函数的极限(一).doc

函数的极限（一） 首先要求同学们用自己的语言，将数列和函数的极限在自变量一定趋向下的极限定义，准确地写在自己的笔记本上，并画出极限的几何意义，结合做习题，仔细体会其中的几套特殊数学语言的含义，在逻辑上弄清哪个在先，哪个在后，哪个是前提，哪个是结果。更重要的是，应努力使自己理解极限的动态过程，区别这样的研究方式与中学所学习的内容的研究方式究竟有什么不同，其本质在哪里？ 第二，要把极限的性质（以几个定理形式出现），无穷大与无穷小，无穷小运算法则，极限的运算法则，和极限存在的两个著名准则等，逐步去理解，自己给自己多提些疑问。（说到这里，我还是感觉到大多数同学还不会提问，他只能按书上的话去划线打杠杠，这实在令人失望。你没有自己的语言吗？不会用自己的语言把书上的内容讲出来，等于没有学明白！） 总之，使自己能尽快适应大学的学习内容和学习方式，否则，你很快就会落后，从差不多同一个起跑线上拉下来。 这个材料，我想针对我的教学体会，通过例子的形式，讲一些书上没有的东西，讲一些大家通常容易犯的毛病，重点在基本概念和方法。我想，通过近一个星期的教学活动，大家对极限有了初步的认识，这个材料正逢其时，讲早了，不行，讲晚了，也不行，因为后面的内容还多着呢，大家来不及消化。 我还是先把数列极限的概念进行再次消化。我提醒过大家：不要追求学习速度，把书看得飞快，只以会做书上的习题为衡量尺码，不求深入理解，这样的学习要不得。与其讲速度，不如追求深度！ 好，请大家现在消化吧！一有关数列极限概念的一些问题例1.1 若不管是怎样的正数，在A的邻域内总有数列的无穷多个项，那么能否讲数列以A为极限？解：粗看似乎数列应以A为极限，其实不然。按照数列极限的定义，是要求当充分大后，所有的项都落在A的邻域内，几何上是落在两条平行线构成的带子内。现在题目说，在这个带子内有无穷多项。但是这里笼统地说无穷多项，并没有一定包括了充分大以后的项，很可能有项序数小于的项，所以，还不能说以A为极限。例如下列数列： 可以看出，在2的邻域内（不管是怎样的正数）总有数列的无穷多项，但是此数列不以A=2为极限，它在点O的邻域内总有其无穷个项，此数列是发散的（为什么？明白吗？）。例1.2 若存在一个正数，在A的邻域里只存在数列有限多个项，那么能否讲数列不以A为极限？解：除了常数列外（包括当充分大后数列为常数的情况），可以这样讲，因为不管取多大，总有数列的项不在A的邻域之内，这样，当时，总有数列中的项，使得，所以，数列不以A为极限。例1.3 如果把极限定义中“对于任意给定的正数，总存在，.”的”任意“两个子去掉，行吗？解：NO! 肯定不行！我们看个实际例子，看看这样做会出现什么后果。数列显然是没有极限的，但如果照题目所说，将“任意”去掉，那么就可把这个数列变成有极限了。请看：给定正数，则数列从第一项起，就有 。因此按此就得出该数列的极限为0。这当然是荒谬的。原因是必须是任意的，在等数时满足那个不等式，在等时也要满足，这就是的任意性。所以定义中的“任意”两字不可以去掉，它是数列无限接近A的保证。请大家自己再另外找几个例子去试试。（学数学要学会从正反两方面去比较，有时一个反面的例子远比照葫芦画瓢式的做习题管用，因为它能启发你深入思考。你学会了吗？）例1.4如果数列的极限已经用定义加以证实，即已经满足“对于任意给定的正数，总存在，当时，恒有”。问从第1项到第项，是否还需要验证？解：NO！不需要了。定义中并没有对第项前的各项提出任何要求，也就是说，第项前的各项可以有，也可以不成立。我们关心的是第项之后的情况。例1.5 有人说，若以A为极限，那么它只能是大于A趋向A，或小于A趋向A，不能是忽然大于A，忽然小于A地趋向与A，更不能在趋向A的过程中有。你说他这样理解对吗？解：他这样理解是片面的。事实上，在极限的定义中有，这里有绝对值，也就是可以忽然大于A，忽然小于A。在趋向A的过程中出现，也是容许的。例1.6 请举出以A为极限的四种情况：（1）大于A趋向A；（2）小于A趋向A；（3）忽然大于A，忽然小于A地趋向与A；（4）在趋向A的过程中有的。对这个例子的回答就留给各位同学了。例1.7 证明 。有几个证法如下，你认为哪个对，哪个错？理由是什么？证法1：任意给出一个很小的正数，如。显然对于时，恒有下列不等式成立 。所以，这就证明了。证法2：对于任意给定的正数，欲使成立，等价于使 成立。因为 ，得到 。 故对于任意给定的正数，总存在正数，当时，恒有 成立，即。证法3：对于任意给定的正数，欲使成立，即有 注意到 ，因此只要，也即只要就行。故对于任意给定的正数，总存在正数，当时，恒有 成立，即。解：证法1显然是错的，因为它只对一个具体的正数找到了相应的正数，并没有证明对其他的任意正数，都存在相应的正数。 证法2看起来似乎有道理，简化了计算，其实也不对。原因在于由下列不等式 直接跨过中间一项，得到 ，导出，就出毛病了。因为这样的结果并不能保证 成立。证法2用缩小法确定，知识不对的。我们一般在求遇到困难时，用放大法，请见证法3，它用了放大法。 证法3是正确的，因为当时，恒有不等式 （%）成立。可能有人认为证明3也不对，因为找到的不是正好合适的一个，可能存在比这个小的也能使不等式（%）成立。我们说，即使存在这样的，也不影响上述证法的正确性。极限定义只要求当时，恒有成立，它并不考虑比小的是否满足。换言之，定义并不要求找到一个正好合适的，对从此以后的自然数有。因此，若存在一个对应于任给正数的，那么取比这个大的任何正数都可以作为。例1.8 有人看了例1.7的讨论，认为如果按证法3这样来证明，就没有一个准确的标准了。他说，我可以证明 。他的证法如下：对于任给的正数，欲使 ，那么考虑到 ，因此只要 （&）成立就可以了。于是 就可以，取。你认为他的证法对吗？若不对（肯定不对，因为极限值错了），错在哪里？解：他的证法是错的。因为对任意的正数，式（&）对于就不可能成立。在课堂上，我们严格地证明了极限存在的唯一性。如果证明了，那么不可能再证出另一个。如何将严格证明的结论运用到实际问题中，这是数学能力的具体体现。请你先找出他的错误，然后考虑唯一性定理如何体现在这个问题中。好吗？例1.9 证明数列 ：，以1为极限，其中通项在小数点后有个9。证：不难知，数列的通项还可以写为。对任给的正数，欲使成立，即有，因此只要 就行。故对于任给的正数，总存在，当时，恒有。所以 。有人要证明这个数列的极限是1.0001。他的证法如下，你看错在何处？他的证明：任给，欲使 成立，即使 ，也即为。只要就行。 故对任给，总存在，当时，恒有 ，即 。 注：我在课上曾多次要求大家自己做类似上述的练习。不知有多少人去自觉地做了？估计做的人不会多，因为我只听到只有一位同学试过。我很泄气，为什么推不动大家呢？是我的启发式教学不符合当今的学习胃口吗？我该怎样引导与启发才能使大家有所触动，有所行动？例1.10 设数列以A为极限。在这个数列中任意增加或减少有限个项后所形成的新数列仍然以A为极限。分析：在证明之前，我们从直观上看这个结论是明显成立的。因为数列是否以A为极限，主要是看当充分大后，与A的距离是否可以任意地小。在数列中去掉或增加有限个项，只能改变数列前面（包括减少或增加后的项）有限项的规律，却不会改变充分大后的规律，所以极限不变。证： 假设增加了项，并设这些增加了的个项在新数列中的下标序号最大者为。因为已知，即对任给，总存在正整数，当时，恒有。那么对于新数列，只要时，就恒有，所以有。二函数的极限上面我们花了较大的篇幅讨论了数列的极限的若干常见的错误认识，这些讨论也同样适用于函数的极限，只是函数的极限要分几种情况，并需要用有点区别的“语言”：数列极限用“”语言，要求出对应于的“门槛”；函数极限分为6种情况。1）当时函数：（）：对于任给，若总存在实数，当时，恒有，则称为在时的极限。这种情况与数列非常相似，区别仅在于数列的“自变量”是项序数，它是离散变化的；而函数的自变量则是连续变化的。相同之处都是设立“门槛”，由于自变量的不同，一个设的是正整数，而另一个设的是正数。所以函数在情况下的极限是数列极限最接近最自然的转换。2）当时函数：（）：对于任给，若总存在实数，当时，恒有，则称为在时的极限。3) 当时函数：（）：对于任给，若总存在正数，当时，恒有，则称为在时的极限。情况3）是情况1)和2)同时存在时的合并，即在自变量的两种相反的趋向下，极限相同时的情况。不是所有分别有1）和2）的函数，一定满足3）的情况。例如，。在时，；在时有。因此指数函数在时不存在极限。但是，在和时，极限都为0，故可记为。在上述3种情况下，任给，所要确定的仍然如数列极限时的“门槛”值，超过这个门槛后（，或取，则可合并为），恒有。上述语言记为“”语言。你熟悉它了吗？记住这些定义的方式，是画出他们的几何表示，即画图。请把你对上述定义的理解画出来。4）当的趋向下，要确定的是的一个去心邻域：，所以确定是这种情况下的关键。对于任给的，总存在正数，当的取值位于去心邻域之内后，恒有，则称为在时的极限。所以在的情况下，要确定的不再是门槛，而是邻域的界限。这个邻域的两端界限点和对于来说是对称的，这对具体确定邻域的界限带来不便，因为大多数函数在两边是不对称的，所以要注意如何确定这个。我在课堂上用对数函数和指数函数做了详细的演示，请大家仔细体会，并加以实际练习。5）单侧极限记号表示当大于而趋向于的过程中，函数以为极限。这叫右极限。记号表示当小于而趋向于的过程中，函数以为极限。这叫左极限。函数在处的左、右极限存在且相等，是当时极限存在的充要条件。例2.1 用极限定义证明：。证法1：对于任给的，欲使 ，等价于 。若时，即。注意到不对称的情况，故取，则当时，恒有。（这里要想清楚，为什么取绝对值形式，而不直接取？）若，那么要有，则取，则当时，恒有。证法2：对于任给的，欲使 ，当时，即时，有。这样， ，即 。 故对任给的，取，当时，恒有。可以总结出，用定义验证函数极限时，找或的方法可分为两类：一是解不等式找出或；另一种则是用缩小的方法找出或。请大家自己从做习题中体会这两类方法。例2.2 有人认为，若有，那么，即求极限就等于求函数值。这种认识对吗？给出理由。解：这种认识显然是模糊的，不准确的。应该弄清楚极限值与函数值的意义是不同的。前者研究的是在自变量的一定趋向下函数的变化趋向，如果这种趋向有确定的值，此值就是极限值；而后者是函数在处的值，即当在有定义，只要把的值带入到函数中，就得到。因此不能把两者混为一谈。有这样的例子，函数在没有定义，却当时，有极限。例如，在处没有定义，但 ，上式的最后一步可用定义加以验证。还可举出这样的例子，在处有定义，但与在时的极限值不等。例如， 。因此，但。为了弄清概念，再举在处有定义，但时的极限不存在的例子。如 ，显然，但 ， 左右极限不等，所以不存在。从以上的讨论中，我们可以进一步体会在极限的定义中，邻域中大于0（即去心）的必要性，换言之，在研究当趋向下的函数极限时，是不考虑在的情况的。希望同学们彻底理解这一点（而不是牢记这一点）。例2.3 如果当时，函数有极限，其极限值为。证明：必存在的一个去心邻域，在这个邻域中恒有。证：本题就是我们在课上讲到的局部保号性定理。在课堂上我们没有直接证，提示大家，可作为局部保序性定理在取时的特例。这当然是正确的推论。这里作为练习，我们把它再证一次，目的是让大家再次熟悉“”语言。由于，故对于任给，总存在正数，使得当时，恒有，即。因此，为了使，只需取为小于的正数就可以了。为此，取（也可以取或等等，这样取法不影响保号的实质性），对于此，有上面的分析知必存在正数，当时，就有 。这就是说，存在着的一个去心邻域，在此邻域内，。三无穷大与无穷小，有界与无界函数极限是微积分的主要工具或能撬起微积分的杠杆，无穷小是支撑极限的支点，所以，可以说，“给我一个无穷小做支点，我可以用极限做杠杆，将微积分撬起来”，这不是大话，而是形象地刻画了极限与无穷小的地位。极限与无穷小的关系，可以用极限基本定理了描述。大家一定要牢固地掌握这个定理。在计算函数极限时，函数的有界性常起到简化计算的作用。要特别注意，一个函数的有界与否，一定跟自变量的一定的趋向或区间有关，离开这些谈有界与否，没有意义。因为数列是函数的特殊情况，所以数列也有无穷大与无穷小，有界与无界的概念。例3.1 如果，能否得出或者？解：如果 能够成立，那么，由 ，可以得出 或 。但是， 的成立时有条件的，即要求数列和数列都收敛。但题目中没有提及这样的条件，所以不能推出这个结果。为说明问题，举一个反例。令，则它们的乘积等于0：，所以有，但是和 都不存在，因此谈不上它们的极限为零。例3.2 有人说函数是无穷小量，也有人说它是无穷大量，这些说法对吗？解：初学者常常这么说，但这些说法是不清楚的。在没有指出自变量的趋向下，讲一个函数是无穷大或无穷小，都没有意义。在自变量的不同趋向下，同一个函数可以有不同的趋向。例如，函数，在时是无穷大量，在时却是无穷小量。所以不能笼统地讲。例3.3 证明：当时，函数是无界函数而不是无穷大量。证：所谓时，是无界，指不存在一个正数，当充分大时，恒有；或者换一种说法，对任意给定的正数，函数定义域上存在一点，使。因此，取数列，由此得 。因此，不管给定什么正数，当充分大时，总是大于。这样就证明了是无界函数。另一方面，若取数列，可见，不管取多大，总有是函数的零点（即使函数值等于零的点）。故当时，函数的极限不是无穷大，所以不是无穷大量。又因是偶函数，所以当时，它是无界的但不是无穷大量。 这个例子给出无穷大和无界函数的区别。 最后，我还想给大家介绍一个重要的分析结果区间套原理。例