2 给定稳定度问题或称为相对稳定性问题 解 1 确定K1闭环传递函数 4劳斯判据应用 58 闭环特征方程 劳斯阵列 17500 34 67500K1 7500K1 系统稳定的充要条件 34 6 K1 0 K1 0 0 K1 34 60 59 2 将 s 的纵轴向左平移 劳斯阵列 17433 8 31 67500K1 7466 4 7500K1 7466 4 根据稳定充要条件 1 K1 32 3 1 即令 s s1 1 代入闭环特征方程 得 60 设n阶线性系统的闭环特征方程为 线性系统稳定的必要条件 特征方程各项系数大于0 稳定的充分必要条件 由特征方程各项系数构成的主行列式 及其顺序主子式全部为正 3 5 3赫尔维茨 Hurwitz 稳定判据 P112例3 7 61 3 6 1误差定义及稳态误差计算 1两种误差的定义定义1 从输入端定义误差 E s R s H s C s 给定 测量 定义2 从输出端定义误差 E s R s C s 希望的输出 实际输出 应指出 E s 是有实际意义的 而E s 只有数学意义 2两种误差的关系 对单位反馈系统 有 3 6线性系统稳态误差计算 62 3误差传递函数及稳态误差计算 应用条件 E s 除原点外 在虚轴和右半平面解析 显然 利用L变换终值定理只能求出误差终值 确定值或 无法获得稳态误差随时间的变化ess t 63 单位反馈系统开环传递函数G s 1 Ts 输入信号r t 1 t t t2 2以及r t sin t t 0 求系统稳态误差ess 解 误差传递函数 1 sE s 在 s 的右半平面处处解析 没有极点 故应用终值定理 2 例3 13 64 3 L 1反变换 4 E s 在虚轴上有极点 所以不能使用终值定理 65 设系统开环传递函数为 对于反馈系统 有 其中 K为开环增益 i Tj分别为一阶微分环节和惯性环节的时间常数 为开环传函包含的积分环节个数 即原点处开环极点的个数 3 6 2系统类型 66 定义 开环传递函数包含积分环节的个数称为系统的型别 或类型 零型系统 型系统 型系统 注意 1 除了复合系统外 的系统一般难以稳定 2 系统型别 systemtype 开环包含积分环节个数 系统阶次 如 First ordersystem second ordersystem higher ordersystem 闭环传函分母最高阶次 所以除航空航天外 型及以上系统一般不采用 67 1阶跃输入 Kp定义为静态位置误差系数 结论 0型系统能跟踪阶跃输入但有位置误差 型及以上系统能完全跟踪阶跃输入 3 6 3典型输入作用下的稳态误差及静态误差系数 68 2斜坡输入 Kv定义静态速度误差系数 0型系统不能跟踪斜坡输入 型系统能跟踪斜坡输入 但有稳态误差 型及以上系统 能准确跟踪斜坡输入 无稳态误差 结论 69 3加速度输入 Ka定义为静态加速度误差系数 0 型系统不能跟踪加速度输入 型系统能跟踪加速度输入 但有稳态误差 型及以上系统 能准确跟踪加速度输入 无稳态误差 结论 70 表3 1典型输入作用下的稳态误差 K 0 K 0 0 K 0 0 0 0 0 0 系统型别越高 跟踪信号能力 但稳定性 动态性能 静态误差系数定量描述系统对各种典型输入的跟踪能力 在设计时 在输入形式及容许误差确定后 可根据静态误差系数确定系统型别和开环增益K 注 71 系统稳态误差 解 开环传递函数G s 即本系统为K 1的 型系统 其静态误差系数 例3 14系统如图 计算当r t 1 t t t2 2时 72 主要应用 研究非典型输入下的稳态误差 也称广义误差系数 1定义系统误差传递函数 当上述级数收敛于s 0时 称为误差级数 注意 它收敛于s 0 即相当于t 时成立 当所有初始条件为零时 拉氏反变换 s的函数 3 6 4动态误差系数 73 动态误差系数 2几点说明 动态 是指可完整描述ess t 的变化规律 而不是指ets t 描述的误差级数是在t 时才成立 动态位置误差系数 动态速度误差系数 动态加速度误差系数 所以在r t 中随t 趋于0的分量不应包含在这个式子中 c0 c1 c2亦可作为性能指标 习惯称 74 3动态误差系数的计算 按定义计算 当系统阶次较高时 计算较繁 用长除法设系统开环传递函数 在一个特定的系统中 动态误差系数与静态误差系数的关系 零型系统 型系统 型系统 误差传递函数 利用长除法 75 求r t sin5t时的ess t 解 其中 0 5 对上述级数求和 即在正弦输入作用下 其稳态误差为幅值 0 055的余弦信号 且K ci s 0 01s2 0 001s3 0 09s2 0 001s3 0 09s2 0 0009s3 0 00009s4 s 0 09s2 0 0019s3 0 0019s3 0 00009s4 例3 15单位反馈系统开环传函 76 1扰动作用下误差的定义 1 从输入端定义 2 从输出端定义 r t 0时 理想的系统输出为零 2在扰动作用下 系统稳态误差的计算 用L变换终值定理 用动态误差系数的方法 反映系统抗扰能力 3 6 5控制系统在扰动作用下的稳态误差 77 解 由结构图知该 系统为 型的 当N s 0 R s R0 s时 ess 0当R s 0时 系统在扰动下的输出 而希望的输出为零 因此误差信号为 例3 16系统如图 R s R0 s N s n0 s 求稳态误差 该例说明ess 0时 essn并不一定为零 78 解 系统在扰动下的误差传递函数 而希望的输出为零 因此误差信号为 在s 0的邻域 应用泰勒级数展开 例3 17系统如图 r t 0 负载扰动n t t