数学建模省三等奖论文.docx

1、 问题的重述食品价格是居民消费价格指数的重要组成部分，食品价格波动直接影响居民生活成本和农民收入，是关系国计民生的重要战略问题。国家统计部门定期统计50个城市主要食品平均价格变动情况，数据见附件1。居民消费者价格指数（CPI），是根据与居民生活有关的产品及劳务价格统计出来的物价变动指标，通常作为观察通货膨胀水平的重要指标。附件2提供了近期居民消费者价格指数数据。请根据以上信息建立数学模型解决以下问题：（1）根据附件以及相关统计网站的数据，分析我国食品价格波动的特点。（2）对2014年5月份食品价格走势进行预测。（3）目前统计部门需要监测大量食品价格变动情况以计算居民消费者价格指数变动情况，能否仅仅通过监测尽量少的食品种类价格即能相对准确地计算、预测居民消费者价格指数？在同样精度要求下，不同地区所选取的食品种类以及种类数目是否一致？请至少选择两个有特点的城市进行说明。二、问题的分析 居民消费者价格指数是一个波动的量，它客观地表征了通货膨胀的水平。而造成它波动的因素是构成它的食品、烟酒及用品、衣着、家庭设备用品及维修服务、医疗保健和个人用品、交通和通信、娱乐教育文化用品及服务、居住等八个大类的价格波动。其中，食品价格是消费者价格指数的重要组成部分，要解决以上三个问题必须清楚食品价格的变化规律以及影响因素等。 针对问题一，若要分析食品价格的波动特点，必须运用统计学原理对附件所给数据和所查数据进行统计分析，求出食品价格这一随机变量的统计特征。由于影响不同类食品价格变化的因素不同，其变化规律也有一定差异，需要在分析食品价格总体变化的基础上分析各类食品价格的变化以及特征值。对问题一的分析主要用到的工具将会是Excel和MATLAB。 针对问题二，预测五月份食品价格的走势必须要建立合理的预测模型，这个模型必须要很好地符合之前的统计数据。由于影响食品价格的因素很难量化，需从前期数据出发用所选模型对数据进行训练得出,短期预测模型中灰色预测与神经网络都是不错的选择。针对问题三，是否可以用一种食品的价格变动情况来计算居民消费者指价格数实质上是求CPI对每一种食品的灵敏度，也即判断每种食品的价格指数与CPI的相关性大小。所以需要建立模型求解每种食品与CPI 的相关性，并选择相关性大的食品种类作为判断居民消费指数的依据。3、 基本假设1. 附件所给数据与所查的数据均真实有效2. 食品价格变化具有一定的规律性2. 短时间内影响食品价格的因素不会发生剧烈变化3. 缺失数据对问题的求解不产生影响4、 符号说明与变量定义1. CPI：居民消费价格指数2. ：食品类价格指数（例如粮食类、油脂类）3. ：各种食品价格指数（例如大米、面粉）；Q：价格指数矩阵4. ：价格指数向量（矩阵）；：紧邻均值生成序列5. ：CPI矩阵；B：系数矩阵五、模型的建立与求解5.1 基于定基价格指数对食品价格波动特点的分析 50个城市主要食品平均价格变动数据，27类食品价格之间的差值有的很小而有的很大，例如鸡肉价格为19元左右，而牛羊肉的价格为50多元，若将他们放在同一个折线图中来比较，由于几个差距较大，纵坐标的跨度非常大，很难通过折线图直观的来统计观察出各个食品价格的波动趋势。因此不能直接选用价格数据来进行波动特点分析，必须引入食品价格指数来进行价格波动分析。5.1.1 食品分类以及食品价格指数1.为便于统计和分析，本文参照中华人民共和国国家统计局的食品分类的标准，将全国50个城市主要食品平均价格变动数据中统计的食品分成了七类：粮食类（大米，富强粉，标准粉）油脂类(菜籽油、大豆油、花生油)，肉禽类(猪后臀肉，猪五花肉，牛腿肉，羊腿肉，白条鸡，鸡胸肉，白条鸭)，水产品(带鱼、活草鱼、活鲤鱼)，鲜菜类(芹菜、大白菜、油菜、黄瓜、豆角、西红柿、土豆)，鲜果类(、苹果、香蕉)，鲜蛋类 (鲜鸡蛋)。2. 价格指数是反映不同时期一组商品（服务项目）价格水平的变化方向、趋势和程度的经济指标，是经济指数的一种，通常以报告期和基期相对比的相对数来表示。价格指数是研究价格动态变化的一种工具。价格指数分为环比价格指数，同比价格指数，定基价格指数。根据本题的数据和实际情况本文采用定基价格指数。定基价格指数是指在一定时期内对比基期固定不变的价格指数，首先选定基期（本文在这里是选择13年11月11至20日的食品价格为基期），再用报告期与基期价格相比计算定基价格指数。在这里，本文采用了食品类价格指数进行问题的分析。某类食品价格指数：，其中为同一时间每一类食品中选取的个调查样本的价格指数。采用价格指数这一指标，不仅使不同类食品的零售价格具有可比性，而且能直观地看出食品价格的变化幅度（计算所得此价格指标见附录表一）。根据求得的数据做出各类食品价格指数随时间的变化折线图如下：5.1.2食品价格波动分析 总体来看，根据数据以及折线图分析，可将七大类食品价格波动趋势分为3类：1.有明显的季节特征，鲜菜价格根据季节的不同而价格有所波动。2. 明显的节日特征：水产品价格，鲜蛋价格都在春节附近有较大的波动，都具有明显的节日特征。3.价格整体平稳，略有升降：粮食价格，油脂价格，肉禽价格，虽然价格有升有降，但是价格整体平稳，升降的幅度都很小。4. 价格一路大幅度上升：鲜果价格随着时间的推移一路上涨，并且涨幅非常大。1.季节特征（1）鲜菜价格波动特点： 鲜菜价格的波动有明显的季节性，在秋季蔬菜产量较多时既11与中旬到12月中旬鲜菜价格下降，进入冬季蔬菜产量减少既从12月下旬到2月上旬鲜菜价格上涨并且上涨幅度很大，进入春季后由于蔬菜产量的上升鲜菜价格大幅下跌。从价格指数上可以很直观的分析出鲜菜价格的涨跌幅度，从11月中旬的97%到12月中旬的93%，再到2月上旬的119%，再到4月中旬的95%，从中我们可以分析出鲜菜价格的巨大涨跌幅度。从价格指数折线图我们可以分析出鲜菜价格随着季节的变换而上涨或下跌，鲜菜价格折线图整体呈s型，具有明显的季节性。2.节日特征（1）水产品价格波动特点： 水产品价格波动具有明显的节日特征，在春节附近水产品价格大幅度上涨，而在春节过后水产品价格急剧回落，这在于春节附近各家各户对水产品的需求量大增，导致水产品的价格大幅度上涨，而在春节后人们对水产品的需求量减小，从而导致了水产品价格的急剧下跌。从接个指数来看，11月中旬的价格指数到1月上旬的价格指数基本不变，而从1月中旬到2月上旬价格指数一路上涨，体现出水产品的价格上涨，而从2月中旬到3月上旬水产品价格下跌，之后价格逐渐平稳。这体现出了水产品具有明显的节日特征。（2）鲜蛋价格波动特点： 鲜蛋价格具有明显的节日特征，和水产品具有互补性。在春节前后鸡蛋的价格大幅度下跌而在春节过后，鲜蛋的价格有回升，且鸡蛋价格的涨跌和水产品具有互补性，水产品上涨，鸡蛋下跌，水产品下跌，鸡蛋上涨。从中可以分析出鸡蛋和水产品互为替代品，几个的涨跌具有相反性。3.反季节食品价格大幅度波动（1）鲜果价格波动特点： 鲜果价格一路走高且涨幅很大，从11月中旬到2月上旬价格涨幅非常大，且一路上涨，以2月上旬为拐点，从2月中旬开始到4月中旬鲜果价格上涨幅度减小，但仍然一路上涨。鲜果价格指数最大值为129.6824%，最小值为100.4536%，平均值为116.9201%。分开来看富士苹果的最高价为12.09元/千克，最低价为11.34元/千克，平均价为11.63元/千克；香蕉的最高价为7.94元/千克，最低价位6.77元/千克，平均价位7.17元/千克，从中可以具体的分析出香蕉和苹果的价格涨幅是非常大的。从价格指数折线图可以看出鲜果价格的具体波动特点为价格一路上升，且涨幅非常大。4.主食食品价格平稳波动幅度小（1）粮食价格波动特点： 根据全国50个城市粮食价格指数折线图，可以分析出粮食价格整体走势平稳，逐步上升趋势但上升幅度很小，大米的平均价格为5.87元/千克，最高价格为5.95元/千克，最低价格为5.76元/千克，富强粉的平均价格为5.47元/千克，最高价格为5.6元/千克，最低价格为5.35元/千克，标准粉的平均价格为4.49元，最高价格为4.5元/千克，最低价格为4.46元/千克。从这些指标都可以看出粮食价格走势平稳且价格波动幅度不大。（2）油脂价格波动特点： 油脂价格整体平稳，略有波动，但波动幅度很小，油脂价格在11月下旬到12月下旬价格呈下降趋势，从12月下旬到2月下旬价格呈上升趋势，从2月下旬到4月中旬价格呈下降趋势。油脂类食品的价格指数最大为101.4968%，最小为98.5375%，平均数为101.6891%，从这些价格指数的波动范围可以清楚的分析出油脂价格整体平稳，从折线图可以分析出油脂价格的波动趋势，大致成s型。（3）肉禽价格波动特点： 肉禽价格整体平稳，有小幅度的波动，肉禽价格从11月中旬到2月上旬价格上涨，但是涨幅很微小，从2月中旬到4月中旬价格下降，下降幅度比上升幅度略大，但整体来说下降幅度仍然不大。油脂类食品的价格指数最大为101.4968%，最小为95.5804%，平均数为99.4539%，价格指数的最大与最小值和平均值相差很小，从中可以分析出肉禽价格的波动幅度小，从折线图可以看出肉禽类价格的走势先上升后下降。5.2 食品价格走势的GM(1,1)灰色预测法结合问题（1）求得的各类食品价格指数，本文最终采取GM(1,1)灰色预测法对4月最后十天以及5月份的食品价格走势进行预测。5.2.1GM(1,1)灰色预测法的基本步骤 (1)对原始数据序列作一次得累加生成新数据序列。假设某项指标的历史监测数据数序列为=， ，对做依次累加得新数据序列； (2)构建灰色GM(1,1)模型相应的微分方程; (3)构造累加生成矩阵B 和数据向量Yn; (4)利用最小二乘法求解系数矩阵; (5)求解GM(1,1)方程,得出GM(1,1)的白化预测模型解; (6)求解原始数据的还原预测值。 在实际应用中，为了达到较高的精度要求，往往还要进行残差检验，求得还原预测值与真实值之间的残差值和相对误差，如果相对误差超过10%，则需对模型进行修正。（下面用模型求解问题时将不再赘述）5.2.2灰色GM（1,1）建立模型根据七大类食品前十六组数据，分别取每一类食品后四组数据，即每类食品3月11-20日，3月21-30日，4月1-10日，4月11-20的价格指数，去推测4月21-30日，5月1-10日，5月11-20,5月21-30日的价格。（注，为方便起见此处价格皆用价格指数代替）3月11-20日3月21-30日4月1-10日4月11-20粮食价格1.0229221.0276281.0285511.027545油脂价格0.9971350.996080.9906430.985375肉禽价格0.9760470.9690230.9632460.955804鲜蛋价格0.9778230.9838710.9828631.006048 水产品价格1.0083321.0057981.0057081.004209鲜菜价格1.0749011.0359050.9991350.952625鲜果价格1.2521031.2602531.2704261.296824(1)对第一组数据（粮食价格）有=1.0229221.0276281.0285511.027545(2)1-AGO生成序列=1.022922 2.05055 3.079101 4.106646(3)紧邻均值生成序列=1.536736 2.5648255 3.5928735其中=（）+），k=2,n(4)建立灰色微分方程+a=u其中a、u为未知参数，记为=（）=B= =(5)对应的白化方程(6)解的离散化形式为=（-）+,k=1,2,n(7)I-AGO还原序列=, 其中=-, 则得出=1.022922 1.0279495 1.027908 1.0278665 1.027825 1.0272478 1.027242 1.0268555则4月21-30日，5月1-10日，5月11-20,5月21-30日的粮食价格分别为1.027825，1.0272478，1.027242，1.0268555。其他类价格同理可得：4月21-305月1-105月11-205月21-30粮食价格1.0278251.0272481.0272421.026856油脂价格0.980040.9747950.9695360.964331肉禽价格0.9495480.9425760.9361560.929442鲜蛋价格1.0133931.0315861.0428481.059031水产品价格1.0036511.0024671.0017021.000659鲜菜价格0.9154770.8748390.8391780.802743鲜果价格1.31291.3363531.3553971.377893 根据上表和问题（1）中的价格指数折线图补全其走势曲线（虚线部分）由上图虚线部分可以得出各类食品价格走势特点为：1.粮食类食品价格将持续上升；2.水产品和鲜蛋价格基本平稳；3.油脂和肉禽价格持续下降；4.鲜菜价格会有大幅度降低；5.鲜果的价格将迅速上升。利用预测出的价格指数，可以进一步求得具体食品的预测价格（见附录表二）5.3 多元线性回归分析不同城市各种食品价格与CPI的相关性 本文选取西安和武汉两个具有代表性的城市对各类食品价格和CPI进行了分析。首先，通过查寻当地相关的官方网站获取所需的数据，并对数据进行初步的处理与汇总得到西安市各类食品价格指数表（详见附录表三）。5.3.1 西安市各种食品价格与CPI相关性分析为使得食品价格跟CPI有较好的线性关系，本文将价格信息均转化为价格指数信息，但从表“西安市各类食品价格指数”中不能直接看出那种食品的影响因素大，与CPI变化较为同步。1. 预排除相关性不大食品类型 根据统计表，绘制出西安市各种食品价格指数与CPI折线图，通过观察分析剔除相关性较小的食品种类。 通过对比每类食品价格指数与CPI关系可以发现：当大米，面粉（富强粉），花生油，羊肉，草鱼，苹果，大白菜价格指数发生较大变动是，CPI的波动也较大。2. 多元线性回归模型分析 为探究是否可用更少的食品价格反映CPI的变化以及很好地计算它，本文采用多元线性回归模型对CPI和大米价格指数、面粉价格指数等对居民消费价格指数有直观影响的价格指数进行分析，剔除实质影响不大的因素，替代与其他食品有较大相关性的因素。建立多元线性回归方程如下：其中y为居民消费者价格指数（CPI）,x为各类食品价格指数，b为偏回归系数，a为误差与常数项之和。将上式写成矩阵形式：代入2013年1月至2014年2月共14组数据得 求解得,为B最小平方估计向量。3. spss求解偏回归系数 求解上面矩阵方程的工作可由spss软件实现，在spss中选用逐步回归法处理数据，发现：只有面粉，羊肉，花生油，草鱼价格指数进入了模型，而大米的价格指数因跟面粉有较大相关性被替代，苹果、大白菜价格指数因与CPI相关性不大而被剔除。最终的结果为：spss回归分析结果面粉（富强粉）羊肉花生油草鱼偏回归系数-0.58-0.3270.510.42常数项110.457由附表知2014年3月数据为：CPI,102.3;面粉价格指数，115.97；羊肉价格指数，104.22；花生油价格指数，104.76；草鱼价格指数，94.11。带入多元线性回归方程得y=102.07，误差相对较小。5.3.2 武汉市各类食品价格与CPI关系分析采用与分析西安市相同的方法，首先对数据进行预处理得到各种价格指数统计表（附录表四），画图（附录图一）分析出可能影响较大的食品类别，分别是大米、菜籽油、鸭、带鱼、鸡蛋、西红柿、芹菜、香蕉的价格指数。同样建立多元线性回归方程，用spss处理数据，结果是大米、菜籽油、鸭、鸡蛋、草鱼、芹菜的价格指数对CPI有较好的复合线性关系，影响也较大。由第三问的模型可得，可以用较少种类的食品指数相对准确地预测居民消费者价格指数。并且，不同城市所选取的食品种类和数目一般是不同的。需要说明的是，本问求解是基于同比价格指数来研究各类食品价格指数与CPI的关系的，因而关注的是长期而言，各类食品价格与CPI相关性的大小。在用该模型对CPI进行预测时，需要换算出所需食品的同比价格指数，这同时也解释了此模型下，价格指数短期驱动力蔬菜与水果为何没有进入模型。6、 结果分析与模型评价 针对问题二采用灰色预测模型所得的结果，本文采用多种方式对其精度进行检验，具体过程如下：（1）残差检验=, 其中=-，得 =1.0e-003 *0 0.0952 -0.1904 0.0952相对残差序列q=, ，得q =1.0e-003 *0 0.0926 -0.1853 0.0927其中=平均误差 =，得 =9.2650e-0052）后验差检验原始数据的平均值、均方差计算，得=1.0275，得=2.7856e-004绝对残差的平均值、均方差计算，得=5.1679e-009，得=1.3461e-004后验差比值计算C=，得C= 0.4833误差概率计算，得p=1关联度检验，得r=0.2500后验差比值C小误差概率p关联度r粮食价格0.43310.7543油脂价格0.01510.8349肉禽价格0.13910.8413鲜蛋价格0.28210.7462水产品价格0.36810.8498鲜菜价格0.15910.9082鲜果价格0.26710.8404得出 对比下表精度等级后验差比值C小误差概率p关联度r一级0.350.950.9二级0.50.80.8三级0.650.70.7四级0.80.60.6得出结论：预测的价格的可信度较高。针对问题3采用的多元线性回归模型，该模型的优点是可以处理多自变量的因变量预测计算问题，同时，该模型需要建立在大量的数据统计上，数据越多，结果越准确。在spss的帮助下，可以用该模型处理足够多的自变量，但由于数据统计工作的繁杂和数据本身有缺失，本文结合了图表分析预先剔除了较多的自变量，这对结果可能有一定影响。另外，即便可能是相关性不大的变量也有可能因为数据不足而产生误差，这是多元线性回归模型的普遍问题。为了准确起见，还可以用其他的回归方式分析数据，对本模型进行优化。所以，在数据足够多的情况下，本模型可以推广至社科统计的各方面，对于研究多变量控制的统计量有很好的效果。参考文献：1 曹旭东.数学建模原理与方法M.北京：高等教育出版社，20142 党耀国.灰色预测与决策模型研究M.北京：科学出版社，20093 滕素珍，刘羽，于建冲.价格预测模型及算法J.大连理工大学学 报：95,35（5）:593-5954 谢宇著.回归分析M.北京：社会科学文献出版社，20135 吴明隆, 涂金堂.SPSS与统计应用分析M.大连：东北财经大学出版社，2012附录：表一：全国50个城市各类食品价格定基比指数（以13年11月11-20日为基期）表二：全国50个城市4月下旬及五月各种食品价格预测表三：西安市2013年1月至2014年3月各种食品价格指数（上年同月=100）表四：武汉市2013年2月至2014年4月各种食品价格指数图一：武汉市各种食品价格指数统计折线图 问题（2）中价格指数矩阵运算及精度检验的MATLAB实现 clear;%输入原始数据和预测长度x0= ;x= ;n1=length(x0);n2=length(x);%进行1-AGO生成x1=zeros(1,n1);x1(1,1)=x0(1,1);for k=2:n1 x1(1,k)=x1(1,k-1)+x0(1,k);end%进行紧邻均值生成z1=zeros(1,n1-1);for k=1:n1-1 z1(1,k)=0.5*x1(1,k)+x1(1,k+1);end%计算矩阵B和向量ynB=zeros(n1-1,2);yn=zeros(n1-1,1);for k=1:n1