自动控制原理 第4章 根轨迹法.ppt

第4章根轨迹法 主要内容 4 1根轨迹法的基本概念4 2根轨迹方程4 3用根轨迹分析控制系统4 4用MATLAB绘制根轨迹 4 1根轨迹法的概念根轨迹是开环系统某一参数由零变化到无穷时 闭环系统特征方程式的根 闭环极点 在平面上变化的轨迹 它是一种由开环传函求闭环特征根的图解方法 利用根轨迹法可以研究系统某个参数的变化对控制系统闭环传函数极点分布的影响 例 系统为单位反馈控制系统 其开环传递函数为 将其写成零极点形式 闭环传递函数为 系统的特征方程为 两个特征根 或闭环极点 是 若令开环增益 等价的 从零变到无穷大 可以解出相应的闭环特征根的全部值 当kk 0时s1 0 s2 2 此时闭环极点与开环极点合当0 kk 1时s1 s2分别位于实轴区间上 当kk 1时s1 s2 1 两个闭环极点相遇当kk 1时s1 s2位于过点且平行于虚轴的直线上当kk 时s1 s2将趋于无穷远处 将这些闭环特征根的数值标注在平面上 连成光滑粗实线 就是系统的根轨迹 如下图所示 根据根轨迹图可知 对任意 大于零 控制系统的闭环极点都位于左半平面 系统是稳定的 当01时两个闭环极点为 负实部 共轭复极点 系统为欠阻尼二阶系统 其单位阶跃响应是振荡的 有超调 可以根据根轨迹决定反馈控制系统的型别 根据系统的型别和开环增益就可以决定系统的稳态性能 根轨迹与系统性能之间有着密切的联系 所谓根轨迹法根据系统的结构 参数 即系统的开环传递函数 给出系统的根轨迹图 并利用系统根轨迹对系统进行分析和设计 由此可见 根轨迹法的关键是先要给出系统的根轨迹图 4 2根轨迹方程根轨迹是系统所有闭环极点的集合 设系统的闭环传递函数为 令闭环传递函数表达式的分母为零 得 或上式为根轨迹方程 其实质就是系统的闭环特征方程 由于是复数 必然也是复数 所以上式可改写为 将上式分成两个方程 可以得到上式分别称为根轨迹的幅值条件和相角条件 若将系统开环传递函数写成零 极点的形式式中zj表示开环零点 pi表示开环极点 kg 0为开环根轨迹增益 它与开环增益kk之间仅相差一个比例常数 于是根轨迹方程可描述为 相应的幅值条件和相角条件可描述为根轨迹上的点应同时满足的两个条件 幅值条件和相角条件 由于幅值条件与有关 而相角条件与无关 所以满足相角条件的任一点 代入幅值条件总可以求出一个相应的值 也就是说满足相角条件的点 必同时满足幅值条件 所以相角条件是确定平面上根轨迹的充要条件 注意 绘制根轨迹时 只需要使用相角条件 只有当需要确定根轨迹上各点的对应的值时 才使用幅值条件 常规根轨迹及其绘制绘制根轨迹时 需将开环传递函数化为用零 极点表示的标准形式以根轨迹增益或开环增益为可变参数绘制的根轨迹称为常规根轨迹 法则1根轨迹起始于开环极点 终止于开环零点 对于实际的物理系统 开环零点数m一般小于或等于开环极点数n 法则2根轨迹的分支数与开环有限零点数和有限极点数中的大者相等 它们是连续的并且对称于实轴 法则3当开环有限极点数大于开环有限零点数时 有条根轨迹分支沿着与实轴交角为 交点为的一组渐近线趋向无穷远处 且有 法则4实轴上的某一区域 若其右边开环实数零 极点个数之和为奇数 则该区域必是根轨迹 法则5两条或两条以上根轨迹分支在平面上相遇又立即分开的点 称为根轨迹的分离点 或会合点 分离点坐标由下式决定 由于根轨迹对称于实轴 所以分离点或位于实轴上 或以共轭形式成对出现在复平面中 法则6始于开环复数极点处的根轨迹的出射角和止于开环复数零点处的根轨迹的入射角可分别按下式计算 法则7若根轨迹与虚轴相交 则交点处的Kg值和值可用劳斯判据确定 也可令闭环特征方程中的 然后分别令其实部和虚部为零而求得 注意 正反馈系统根轨迹的幅值条件与常规根轨迹完全相同 仅相角条件有所改变 因此 前面介绍的常规根轨迹绘制法则原则上可以应用于零度根轨迹的绘制 但涉及到相角条件的一些法则 应作如下调整 法则3渐近线与与实轴的交角应改为法则4根轨迹在实轴上的分布应改为 实轴上的某一区域 若其右边开环实数零 极点个数之和为偶数 则该区域必是根轨迹 法则5始于开环复数极点处的根轨迹的出射角和止于开环复数零点处的根轨迹的入射角可分别按下式计算 除以上三个法则外 其他法则不变 4 3用根轨迹分析控制系统得到了系统的根轨迹 就可以用它来分析控制系统的性能 即通过系统根轨迹的形状 走向和一些关键点 如与虚轴的交点 与实轴的交点等 等 对控制系统的稳定性 稳态特性和动态特性进行分析 根轨迹法的基本任务就是根据已知开环零 极点的分布及开环根轨迹增益 通过图解的方法找出系统的闭环极点 增加零 极点对根轨迹的影响 在开环传递函数中增加极点 可以使根轨迹向右方移动 从而降低系统的相对稳定性 增加系统响应的调整时间 注意 增加积分控制相当于增加位于原点的极点 因此降低了系统的稳定性 开环传递函数中增加零点 可以导致根轨迹向左方移动 从而增加系统的稳定性 减小系统响应的调整时间 4 4用MATLAB绘制根轨迹在应用MATLAB画根轨迹时 需要将根轨迹方程 闭环特征方程 写成如下形式式中为分子多项式 为分母多项式 二者都必须写成的降幂形式 通常采用下列MATLAB命令画根轨迹 rlocus num den 其中 num和den分别为多项式和的系数向量 利用该命令 可以在屏幕上得到画出的根轨迹图 增益向量自动确定 对于定义在状态空间内的系统 则采用下列命令rlocus A B C D 如果用户需要自己定义增益向量 则上述命令相应变为rlocus num den K 及rlocus A B C D K 若引入左端变量 即 r K rlocus num den r K rlocus num den K r K rlocus A B C D r K rlocus A B C D K 屏幕上将显示矩阵和增益向量 利用绘图命令plot r 画出根轨迹 如果在画根轨迹时 希望标上符号 或 则需要采用下列命令 r rlocus num den plot r o 或plot r x 如需在根轨迹图上画定常线和定常圆 可以用下面的命令 sgrid 例绘制下图所示系统的根轨迹 选择根轨迹图的区域为 式中x和y分别为实轴坐标和虚轴坐标 解 将MATLABProgram4 1输入到计算机中 可得到系统的根轨迹图 如后图所示 MATLABProgram4 1num 00013 den 1520160 rlocus num den v 66 66 axis v title Root LocusPlotofG s K s 3 s s 1 s 2 4s 16 在MATLABProgram4 1中 若用den conv 110 1416 代替den 1520160 所得出的结果相同 利用MATLABProgram4 1产生的根轨迹图 例考虑具有如下开环传递函数的系统绘制系统根轨迹 解 利用MATLABProgram4 2可得到系统的根轨迹图 如后图所示 MATLABProgram4 2num 00001 den 11 110 350 r rlocus num den plot r o v 66 66 axis v grid title Root LocusPlotofG s K s s 0 5 s 2 0 6s 10 xlabel RealAxis ylabel ImagAxis 若由用户定义值 如MATLABProgram4 3所示 则得到下页图所示的根轨迹图 利用MATLABProgram4 2产生的根轨迹图 MATLABProgram4 3num 00001 den 11 110 350 K1 0 0 2 20 K2 20 0 1 30 K3 30 5 1000 K K1K2K3 r rlocus num den K plot r o v 44 44 axis v grid title Root LocusPlotofG s K s s 0 5 s 2 0 6s 10 xlabel RealAxis ylabel ImagAxis 若由用户定义值 如MATLABProgram4 3所示 则得到下图所示的根轨迹图 利用MATLABProgram4 3产生的根轨迹图 例若系统状态方程为其中 绘制系统根轨迹 解 将MATLABProgram4 4输入到计算机中 可得到系统的根轨迹图 如下页图所示 利用MATLABProgram4 4产生的根轨迹图 MATLABProgram4 4A 010 001 160 56 14 B 0 1 14 C 100 D 0 K 0 0 1 400 rlocus A B C D K v 2020 2020 axis v sgrid title Root LocusPlotofSystemDefinedinStateSpace 例已知 应用MATLAB画根轨迹 确定阻尼比为0 5的闭环极点 并求该点上的增益值 解 输入MATLABProgram4 5 可以画出根轨迹图如后图所示 同时在命令窗口中出现提示 Selectapointinthegraphicswindow移动鼠标将活动的十字坐标原点移到上半部根轨迹分支与的直线的交点处 然后点击鼠标 于是命令窗口中会显示这一点的坐标 这一点上的增益值以及与这一增益值相对