一元二次方程的认识.doc

【例题1】 【基础、提高】判断下列方程是否一元二次方程：（1） （2）（3） （4）（5） （6）【分析】 （1）不是。因为最高次数是（2）不是。因为二次项的系数是（3）是的。符合一元二次方程的定义（4）不是。含有两个未知数（5）不是。不是整式方程（6）不是。不是整式方程【精英】判断下列关于的方程何时为一元二次方程：（1） （2）（3） （4）【分析】 （1）当时。最高次数是，是一元二次方程。（2）不是。因为二次项的系数是（3）当，即时，符合一元二次方程的定义（4）这里出现了、两个未知数比较特殊，如果未知数前的系数均为0，那么就符合一元二次方程的定义。，解得，即当、均为0时，其为一元二次方程。【例题2】 【基础】方程化成一元二次方程的一般式是 【分析】 【提高、精英】把方程化为一元二次方程的一般形式是 【分析】 原方程化为，整理得到。注意：不能写为，因为两个方程的系数是不一样的。【例题3】 【基础、提高】方程是一元二次方程吗？【分析】 一个方程是一元二次方程，必须满足两个条件：它是整式方程，方程中含有一个未知数且含未知数项的最高次数是。判断一个只含一个未知数的整式方程是不是一元二次方程时，通常应先将这个方程整理成所含各项的次数不同的形式，再观察含未知数项的最高次数是否为。由于本题所讨论的这个方程经整理后为，其中含未知数项的最高次数是，所以它不是一元二次方程，而是一元一次方程。【精英】已知方程是关于的一元二次方程，则对应、的值有（ ）.组 .组 .组 .组【分析】 本题有种情况：,这个方程组都有解，且各不相同，所以选。【例题4】 指出方程，的二次项系数、一次项系数及常数项。【分析】 原方程可变形为，整理，得，所以，二次项系数是，一次项系数是，常数项是。原方程可变形为，所以，二次项系数是，一次项系数是，常数项是。【例题5】 【基础】关于的方程当 时是一元二次方程，当 时是一元一次方程。【分析】 当即时，原方程为一元二次方程。当而时，即时，原方程为一元一次方程。【提高】方程是关于的一元二次方程，则的值为 【分析】 由题意可得：，且，解得【精英】当 时，关于的方程是一元二次方程；当 时，这个方程是一元一次方程。【分析】 由一元二次方程的定义，二次项的系数不等于零，即，可得。若原方程是一元一次方程，则二次项的系数等于零，且一次项系数不为零；即，解得。【例题6】 【基础】已知关于的一元二次方程有一个根是，求的值。【分析】 把代入方程中，得到，解得，再将代入原方程，得到，为一元二次方程，所以。【提高、精英】已知是一元二次方程的一个根，则 【分析】 将代入方程，得，解得，但应有，因此。【例题7】 根据题意，列出方程（不求解）（1）一个矩形花园，面积为，长比宽多，求花园的长和宽。（2）有一个矩形，面积为，若将它的一边剪短，另一边剪短，恰好变为一个正方形，求这个正方形的边长。（3）一个直角三角形的斜边长，一条直角边比另一条直角边长，求两条直角边的长度。【分析】 （1）设长方形的宽为，其方程为（2）设正方形的边长为，其方程为（3）设直角三角形的较短的直角边的长为，其方程为【例题8】 若方程的一个根与它的倒数相等，则的值为 【分析】 一个数与它的倒数相等的数是，因此方程的根是或，分别代入得到。【例题9】 【基础】已知是关于的方程的一个解，求的值。【分析】 把代入方程中得，解得，将代入，得到【提高、精英】已知是方程的一个根，求的值。【分析】 因为是所说方程的根，所以，故，由此得到温馨提示：求也可用下面的方法：因，将两边同除以，易得到，故。【例题10】 若方程与方程至少有一个相同的实数根，求实数的值。【分析】 假定这个相同的实数根为，则将它代入两个方程，得到两个关于、的等式，视它们为关于、的方程组，即可求出的值。设是两个方程相同的根，则有，。（*）两式相减，得，即，所以或。当时，两个方程都是。这个方程无实根，故不合题意。当时，代入（*）式中任何一式，都可以解得，所以。【例题11】 （年浙江省竞赛题）一元二次方程中，若、都是偶数，是奇数，则这个方程（ ）.有整数根 .没有整数根 .没有有理数根 .没有实数根【分析】 。假设有整数根，不妨设它的根是或（为整数），分别代入原方程得方程两边的奇偶性不同的矛盾结果，所以排除；若、分别取，则排除。故选。【例题12】 【基础、提高】方程的根是 。【分析】 或，所以或。【精英】（年数学周报杯竞赛题）已知三个关于的一元二次方程，恰有一个公共实数根，则的值为 【分析】 设是它们的一个公共实数根，则，。把三个式子相加，并整理得。因为，所以。于是【练习1】 【基础】下列方程是关于的一元二次方程的是（ ）. . . .【分析】 【提高、精英】下列方程 其中是一元二次方程的有 。【分析】 【练习2】 判断下列方程是不是一元二次方程如果不是，请说出为什么 ； ； ； ； （和都是未知数）； ； （是系数）； （是未知数）【分析】 是分式方程，是二元方程，整理后是一元一次方程，当时是一元二次方程，当时是一元一次方程，因为永远成立，所以无论为何值，方程都是一元二次方程，是一元二次方程【练习3】 【基础】关于的方程当 ，它是一元二次方程。【分析】 【提高】为何值时，方程是一元二次方程，当为何值时，此方程是一元一次方程。【分析】 原方程可以化为，当时，方程为一元二次方程，即；当时，方程为一元一次方程，即。【精英】方程是关于的一元二次方程，求二次项系数、一次项系数及常数项的积。【分析】 是关于的一元二次方程,应满足，则当时，原方程为，所以二次项系数为，一次项系数为，常数项为，因此它们的积威。【练习4】 【基础、提高】若一元二次方程的常数项为零，则的值为_【分析】 由题意得到:，解得。【精英】若是关于的一元二次方程，求、的值【分析】 分以下几种情况考虑： ，此时，； ，此时，； ，此时，【练习5】 若关于的一元二次方程有一个根为，求的值。【分析】 把代入方程得，而时，不合题意，舍去。所以，。【练习6】 已知关于的方程有一个根为，另一个根为，则 ， ， 【分析】 把代入得，把代入得，两式相加得，即。【练习7】 若是方程的一个根，则的值为 【分析】 把代入方程得，因为，所以，即。【练习8】 已