第四章 根轨迹法.ppt

第四章根轨迹法 第四章根轨迹法 第四章根轨迹法 广义根轨迹 系统的任意一变化参数形成根轨迹 常规根轨迹 通常情况 变化参数为开环增益K 且其变化取值范围为0到 4 1根轨迹的基本概念 第四章根轨迹法 一 根轨迹的基本概念 4 1根轨迹的基本概念 根轨迹是指系统特征根 闭环极点 随系统参量变化在s平面上运动而形成的轨迹 通过根轨迹图可以看出系统参量变化对系统闭环极点分布的影响 以及它们与系统性能的关系 系统开环传递函数为 它有两个极点 和 系统的闭环传递函数为 特征方程为 第四章根轨迹法 在a和K1为正值的情况下 此二阶系统总是稳定的 但系统的特征方程式的根却随参量a和K1的值而变化 从而影响到系统的瞬态性能 4 1根轨迹的基本概念 下面讨论a保持常数 开环增益K1改变时的情况 当时 s1和s2为互不相等的实根 而当时 和 即等于系统的两个开环极点 当时 则两根为实数且相等 即 第四章根轨迹法 4 1根轨迹的基本概念 当时 两根成为共轭的复数根 其实部为 这时根轨迹与实轴垂直并相交于点 K1由0向 变化时的根轨迹 如图4 2所示 箭头表示K1增大方向 图4 2二阶系统的根轨迹图 第四章根轨迹法 4 1根轨迹的基本概念 第四章根轨迹法 4 1根轨迹的基本概念 一般而言 绘制根轨迹时选择的可变参量可以是系统的任意参量 但是 在实际中最常用的可变参量是系统的增益K1 以系统增益K1为可变参量绘制的根轨迹称为常规根轨迹 上述二阶系统的特征根是直接对特征方程求解得到的 但对高阶系统的特征方程直接求解往往十分困难 为此 伊万斯提出了绘制根轨迹的基本规则 利用这些基本规则 根据开环传递函数零 极点在s平面上的分布 就能较方便地画出闭环特征根的轨迹 综上所述 根轨迹是指系统特征根 闭环极点 随系统参量变化在s平面上运动而形成的轨迹 通过根轨迹图可以看出系统参量变化对系统闭环极点分布的影响 以及它们与系统性能的关系 第四章根轨迹法 4 2常规根轨迹 一 绘制根轨迹的相角条件和幅值条件 图4 3反馈控制系统 G s H s 是复变量s的函数 根据等式两边幅值和相角应分别相等的条件 有 和 以上两式是满足特征方程的幅值条件和相角条件 是绘制根轨迹的重要依据 在s平面的任一点 凡能满足上述幅值条件和相角条件的 就是系统的特征根 就必定在根轨迹上 第四章根轨迹法 4 2常规根轨迹 系统开环传递函数通常可以写成两种因子式 式中K1 开环传递函数写成零 极点形式时的增益 又称根轨迹增益 zj pi 开环零 极点 K 开环传递函数写成时间常数形式时的增益 又称开环增益 j Ti 分子和分母中的时间常数 第四章根轨迹法 4 2常规根轨迹 由上两式不难看出 第四章根轨迹法 4 2常规根轨迹 在s平面上满足相角条件的点所构成的图形就是闭环系统的根轨迹 因此 相角条件是决定闭环系统根轨迹的充分必要条件 而幅值条件主要是用来确定根轨迹上各点对应的K1值 第四章根轨迹法 4 2常规根轨迹 二 绘制根轨迹的基本规则 根据幅值条件 第四章根轨迹法 4 2常规根轨迹 规则三在s平面实轴的线段上存在根轨迹的条件是 在这些线段右边的开环零点和开环极点的数目之和为奇数 设系统开环零 极点分布如图4 4所示 现要判断p2和z2之间的实轴线段上是否存在根轨迹 为此可取此线段上的任一点sd为试验点 在sd点右边实轴上的每个开环零或极点指向该点的相量的相角为180 而在点sd左边实轴上的每个开环零或极点提供的相角为0 一对共轭极点或零点提供的相角相互抵消 其和为零 第四章根轨迹法 由相角条件可知 只有在右边开环零极点的总数为奇数的实轴线段上 才能有根轨迹存在 除此之外 实轴上其他线段上的点均不能满足相角条件 4 2常规根轨迹 第四章根轨迹法 4 2常规根轨迹 第四章根轨迹法 4 2常规根轨迹 可以认为 从有限开环零 极点到位于无穷远处一点的相量的相角基本相等 以表示 因此相角条件可改写为 由此可得规则四 显然 渐近线的数目等于趋向于无穷远根轨迹的分支数 即为 规则五伸向无穷远处根轨迹的渐近线与实轴交于一点 其坐标为 a j0 而 第四章根轨迹法 4 2常规根轨迹 图4 6根轨迹 第四章根轨迹法 4 2常规根轨迹 由图可见 根轨迹的三条分支中 一条从点出发 随着K1的增大 沿着负实轴趋向无穷远处 另外两条分支分别从和出发 沿着负实轴向着b点移动 当K1达到某一数值 Kb 时 这两条分支会合于实轴上的b点 这时特征方程有二重根 系统处于临界阻尼状态 当K1继续增大时 这两条分支离开负实轴分别趋近60 和的渐近线 向无穷远处延伸 在时 系统处于欠阻尼状态 出现衰减振荡 而当时 系统成为不稳定状态 第四章根轨迹法 4 2常规根轨迹 规则六复平面上根轨迹的分离点必须满足方程 两条以上根轨迹分支的交点称为根轨迹的分离点 根轨迹的分离点实质上是特征方程的重根 因而可用求解方程式重根的方法确定它们在s平面上的位置 第四章根轨迹法 4 2常规根轨迹 需要注意 规则六中用来确定分离点的条件只是必要条件 而不是充分条件 也就是说 所有的分离点必须满足规则六的条件 但是满足此条件的所有解却不一定都是分离点 只有位于根轨迹上的那些重根才是实际的分离点 第四章根轨迹法 4 2常规根轨迹 图4 6根轨迹 第四章根轨迹法 4 2常规根轨迹 求分离点 即 因为分离点必定位于0至 1之间的线段上 故可确定为分离点 第四章根轨迹法 4 2常规根轨迹 在分离点处根轨迹离开实轴的相角应为 180 r r为接近或离开实轴的根轨迹分支数 出 入 射角是指从复数极点出发 趋向复数零点 的根轨迹的切线角 第四章根轨迹法 4 2常规根轨迹 图4 7根轨迹出射角的确定 因即出射角 由上式可化为 第四章根轨迹法 4 2常规根轨迹 而为其他开环零 极点对出射角提供的相角 同理 可以证明入射角的公式 规则八根轨迹与虚轴的交点可用代入特征方程求解 或者利用劳斯判据确定 在根轨迹与虚轴的交点处出现虚根 系统处于临界稳定状态 因此 可以根据这一特点确定根轨迹与虚轴的交点 例4 4求例4 2中的根轨迹与虚轴的交点 第四章根轨迹法 4 2常规根轨迹 解由例4 3得到的特征方程式 得到 令代入特征方程 得 第四章根轨迹法 系统闭环特征多项式 zi开环零点 si闭环极点 pi开环极点 闭环特征方程的根 即闭环极点 与特征方程的系数关系 1 n m 2时 根之和与根轨迹增益K1无关 是个常数 且有 4 2常规根轨迹 第四章根轨迹法 根轨迹增益K1 3K 根轨迹对称于实轴 有四条根轨迹分支分别起始于开环极点0 3 1 j 终止于零点 2和另外三个无限远零点 实轴上区段0 2和 3 为根轨迹 第四章根轨迹法 渐近线与实轴交点坐标为 系统特征方程 根轨迹与虚轴的交点 第四章根轨迹法 两条根轨迹分支起始于共轭复数极点 1 j 各闭环极点之和为 5 当实轴上根轨迹分支向左趋向于无限零点时 两从复数极点出发的根轨迹分支趋向于右边无限零点 K 2 34时 根轨迹与虚轴两个交点 第四章根轨迹法 4 2常规根轨迹 以上8条是绘制根轨迹的基本规则 应用这些规则 不必求特征方程的根 只根据开环传递函数就可以迅速地画出根轨迹的大致形状 为便于查找 把上述规则归纳于表4 1中 图4 8例4 5的根轨迹 第四章根轨迹法 4 2常规根轨迹 据规则二可知 根轨迹共有4条分支 时分别从4个开环极点出发 时趋向无穷远处 第四章根轨迹法 4