材料力学(2)电子教案11.ppt

材料力学 第七章1应力理论 7 1概述 7 2平面应力状态的应力分析 主应力 7 3空间应力状态的概念 7 4应力与应变间的关系 7 5空间应力状态下的应变能密度 材料力学 在受力物体内 过一点不同方位的微截面上的应力的集合 就表征了这点的受力状态 这点的受力状态就称之为一点的应力状态 应力 哪一个截面上 哪一点 哪一点 哪一个微截面 指明 7 1概述 1 应力状态的概念 材料力学 微元体 单元体 2 一点应力状态的表述 7 1概述 续1 单元体 构件内的点的代表物 是包围被研究点的无限小的几何体 通常采用正六面体单元 假设 单元体上每一微截面上的应力 近似地认为是均匀分布 单元体上相互平行微截面上的应力 近似地认为彼此相等 材料力学 7 1概述 续2 理论上可以证明 若已知正六面体单元体各个面上的应力 则可由作用于该单元体力系的平衡条件 确定单元体上任意斜截面上的正应力和切应力 y z sz txy x 材料力学 x y z s x sz s y 剪应力互等定理 TheoremofConjugateShearingStress 过一点的两个正交截面上 如果有与相交边垂直的剪应力分量 则两个面上的这两个剪应力一定等值 指向相对或相离 7 1概述 续3 材料力学 7 1概述 续4 在材料力学所研究的一维构件中 围绕着一点应如何截取初始单元体呢 所谓初始单元体 是指该单元体所暴露截面上的应力均为已知或可以确定 初始单元体的截取 根据材料力学前面已掌握的知识 我们应当参照坐标系 过一点横截面 纵截面的去截取一个正六面体单元体作为初始单元体 材料力学 例如 截取出下列图示一维构件产生基本变形时 构件中A B C各点的已知单元体 7 1概述 续5 材料力学 S平面 7 1概述 续6 例如 截取出图示一维构件S横截面上1 2 3 4 5各点的已知单元体 材料力学 S平面 7 1概述 续7 材料力学 同一点的应力状态可以有各种各样的表述方式 7 1概述 续8 材料力学 主应力 主平面上的正应力即为主应力 主平面 单元体上剪应力为零的平面即为主平面 理论上我们可以证明 通过受力构件中任意一点 总可以截取三个相互垂直的主平面 因此每一点都有三个主应力 以s1 s2和s3表示 且 s1 s2 s3 7 1概述 续9 材料力学 7 1概述 续10 3 如何研究一点的应力状态 分析作用于单元体 该点 上力系的性质 根据力系的平衡条件 规律 去研究 单向应力状态任意斜截面上的应力为 杆件内任意一点均处于单向应力状态 例如 轴向拉压问题 材料力学 7 1概述 续11 4 研究一点的应力状态的目的 研究一点的应力状态就是要确定过这一点的危险的微截面 而危险的微截面通常是一点的应力状态的最大 最小 正应力和最大 最小 剪应力所作用的微截面 解决了这一问题 也就解决了构件的强度分析的问题 从而达到了我们的最终目的 在材料力学中为了解决强度分析的问题 一般通过研究一维构件横截面上的内力等因素 首先确定构件 轴向拉压杆件 圆轴扭转 梁的弯曲 的危险横截面 然后通过横截面上各点的应力分析 在危险横截面上确定危险点 进一步的围绕着危险点截取初始单元体 研究一点的应力状态 材料力学 三向应力状态 平面应力状态 单向应力状态 纯剪应力状态 7 1概述 续12 5 一点应力状态的分类 材料力学 三向 空间 应力状态 7 1概述 续13 平面 二向 应力状态 材料力学 单向应力状态 纯剪应力状态 7 1概述 续14 平面 二向 应力状态 材料力学 平面应力状态分析 解析法 7 2平面应力状态的应力分析 主应力 已知该点两相互垂直截面上的应力试求垂直于平面的任意斜截面上的应力 材料力学 正应力正负号规则 7 2平面应力状态的应力分析 主应力 续1 材料力学 若剪应力对其作用截面内附近一点取矩 使微元或其局部顺时针方向转动者为正 逆时针方向转动者则为负 剪应力正负号规则 7 2平面应力状态的应力分析 主应力 续2 材料力学 由x正向逆时针转到斜截面的外法线n正向者为正 反之为负 7 2平面应力状态的应力分析 主应力 续3 材料力学 平衡对象 用ef斜截面截取的微元局部 利用截面法及微元局部的平衡方程 7 2平面应力状态的应力分析 主应力 续4 材料力学 参加平衡的量 应力乘以其作用的面积 7 2平面应力状态的应力分析 主应力 续5 材料力学 7 2平面应力状态的应力分析 主应力 续6 材料力学 7 2平面应力状态的应力分析 主应力 续7 材料力学 解得 用斜截面截取 此截面上的应力为 7 2平面应力状态的应力分析 主应力 续8 材料力学 因此 即单元体两个相互垂直面上的正应力之和是一个常数 即又一次证明了剪应力的互等定理 7 2平面应力状态的应力分析 主应力 续9 材料力学 应力圆方程 1 2 7 2平面应力状态的应力分析 主应力 续10 2 平面应力状态分析 图解法 应力莫尔圆 材料力学 应力圆 Mohr圆 应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一方向上的正应力和切应力 7 2平面应力状态的应力分析 主应力 续11 材料力学 在t s坐标系中 标定与微元A D面上应力对应的点a和d 连接ad交s轴于c点 c即为圆心 cd为应力圆半径 应力圆的画法 7 2平面应力状态的应力分析 主应力 续12 材料力学 点面对应 应力圆上某点的一对坐标值对应着微元某一方向上的正应力和切应力 几种对应关系 7 2平面应力状态的应力分析 主应力 续13 材料力学 转向对应 应力圆半径旋转方向与微截面外法线的旋转方向一致 C 二倍角对应 应力圆半径转过的角度是微截面外法线旋转角度的两倍 sx txy o 2qp 7 2平面应力状态的应力分析 主应力 续14 材料力学 d a c 单向拉伸应力状态 单向拉伸 7 2平面应力状态的应力分析 主应力 续15 材料力学 单向拉伸 7 2平面应力状态的应力分析 主应力 续16 材料力学 B E 纯剪切应力状态 7 2平面应力状态的应力分析 主应力 续17 材料力学 纯剪切 7 2平面应力状态的应力分析 主应力 续18 材料力学 利用解析法得到 由 将 0值代入 得 7 2平面应力状态的应力分析 主应力 续19 3 平面应力状态正应力的极值 主应力 材料力学 主平面 主应力与主方向 主平面 PrincipalPlane t 0 与应力圆上和横轴交点对应的面 7 2平面应力状态的应力分析 主应力 续20 材料力学 主应力的确定 7 2平面应力状态的应力分析 主应力 续21 材料力学 主应力的计算 7 2平面应力状态的应力分析 主应力 续22 主应力排序 s1 s2 s3 材料力学 s1 s2 s1 主方向的确定 负号表示从主应力的正方向到x轴的正方向为顺时转向 7 2平面应力状态的应力分析 主应力 续23 材料力学 对应应力圆上的最高 或最低 点的面上切应力的极值 称为 平面应力状态剪应力的极值 最大 最小 剪应力 tmax 7 2平面应力状态的应力分析 主应力 续24 4 平面应力状态剪应力的极值 最大 最小 剪应力 材料力学 A D 7 2平面应力状态的应力分析 主应力 续25 5 举例 材料力学 一 图解法 f 解 7 2平面应力状态的应力分析 主应力 续26 材料力学 主应力单元体 7 2平面应力状态的应力分析 主应力 续27 材料力学 1 斜面上的应力 二 解析法 7 2平面应力状态的应力分析 主应力 续28 材料力学 2 主应力 主平面 7 2平面应力状态的应力分析 主应力 续29 材料力学 主平面的方位 哪个主应力对应于哪一个主方向 可以采用以下方法 7 2平面应力状态的应力分析 主应力 续30 材料力学 主应力的方向 主应力的方向 7 2平面应力状态的应力分析 主应力 续31 材料力学 120 解 1 作应力圆 b 7 2平面应力状态的应力分析 主应力 续32 材料力学 2 根据应力圆的几何关系确定主应力 半径 因此主应力为 7 2平面应力状态的应力分析 主应力 续33 材料力学 3 绘出主应力单元体 s1 s2 s2 s1 7 2平面应力状态的应力分析 主应力 续34 材料力学 如图 已知梁发生剪切弯曲 横力弯曲 其上M Q 0 试确定截面上各点主应力大小及主平面位置 单元体 6 梁的主应力迹线 7 2平面应力状态的应力分析 主应力 续35 材料力学 1 s1 s3 s3 s1 s3 4 s1 s1 s3 5 a0 45 a0 s A2 D2 D1 C A1 O t 2a0 s t D2 D1 C D1 O 2a0 90 s D2 A1 O t 2a0 C D1 A2 s t A2 D2 D1 C A1 O 7 2平面应力状态的应力分析 主应力 续36 材料力学 主应力迹线 受力物体应力场中各点应力状态主方向的连线 即该曲线 主应力轨迹线 上每一点的切线都指示着该点的主方向 实线表示主拉应力迹线 虚线表示主压应力迹线 7 2平面应力状态的应力分析 主应力 续37 材料力学 x y 主应力迹线的画法 1 1截面 2 2截面 3 3截面 4 4截面 i i截面 n n截面 7 2平面应力状态的应力分析 主应力 续38 材料力学 7 承受内压薄壁容器任意点的应力状态 壁厚为t 内直径为d t d 内压为p 7 2平面应力状态的应力分析 主应力 续42 材料力学 7 2平面应力状态的应力分析 主应力 续43 材料力学 7 2平面应力状态的应力分析 主应力 续44 材料力学 承受内压薄壁容器任意点的应力状态 7 2平面应力状态的应力分析 主应力 续45 材料力学 例7 3 图a所示为承受内压的薄壁容器 为测量容器所承受的内压力值 在容器表面用电阻应变片测得环向应变 t 350 l06 若已知容器平均直径D 500mm 壁厚 10mm 容器材料的E 210GPa 0 25 试求 1 导出容器横截面和纵截面上的正应力表达式 2 计算容器所受的内压力 s1 sm p O 图a 7 2平面应力状态的应力分析 主应力 续46 材料力学 1 轴向应力 解 容器的环向和纵向应力表达式 用横截面将容器截开 受力如图b所示 根据平衡方程 7 2平面应力状态的应力分析 主应力 续47 材料力学 用纵截面将容器截开 受力如图c所示 根据平衡方程 2 环向应力 3 求内压 以应力应变关系求之 7 2平面应力状态的应力分析 主应力 续48 材料力学 空间应力状态 即三向应力状态 空间应力圆 三向应力状态的应力圆 7 3空间应力状态的概念 材料力学 7 3空间应力状态的概念 续1 平行于的方向的截面 其上之应力与无关 于是由s2 s3可作出应力圆I 同理可做出应力圆 材料力学 在 平面内 代表单元体上任意斜截面上的应力的点 或位于图示三个应力圆的圆周上 或位于三个应力圆的圆周所包围的阴影区域内 7 3空间应力状态的概念 续2 材料力学 在三组特殊方向面中都有各自的面内最大切应力 即 7 3空间应力状态的概念 续3 材料力学 三向应力状态中 7 3空间应力状态的概念 续4 作用截面的方位与及所指示的主方向成正负45 的夹角 材料力学 例7 4 平面应力状态作为三向应力状态的特例 7 3空间应力状态的概念 续5 材料力学 7 3空间应力状态的概念 续6 材料力学 1 各向同性材料的广义胡克定律 单向应力状态下的虎克定律横向变形与泊松比 各向同性材料 泊松比 7 4应力与应变间的关系 材料力学 三向应力状态的广义胡克定律 叠加法 7 4应力与应变间的关系 续1 材料力学 7 4应力与应变间的关系 续2 材料力学 7 4应力与应变间的关系 续3 材料力学 7 4应力与应变间的关系 续4 材料力学 分析 即 当时 即为二向应状态 当时 即为单向应力状态 即最大与最小主应变分别发生在最大与最小主应力方向 7 4应力与应变间的关系 续5 材料力学 若单元体上作用的不是主应力 而是一般的应力时 则单元体不仅有线变形 而且有角应变 其应力 应变关系为 7 4应力与应变间的关系 续6 材料力学 例7 5 已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面内主应变分别为 1 240 10 6 2 160 10 6 弹性模量E 210GPa 泊松比为 0 3 试求该点处的主应力及另一主应变 所以 该点处的平面应力状态 7 4应力与应变间的关系 续7 材料力学 7 4应力与应变间的关系 续8 材料力学 2 三个弹性常数之间的关系 7 4应力与应变间的关系 续9 材料力学 例7 6 已知一圆轴承受轴向拉伸及扭转的联合作用 为了测定拉力F和力矩m 可沿轴向及与轴向成45 方向测出线应变 现测得轴向应变 45 方向的应变为 若轴的直径D 100mm 弹性模量E 200Gpa 泊松比 0 3 试求 轴向拉力F和扭矩m的值 7 4应力与应变间的关系 续10 材料力学 解 1 K点处的应力状态分析 在K点取出单元体 K 其横截面上的应力分量为 2 计算外力F 由广义胡克定律 7 4应力与应变间的关系 续11 材料力学 解得 3 计算外力偶m 已知 式中 7 4应力与应变间的关系 续12 材料力学 由 解得 因此 7 4应力与应变间的关系 续13 材料力学 3 体积变形 体积应变 变形前单元体体积 变形后单元体体积 7 4应力与应变间的关系 续14 材料力学 单位体积变形 体积应变 利用广义胡克定律 式中 体积弹性模量 平均正应力 体积变形虎克定律 7 4应