最小二乘法 北师大.ppt

1 8最小二乘估计 汝南高中 相关关系 是指变量之间存在着不严格不确定的数量依存关系 即当一个或几个相互联系的变量取一定数值时 与之相对应的另一个变量的取值往往不确定 但它一般按某种规律在一定范围内变化 X任何y不唯一 用散点图可判断两变量是否是相关关系 如果变量之间存在着某种关系时 这些点会有一个集中的大致趋势 这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似 这样近似的过程称为曲线拟合 若两个变量的散点图看上去都在一条直线附近波动 则称变量间是线性相关的 此时 我们可以用一条直线来近似 如 若所有点看上去都在某条曲线 非直线 附近波动 这称此相关为非线性相关的 如果所有点在散点图中没有显示任何关系 均匀分布 则称变量间是不相关的 问题导入 上一节课我们学习了人的身高与右手一拃长之间近似存在着线性关系 这种线性关系可以有多种方法来进行刻画 那么用什么样的线性关系刻画会更好 这就是本节课我们要讨论的问题 最小二乘估计 参考课本P48 51 用什么样的线性关系刻画会更好一些 问题1 想法 保证这条直线与所有点都近 也就是距离最小 最小二乘法就是基于这种想法 问题2 用什么样的方法刻画点与直线的距离会方便有效 设直线方程为y a bx 样本点A xi yi 方法一 点到直线的距离公式 方法二 显然方法二能有效地表示点A与直线y a bx的距离 而且比方法一更方便计算 所以我们用它来表示二者之间的接近程度 问题3 怎样刻画多个点与直线的接近程度 例如有5个样本点 其坐标分别为 x1 y1 x2 y2 x3 y3 x4 y4 x5 y5 与直线y a bx的接近程度 若有n个样本点 x1 y1 xn yn 可以用下面的表达式来刻画这些点与直线y a bx的接近程度 使上式达到最小值的直线y a bx就是所求的直线 这种方法称为最小二乘法 抽象概括 这样得到的直线方程称为线性回归方程 a b为其系数 1 在回归直线方程中 b是回归直线方程的斜率 a是截距 b的含义容易理解成增加的单位数 而实际上 它代表x每增加一个单位 y的平均增加单位数 一般的说 当回归系数b 0时 说明两个变量呈正相关关系 它的意义是 当x每增加一个单位时 y就平均增加b个单位 当b 0时 说明两个变量呈负相关关系 它的意义是 当x每增加一个单位时 y就平均减少b个单位 2 回归直线必经过点 注 求线性回归方程的系数 线性回归方程 3 例题1从某大学中随机选出8名女大学生 其身高和体重数据如下表 求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程 并预报一名身高为172 的女大学生的体重 分析 由于问题中要求根据身高预报体重 因此选取身高为自变量 体重为因变量 步骤分析 1 散点图 2 回归方程 例2 上节中的练习热茶的杯数 y 与气温 x 之间是线性相关的 1 求线性回归方程 2 如果某天的气温是 30C 预测这天能卖热茶多少杯 求线性回归方程 公式法 步骤 3 代入公式 计算b a的值 4 代入公式 写出直线方程 课堂练习 1 设一个回归方程为y 3 1 2x 则变量x增加一个单位时 A y平均减少1 2个单位B y平均增加1 2个单位C y平均减少3个单位D y平均增加3个单位 2 在一次实验中 测得 x y 的四组值为 1 2 2 3 3 4 4 5 则y与x之间的回归直线方程为 A y x 1B y x 2C y 2x 1D