数值分析复习题.ppt

数值分析 复习题 1 16 Ex1 证明方程1 x sinx 0在区间 0 1 上有一根 使用二分法求误差不大于0 5 10 4的根需二分多少次 Ex2 设x 是非线性方程f x 0的单根 证明在牛顿迭代法中 有 Ex3 设a为正实数 试建立求 1 a 的牛顿迭代公式 要求在迭代公式中不含有除法运算 并考虑迭代公式产生的数列 xn 的收敛性 Ex4 分析下列方程 确定方程的全部隔根区间 1 xsinx 1 2 sinx e x 0 3 x tanx 4 x2 e x 0 Ex5 对于二元方程G x y 0 已知 x0 y0 满足方程 如果 则根据隐函数存在定理 在点x0附近有函数y y x 对于接近于x0的自变量x 试构造牛顿迭代法计算隐函数值的迭代格式 Ex6 设割线法迭代数列 xn 收敛到非线性方程f x 0的单根x 利用牛顿插值公式计算 2 16 Ex6 证明对任意的x0 0 由迭代格式 n 0 1 产生的迭代序列 xn 均收敛于 3 16 Ex8 对于复变量z x iy的复值函数f z 应用牛顿迭代公式求方程f z 0的复根时 有迭代公式 为了避开复数运算 令zn xn iyn f zn An iBn f zn Cn iDn试证明用于计算的公式 4 16 Ex9 确定求解方程f x 0的割线法计算公式 n 0 1 2 Ex10 证明矩阵A的谱半径与A的范数有如下关系 A A 其中 A 为A的任何一种算子范数 的收敛阶 5 16 Ex11 对下列矩阵做LU分解 Ex12求上三角 下三角 矩阵的条件数 6 16 Ex13 对任意x y Rn 利用向量范数的三角形不等式证明 Ex14 设X R X x1 x2 xn T 求证 Ex15 设X是n维向量 A是n n阶矩阵 求证 7 16 Ex17 有方程组Ax b 其中A为对称正定阵 且有迭代公式 讨论使迭代序列收敛的 的取值范围 Ex16 对n阶矩阵A 设A的顺序主子式都不为零 试证明消元过程中出现的Frobenius矩阵有如下性质 8 16 Ex18 设有方程组Ax b 其系数矩阵主对角元aii 0 i 1 2 n 证明解方程组的Jacobi迭代法收敛的充要条件是 的根满足 1 9 16 Ex19 设A是对称矩阵 将A分裂为A D L U Gauss Seidel迭代格式的向前和向后两种形式分别为x k 1 x k D L 1 b Ax k x k 1 x k D U 1 b Ax k 如果将向前和向后迭代格式交替进行 则有x k 2 x k M 1 b Ax k 试证明 M 1 D U 1D D L 1 Ex20设h 1 n 1 分析n阶矩阵的Jacobi迭代矩阵特征值 10 16 Ex21 求经过A 0 1 B 1 2 C 2 3 三个样点的插值多项式 Ex22 已知函数y f x 的数据如下表 确定三次插值多项式P3 x 及其插值误差R x Ex23 求证 两点Hermite插值的误差 11 16 Ex24 已知函数f x 在三个相异结点x0 x1 x2 处的函数值y0 y1 y2 且函数在点x1处的导数值为m1 推导三次插值多项式P x 及其插值余项R x 的表达式 12 16 Ex25 已知实验数据如下 求二次多项式拟合函数P x a bx2 Ex26利用数据表 求线性拟合函数P t a0 a1t的常数项系数a0 Ex27 推导左矩形求积公式 Ex28 求复合中矩形公式的截断误差 13 16 Ex29 取h b a 3 令x0 a xj a jh j 0 1 2 3 利用两点插值公式求下面开型数值求积公式的系数A1 A2 Ex30 给定积分当要求误差小于10 3时用复合梯形公式计算时 需要计算多少次函数值 Ex31 验证 复合梯形公式与复合Simpson公式之间有如下关系 Ex32 试推导数值微分公式 的截断误差 14 16 Ex34 证明改进的欧拉公式能精确地解微分方程y 2ax试从欧拉公式的阶与精确解的解析解来说明 15 16 Ex33 设函数f x 在区间 a b 上具有五阶连续导函数 取h b a n 令x0 a xj a jh 求证 下面数值二阶导数的差分格式具有4阶精度 Ex35 Adamas公式求一阶常微分方程 两步显格式和隐格式 yn 2 yn 1 h 3f xn 1 yn 1 f xn yn 2 yn 2 yn 1 h 5f xn 2 yn 2 8f xn 1 yn 1 f xn yn 12 Ex35 初值问题有解y x 0 5ax2 bx 若取xn nh yn为欧拉方法得到的