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教学生学会思考 解题教学 南京师范大学涂荣豹sxzy一 教学的首要任务 教 怎样思考 经常听到学生说 老师讲的我都懂 但自己做就不会了 什么原因 你老师没有把 让他自己会做 的方法教给他 首先是解决 你是怎么想到的 然后解决怎样让他也想到 好的教师 想给学生听 想给学生看 差的教师做给学生看 或让好学生做给差学生看 教大多数学生能想到的方法 教育效法自然 卢梭 教本原的方法 有 技巧 也要教技巧怎么想出来的 如求1 2 3 100 要想高斯怎么会想到 首尾相加 的 而不是仅学习 首尾相加 这一操作 教 怎样思考 怎样才能想到 是数学教学的首要任务 二 解题教学 教学生 学解题 学生的主要任务并不是解题 而是 学 解题教师教的重点和学生学的重点 不在于 解 而在于 学解 作为 关注 解 出发点 解题的结果 学解 出发点 思路的寻找 作为 关注 学解题 为了 学解一类题 笛卡儿名言 我所解决的每一个问题都将成为一个范例 用以解其它问题 理解题意 解题学习第一环节解题第一位的是理解题意 但它却往往被学习者所忽视 善于解题的人用一半时间理解问题 只用另一半时间完成解答学生不能很好解题的最重要原因 没有树立重视理解题意的意识 没有养成理解题意的良好习惯 更没有掌握如何理解题意的方法 遇到一个陌生的问题 怎么去想 如何着手解题 如何 从无到有 地寻找思路 由 所有 探索 所无 如何着手解题 如何理解题意 三 从无到有 地寻找思路 教学生学 四 着手解题的启发性提示语 1 它是一个什么问题 它要求 证 的是什么 什么范畴的问题 盯着目标 求 证 什么 2 现有哪些材料 题设中的条件3 有哪些工具 已经学过的相关概念 命题 公式和方法4 还缺少什么材料 能否从现有的材料和工具中找到 5 如何运用这些条件和工具 6 是否还有条件没有利用 如何利用 这些思考 不是文字的简单浏览和思想上的一掠而过 是深究 每一个对象的意义 性质 不同对象的关系 特别 能否转换为其它的意义 关系 这些思考并不是孤立进行 是贯穿在上述所有问题思考之中 这是用于着手解题的最基本的思考方法 但不是万能的方法 如何深究 如何转换 五 理解题意的启发性提示语 它是什么 如何表示 还能如何表示 转换 它有什么性质 如何表示 还能如何表示 它们有什么关系 如何表示 还能如何表示 由题设中的条件能够推出什么 还能推出什么 中途结论之间有什么关系 它们可以怎样利用 它是否与某个解过的题有联系 能否利用这个联系 如何深究 对题意深究 如何转换 将形式转换 教学生寻找解题思路就要提供有效的指导思维操作的策略 解题的启发性提示语正提供了有效的指导思维操作的程序 它 每一个句子 名词 概念 关系 表达式 符号 符号的上标下标 图形 图形中的点线面 等等 已知函数f x a 0 是偶函数 求a 它是一个什么问题 函数问题 求什么 求a 已有什么材料 条件是什么 理解题意 逐一搞清楚 它 是什么 怎么表示 还能 f x 是什么 与自然对数 分式有关的比较复杂的函数 f x f x 偶函数 是什么 f x f x f x 是什么 还能怎么表示 a是什么 a是参数 a 0 a 1 a 0 若3a 0 618 a k k 1 k Z 则k a 1 0 k 1 k k 1 是什么 求值问题 求k 区间左端点 是什么问题 求什么 3a 0 618是什么 数学符号 具体化 相邻整数区间 幂 当a 时 3a 0 618 3k 3a 3k 1 a k k 1 是什么 k a k 1 1 a 0 3a 30 3 1 它能推出什么 1 3 0 33 3a 0 618 1 30 还能推出什么 基本策略 k是什么 k 0 1 2 1 2 抽象符号具体化 反比例函数y1 3 k x x 0 和一次函数y2 kx m k m常数 且k 1 的图像交于A B两点 已知A B横坐标是1和4 1 求使y2 y1的x的取值范围 2 求两函数的具体表达式 3 求 AOB的面积 着手解题 这是什么问题 求什么 理解题意 使y2 y1 是什么 意思 直线y2在曲线y1的上方部分 即线段AB 在A B的横坐标之间 已知A B横坐标是1和4 2 求具体表达式就是求k m 3 AOB的面积怎么表示 设AB交x轴C 5 0 它们的底和高是什么 是A B的坐标 1 4 4 1 1 求x的取值范围 底乘高除以2 不通 还能怎么表示 能求出S AOC和S BOC吗 S AOB S AOC S BOC 得S AOB 15 2 将y1 y2联立方程组 解得k 1 m 5 函数及其图像的问题 使y2 y1 这部分x取值范围是什么 还能怎么表示 恰好是1 x 4 有什么要求 图形表示 着手解题 它是一个什么问题 求什么 理解题意 A B在第二象限 是什么 意思 点C 1 0 还表示什么 B 点横坐标是a 则a OP CP a 1 2CP 解 OP OC CP 所以 OP PC OC a 1 2 1 a 3 2 得 OP a 3 2 如图A B在第二象限 点C 1 0 以C为中心作 ABC位似图形 A B C 且把边长放大2倍 B 横坐标是a 则B的横坐标是 A 1 2 B a 1 2 C a 1 2 D a 3 2 求B点的横坐标 CB 2CB 直角坐标系里的位似图形问题 B的横坐标是 a 3 2 选D A B横坐标是负的 OC 1 能不能求出 OP 由CP a 1 2CP 有CP a 1 2 又OC 1 还能怎样表示 B的横坐标 OP 边长放大2倍是什么 过B B 作x轴垂线 垂足P P B的横坐标是什么 D 2011 13 设1 a1 a2 a7 其中a1 a3 a5 a7成公比为q的等比数列 a2 a4 a6成公差为1的等差数列 求q的最小值 它是一个什么问题 求什么 数列问题 奇数项等比数列 偶数项等差数列 求公比q最小值 1 a1 a2 a7 a1 1 其它各项递增不减 它表示什么 1 a1 a2 a7 它还能怎么表示 具体化 1 a2 q a2 1 q2 a2 2 q3 还缺少什么 a2有什么性质 q有什么性质 要q最小 代入 有2 q2 3 q3 缺少a2和q 1 a1 a2 a3 得q 1 a1 a2 1 a2 q 必须q a2 则a2 1 1 a2 q q 1 a2 a4 a6成等差数列 公差为1它还能怎么表示 a2 a4 a2 1 a6 a2 2 a1 a3 a5 a7成等比数列 公比q它还能怎么表示 a3 a1q q a5 q2 a7 q3 那么a2要最小 得q 得q 如图 O为正方形ABCD中心 DBC的平分线交CD于E 延长BC到点F 使CF CE 连接DF交BE延长线于G 连接OG 1 求证 BCE DCF 2 OG与BF有什么数量关系 3 若EG BG 4 2 求正方形ABCD的面积 2 由 1 得 FDC FBG 易得 FGB 90 BG既是角平分线又是高 得BD BF DG FG 则OG是中位线 OG BF 1 2 3 求什么 设正方形边长BC x ABCD面积 x2 EG是 DEG的一边 BG是 BDG的一边 1 明显 略 DEG与 BDG有什么关系 都是直角三角形 DEG BDG 相似三角形有什么性质 EG DG DG BG 得DG2 EG BG 则DG2 EG BG 4 2 ABCD的面积怎么表示 EG BG是什么 怎么求边长x 求正方形ABCD面积 利用提示语仔细地对问题中涉及的所有对象逐个理解 表示 整理 包括过程中出现的新对象 要一个不漏 那么在理解题意的同时 基本上就能得到问题的解法 对提示语的掌握也有一个从不会到会 不熟练到熟练的过程 只要坚持 不断领悟 就能产生明显的效果 知道了DG有什么好处 那又有什么好处呢 CDF是Rt 如求出CF即可求出CD x 能求出CF吗 CF2 CD2 DF2 得 BF BC 2 CD2 2DG 2 解得x2 4 就知道DF 2DG 尝试尝试 CF BF BC DF和CD在 CDF中 又BF BD x 正方形ABCD面积是4 由勾股定理 得 x x 2 x2 4 4 2 2 着手解题 这是一个什么问题 求什么 2 求P点坐标 函数y图像的顶点B及点A怎么表示 由 1 容易得B 2 0 A 0 1 圆O 与AB相切于B 可推出什么 PB AB 连接PC BPC CBP 90 即 BCP 90 由此可推出什么 已知函数y ax2 x 1的图像与x轴只有一个公共点 1 求a 2 设函数y图像顶点是B 与y轴交点是A 图像上任一点P 圆O 以PB为直径 与AB相切于点B 交x轴另一点C 求P点坐标 3 设点C关于PB的对称点是点M 试问M是否在函数y图像上 如果在 求出M点坐标 如果不在 说明理由 得a 0 或a 1 4 理解题意 1 求系数a 还能推出什么 二次函数图像与圆的综合问题 Rt BPC Rt ABO 且 ABO BPC 可得BC PC AO BO 1 2 怎么求 BC PC AO BO 1 2 P坐标怎么表示 BO 2 得P点坐标是 b 2 2b P点在函数y图像上 P点坐标代入函数式 函数值 纵坐标 即得2b b 2 2 b 2 1 解得b 8 b 0 舍去 得PC 2BC CO BC BO 3 M是否在函数y图像上 M点坐标代入函数式 函数值 纵坐标 作C M关于PB对称 过M Q作x轴垂线 垂足为D E 易知Rt BPC Rt ABO Rt BCQ Rt BQE Rt QCE由 2 相似比是1 2 所以EQ 16 5 将14 5代入 1 4 x2 x 1 得144 5 画图 则E是CD中点 它是什么 意思 则PB垂直平分CM于Q Q是CM中点 怎么求M点坐标 要求M 先求出Q M在函数y图像上 它是什么 意思 则CE 2QE 4BE BC 8 BC 5BE 得BE 8 5 OD CD CO 14 5 MD 32 5 CD 64 5 M 14 5 32 5 所以M不在函数y图像上 32 5 设BC b 则CP 2b CO b 2 得P 10 16 先求CO 六 培养学生良好的读题习惯 1 要求学生解题时先反复读题 2 要求学生用自己的语言反复叙述问题 3 要求达到不看题就能完整叙述问题后 才开始动笔解题 4 要求用不同的表达方式反复叙述问题 5 要求解释题中各个名词的意义 用概念思考 包括每个符号的含义 用符号表示 每句话的含义 换一种说法或表述 6 要求尽可能画一张图 7 要求尽可能对每个名词 每个符号 每句话换一种表示 8 要求把看不懂的符号或表达式具体化 抽象符号具体化 9 要求解释图中每一个点 线 面的含义 尽可能写出它们的表达形式 10 要求发挥想象力 诉说自己对题意的联想或猜想 七 培养学生寻找解题思路 数学解题的启发性提示语要在 用 上下工夫数学解题的启发性提示语是对波利亚解题表的运用和发展看上去很普通 但对启发寻找解题思路作用很大 关键在于坚持用 用好了 用习惯了 用的水平提高了 解题能力就能大大提高 它的价值就体现出来了 必须在运用提示语的过程中学习提示语 在 用 中学 只有不断运用 才能提高运用的水平 提高解题能力 对解题的启发性提示语 教师要首先提高自己运用的水平 教师教学生学习上述提示语时 关键也在于教师自己要用 教学上要求学生做到的 教师自己首先要做到 教师首先自己一定要坚持用 用给学生看 学生学着用 逐步感悟 潜移默化 持之以恒 习惯成自然 然后是 八 理解题意是一种独创性活动 理解题意的启发性提示语 是一种元认知提示语是引导学生自我启发的方法 本质是教学生学会思考 启发性提示语的作用只是引导学生自己去探索 去发现 而不是代替学生去探索和发现 所以 用启发性提示语理解题意是一种重要的探索活动 波利亚 问题的求解比起问题的明确表达来 就常常不需要那么多的见识和独创了 可见 理解题意 明确表达问题是需要较多见识和独创的 说明 理解题意是富有独创性的工作 是需要相当见识的 所以 理解题意的探索过程 是探索能力和创造力的培养 教学生 理解题意的启发性提示语 就是教学生如何去探索 就是教学生学会思考 数学特色的教学设计原理 1 教学生学会思考 的新授课原理 2 运用研究问题一般方法 的原理 3 问题结构推进教学 的原理 问题 解决 问题 解决 结构 每课提出问题说 化新授课为解题教学说 课堂问题结构说 4 创设情境 提出问题 的原理 5 从无到有探究 的原理 引导式探究 发现式探究 教师引导策略 学生探究方式 6 由远及近启发 的提示语原理 元认知 方法论 认知性提示语 7 反思性教学 的原理 回顾 追问 反诘 8 归纳先导 演绎跟进 的原理 9 以理解题意为核心 的解题教学原理 学解新问题 的解题教学 10 教师是教学向导主角 学生是探究活动主体 的原理 理念 教育的科学发展观数学教学的 二重对应 原理 谢谢大家 P是f x ex x 0 图像上的动点 理解题意 每一个句子 名词 表达式 符号 符号的上标 下标 图形 以及图形的点 线 面 它是一个什么问题 求什么 是关于函数y ex的 与图像切线有关的最值问题 求线段中点纵坐标t的最大值 函数f x ex x 0 图像 它是什么 意思 P是图像上的动点过P点的切线l1交y轴于点M 画 过P点垂直于l1的直线交y轴于点N 画图 图像的右半支 MN中点纵坐标t P是图像上一点 已知P是函数f x ex x 0 图像上的动点 过P点的切线l交y轴于点M 过P点垂直于l的直线交y轴于点N 设MN中点的纵坐标为t 则t的最大值是 2012年江苏高考12题 P点怎么符号表示 过P点的切线l1 切线方程 y y0 k1 x x0 k1是切线l1的斜率 还能怎么符号表示 斜率k1怎么表示 先求函数f x ex的导数f x ex x x0代入 得y0 f x0 ex0 k1 f x0 ex0 把y0 ex0 k1 ex0代入y y0 k1 x x0 得切线l1方程 y ex0 ex0 x x0 过P垂直于l1的直线l2 还能怎么表示 直线l2的斜率是k2 k1 1 e x0 直线l2方程为 y ex0 e x0 x x0 M N点坐标怎么表示 设M 0 yM N 0 yN yM yN怎么表示 由l1方程 令x 0得yM ex0 x0 ex0 由l2方程 令x 0得yN ex0 x0 e x0 t yM yN t x0 2ex0 x0 e x0 ex0 t x0 ex0 x0 e x0 ex0 中点公式 图形语言 符号语言 设P x0 y0 除了图形表示 还能怎样表示 k1是什么 线段MN中点纵坐标t怎么表示 P是动点 M N点坐标怎么表示 设M 0 yM N 0 yN yM yN怎么表示 由l1方程 令x 0得yM ex0 x0 ex0 由l2方程 令x 0得yN ex0 x0 e x0 盯着目标 求什么 求函数t x0 最大值 怎么求 求极值点 由t x0 0 求出x0 t x0 ex0 x0 e x0 ex0 t x0 求导 e x0 ex0 x0 e x0 ex0 e x0 ex0 1 x0 由于e x0 ex0 0 所以1 x0 0 得x0 1 即x0 1时 t x0 取极值 还要证明取最大值 怎么证明 考查x0 1附近t x0 单调性 当x0 1 时 t x0 0 即t x0 在 1 单调增 当x0 1 时 t x0 0 即t x0 在 1 单调减 所以 当x0 1时 t x0 取得最大值 t x0 max t 1 e 1 e 注 这部分基本是运算操作 是基本技能 牢固掌握十分必要 接下来做什么 0 着手解题 它是什么问题 理解题意 5c 3a b 4c a 由 可得 2a c 已知正数a b c 且5c 3a b 4c a clnb a clnc 那么b a的取值范围是 2012年江苏高考13题 是由不等关系 求取值范围的问题 求b a的取值范围 b a是什么 将 代入 b 4c a 还能写出b a其它的表达式吗 它 是什么 意思 它 怎么表示 求 b a 只能到条件里去找 求什么 还能怎么表示 5c 3a 4c a 则b a 7 得b 8a a b 7a b 4c a 5c 3a b 已知a b c是正数 这极大便利不等式运算 还能怎么表示 8a 4c b a大于什么 小于什么 再求b a 所以x e时 lnx 1 y取最小值 已知正数a b c 且5c 3a b 4c a clnb a clnc 那么b a的取值范围是 e 7 由clnb a clnc能推出什么 推得a clnb clnc cln b c 缺少什么 b y x lnx lnx 1 ln2x 令 lnx 1 ln2x 0解得x e 得a b c b ln b c 得b a y e 用它能表示b a吗 要求b a 将不等式两边同除以b b a x lnx lnx 0 要求x lnx极值 怎么求 x e时 lnx 1 y lnx 1 ln2x 0 即y x lnx e 已得b a 7 b a还能怎么表示 得a cln b c 颠倒分子分母 可得b a b c ln b c 令 b c x 由 得 用函数求导 令y x lnx x e时 lnx 1 y lnx 1 ln2x 0 ln b c a c 0 还能怎样表示 例题已知A B是椭圆上两点 F1是左焦点 若 AF1 BF1 12a 5 AB中点到左准线距离3 2 求椭圆方程 它是一个什么问题 求什么 解几题 求椭圆方程 实际求a A B怎么表示 设A x1 y1 B x2 y2 此椭圆有什么性质 基本量 长半轴为a b 3a 5 c a 式是什么 是A B到左焦点F2距离之和 AB中点怎么表示 还能怎么表示 x0 x1 x2 2 y0 y1 y2 2 有哪些材料 理解题意 M到左准线距离还能怎么表示 M到左准线距离 横坐标作差 x0 5a 4 3 2 设M x0 y0 左准线怎么表示 左准线方程 x a2 c 画图 5a 4 e c a 用中点公式 又表示中点 椭圆第一定义 AF1 AF2 2a BF1 BF2 2a 椭圆第二定义 前已得左准线方程x 5a 4 由A点有 AF1 x1 5a 4 e 化简得 AF1 x1 a 由B点有 BF1 x2 5a 4 e 化简得 BF1 x2 a 这些结论有什么关系 可推出什么 得 AF1 BF1 x1 x2 2a 还有什么条件没有用上 已知 AF1 BF1 12a 5 得 x1 x2 2a 12a 5 化简得x1 x2 a 2 前已得中点M的x0两种表示 x0 x1 x2 2 x0 5a 4 3 2 得x1 x2 3 5a 2 得3 5a 2 a 2 解得a 1 椭圆方程是 有哪些工具 怎么表示 已知 a b是实数 函数f x x3 ax g x x2 bx f x 和g x 分别是f x g x 导函数 若f x g x 0在区间I上恒成立 就称f x 与g x 在I上单调一致 它是一个什么问题 求什么 是多项式函数代数证明题 与导函数性质有关 2 求区间长度 b a 的最大值 1 b是什么 导函数f x 和g x 怎么表示 f x 3x2 a和g x 2x bf x g x 0是什么 具体化 得 3x2 a 2x b 0 即 3x2 a 2x b 0在I上恒成立 这句话是什么 意思 即在 1 中任取一个数代入 不等式 都成立 取特殊值x 1代入 得 3 a 2 b 0 3 a b 2 得b 2 0 b 2 即 b是g x 常数项 1 a 0 求参数b的取值范围 具体化看一看 由此可推出什么 由a 0 知3 a 0 b 2 理解题意 它是什么 怎么表示 具体化 理清楚写下来 2012 19 1 设a 0 I 1 求b的取值范围 2 设a 0 b a I是以a b为端点的开区间 求 b a 的最大值 I是a b为端点开区间 表示什么 区间I开的 a b为左右端点 不定 3x2 a 2x b 0在I a b 恒成立 2 求区间长度 b a 的最大值 现a 0 那b是什么 b 0 b 0 不妨先假设一种情况 设b 0 由a 0 b 0 得a b 0 b 0 则b为右端点 有什么性质 在 a b 上f x g x 0恒成立 具体化 推出什么结论 取特殊值 取0 a b 则f 0 g 0 0 得f 0 g 0 a b 0 与 矛盾 即b 0不可能 所以b 0 a 0 b 0 I 0 负半轴 此时f x g x 有什么性质 x 0 则g x 2x b 0 那f x 有什么性质 即f x 0呢 还是f x 0呢 f x 在零点两侧异号 所以先求零点 x 时 f x 0 f x 3x2 a 0 解得x 零点 点C 0 是 0 上分段点 分段点表示什么 0 被分两段 b a 的最大值是什么意思 即a b的最大值与最小值的差 若 x 右端点 则f x 0 如图 由 得 f x g x 0 不满足f x g x 0 若 x 0 左 则f x 0 由 式得 f x g x 0 满足条件 所以 0 为左端点 这个结论还表示什么 意思 同时有a b 已得结论g x 2x b 0 a 则a2 a 3 解得 a 0 b 得b 即 b 0 于是 a b 且当a b 0时等号成立 当a b 0时 任取x 0 即 x 0 代入 得f x g x 6x x2 x 0 x2 0 f x g x 0 所以 a b 的最大值为 在I a b 上f x g x 0恒成立 证明了必要性 要证充分性 将 代入 简单的线性规划问题 情境问题 某工厂生产两种产品 生产1t甲种产品需要原料4t 产生的利润2万元 生产1t乙种产品需要原料1t 产生的利润1万元 受生产能力限制 最多生产甲种产品和乙种产品各2t 现库存原料8t 问甲 乙两种产品各生产多少吨可使工厂获得最大利润 求最大利润 一 创设情境提出问题 1 建立数学模型 这是一个什么问题 是一个与工业生产利润有关的应用问题 求什么 甲 乙两种产品各生产多少吨可获得最大利润 求最大利润 原料 t 利润 万元 最大产量 t 甲产品 1t 422乙产品 1t 112产品利润 每吨利润 产量 总利润 甲利润 乙利润设 生产甲xt 生产乙yt 利润为z z 2x y 有哪些材料 有哪些已知条件 材料很多 怎样才能理清楚 列表 哪些对象 哪些数量 能列出表格描述问题的条件吗 甲 乙的利润各怎么计算 总利润是什么 总利润怎么计算 利润可以无限大吗 为什么 有哪些限制条件 限制条件怎样表示 4x y 8x 0 x 2 y 0y 2 数学问题 名词 z 2x y称为 目标函数 不等式组称为 约束条件 提出问题 现在已经得到了一个数学问题 接下来你会怎么想 这个问题怎么解决呢 提出本节课的问题 现在得到一个纯粹的数学问题 还不行吧 为什么 1 探索约束条件的几何意义 这个约束条件还能怎样表示 它有其它表达形式吗 不等式组是什么表达形式 代数 它有几何表示形式吗 平面区域 能把这个平面区域画出来吗 二 探索题意寻找思路 现在可以求利润z的最大值了吗 对目标函数z 2x y来说 这个平面区域表示什么 表示目标函数z 2x y中x y取值范围 满足z 2x y的点 x y 在平面区域内 已知求z 2x y的最大值 约束条件 目标函数 在这些直线中 方程里的z在哪里 每条直线 z有各自对应的值 这说明z的几何意义是什么 直线在y轴上的截距 2 探索目标函数的几何意义 接下来你想知道什么 约束条件的几何意义是平面区域 那你会想到什么 目标函数z 2x y的几何意义是什么 直线 把z 2x y看成直线 那它的斜率是什么 2 为什么 这个直线方程还可以写成什么形式 y 2x z 斜率是 2 它是一条直线吗 无数条 一组直线 这组直线有什么共同特点 斜率相同 斜率相同说明什么 它们是什么样的直线 平行直线 能画出这组平行直线吗 3 探索目标函数在约束条件下最值问题 这组直线中每一条都满足要求吗 哪些满足 哪些不满足 直线需要与可行域相交 现在应该怎样找z的最大值呢 直线与可行域相交 直线在y轴上截距最大 何时最大 经过两直线交点 1 5 2 时最大 最大值为多少 z 6 线性规划问题 问题新 方法新 1 回顾解决问题的过程 归纳是如何求目标函数的最大值 1 找到约束条件和目标函数 找 2 画约束条件的平面区域 画目标函数所表示的平行直线l 画 3 在平面区域内平移直线l到z取得最值的位置 移 4 求出该位置的点的坐标 x y 求 5 将 x y 代入目标函数z 2x y 解出z的值 解 2 回顾解决问题的过程 总结解题是怎样进行的 1 实际问题 数学问题 2 代数问题 几何问题 3 利用几何意义解决问题 三 回顾过程归纳方法 2011年江苏省高考第20题 解题教学 设数列 an 的首项a1 1 前n项和为Sn 已知对任意整数k 当n k时 Sn k Sn k 2 Sn Sk 都成立 这是一个什么问题 要求什么 数列问题 与数列前n项和有关 a2 2 a3 4 a4 6 a5 8 n k Sn k Sn k 2 Sn Sk 1 中 这个 式表示什么 k 1 n 1 有Sn 1 Sn 1 2 Sn S1 下标间什么关系 还可怎么表示 Sn 1 Sn Sn Sn 1 2S1 2a1 2 还能怎么表示 项的关系具体化 得an 1 an 2 表示什么 相邻两项之差是常数2 公差 2 n k Sn k Sn k 2 Sn Sk 2 中 这个 式表示什么 n 4 有Sn 3 Sn 3 2 Sn S3 还能怎么表示 改变n有什么结果 有S n 1 3 S n 1 3 2 S n 1 S3 即Sn 4 Sn 2 2 Sn 1 S3 n 5 Sn 4 Sn 4 2 Sn S4 中途结论 有什么关系 1 求数列第5项 2 求通项公式 1 设k 1 a2 2 求a5的值 2 设k 3 4 求数列 an 的通项 如n n 1会怎么样 有什么关系 具体化 n 4 an 4 an 3 2a4 它表示什么 还能怎么表示 改变n有什么结果 n n 1 由 有a n 1 4 a n 1 3 2a4即an 5 an 2 2a4 an 2 an 3 2 an 1 a4 an 5 an 4 an 2 an 3 得an 4 an 2 2an 1还能怎么表示 即an 1 an 2 an 4 an 1 Sn 3 Sn 3 2 Sn S3 Sn 4 Sn 2 2 Sn 1 S3 Sn 4 Sn 4 2 Sn S4 由 具体化 设n 5 a3 a2 d1a4 a3 d2a5 a4 d3a6 a5 d4a7 a6 d5a8 a7 d6a9 a8 d7a10 a9 a3 a2 d1 d8a11 a10 a4 a3 d2 d9a12 a11 a5 a4 d3 d10a13 a12 a6 a5 d4 d11a14 a13 a7 a6 d5 d12 由 具体化 设n 4a5 a2 a8 a5a6 a3 a9 a6a7 a4 a10 a7a8 a5 a11 a8a9 a6 a12 a9a10 a7 a13 a10a11 a8 a14 a11 如何用它们 还缺少什么 d1 d7 d两组式子下标有什么关系 a5 a2 a8 a5是什么 看 尝试 尝试 再尝试 可推出什么 d1 d2 d3 d4 d5 d6 d7 d1 d2 d3 d4 d5 d1 d2 d3 d4 d5 d6 d2 d3 d4 d5 d6 d7 d3 d4 d5 d6 d7 d1 d4 d5 d6 d7 d1 d2 d5 d6 d7 d1 d2 d3 d6 d7 d1 d2 d3 d4 d7 d1 d2 d3 d4 d5 解方程组由 得d3 d7 d1 d4 d2 d5 d3 d6 得d3 d6 d7代入 d2 d3 d5 d6 d7代入 d5 d1 d4 从而d1 d2 d3 d4 d5 d6 d7 d an 等差数列 首项a2 由 an 5 an 4 an 2 an 3 d n 4时 得a9 a8 a2 a1 d 即 an 为等差数列 首项a1 通项公式为an 1 d n 1 缺d 怎么求 什么条件可利用 仅有Sn k Sn k 2 Sn Sk 式还能怎么表示 下标间什么关系 各项能否重新组合 由 Sn k Sn Sn Sn k 2Sk 具体化 k 3时 Sn 3 Sn Sn Sn 3 2S3 还能怎么表示 每个Si能否具体化 an 3 an 2 an 1 an an 2 an 1