阿罗不可能定理与投票悖论.doc

阿罗不可能定理公共选择理论的代表人物之一丹尼斯缪勒在其公共选择（1979）一书中认为，社会选择理论以及社会福利函数性质的论著，特别是伯格森（A. Bergson）的福利经济学的某些方面的重新论述、肯尼斯阿罗的社会选择和个人价值和布莱克的委员会和选举的理论是公共选择理论的主要来源之一。所谓社会选择，是与个人选择相对而言的，个人选择的中心是确定个人偏好，而社会选择理论的中心是确定社会偏好。在社会选择理论中，最著名的也是最受推崇的结论是阿罗的不可能性定理。1951年，阿罗出版了他的研究社会理论的重要著作社会选择和个人价值。他首次运用数理逻辑的分析工具，对社会决策和社会民主程序设计之间的关系做了形式化的深入考察，所得出的不可能性定理在西方经济学界引起了轰动，被认为是近数十年来数学应用于社会科学所取得的一项突出成果。阿罗认为，在现代民主社会中，有两种做出社会选择的基本方法：一种是投票，通常用于做政治决策；另一种是市场机制，通常用于做经济决策。此外，在其他非民主的国家，甚至在民主社会中的较小单位里，也存在两种社会选择的方法，即独裁和传统，在它们的正式结构中具有某些投票或市场机制所不具备的明确性。在理想的独裁体制中，社会选择只根据神的或者全体个人的共同意志做出。因此，这两种情况下均没有个人之间的冲突。然而，投票或市场的方法是汇集许多不同的个人偏好做出社会选择的方法。在任何个人是理性地做出他的选择的意义上，社会选择的独裁方法和传统方法也是理性的。但是在涉及许多个人不同意志的集体选择中，这种个人选择和社会选择的协调性还存在吗？美国著名数理经济学家肯阿罗（年生）是年诺贝尔经济学奖金获得者。他获奖的主要成果，是揭示了不可能性定理，人们俗称为阿罗定理。1951年，阿罗出版了他的研究社会理论的重要著作社会选择和个人价值，采用数学的公理化方法对通行的投票选举方式能否保证产生出合乎大多数人意愿的领导者或者说“将每个个体表达的先后次序综合成整个群体的偏好次序”进行了研究。结果，他得出了一个惊人的结论：绝大多数情况下是不可能的！更准确的表达则是：当至少有三名候选人和两位选民时，不存在满足阿罗公理的选举规则。或者也可以说是：随着候选人和选民的增加，“程序民主”必将越来越远离“实质民主”。阿罗不可能定理源自孔多塞的“投票悖论”，早在十八世纪法国思想家孔多赛就提出了著名的“投票悖论”：假设甲乙丙三人，面对ABC三个备选方案，有如图的偏好排序。甲（a b c）乙（b c a）丙（c a b）注：甲（a b c）代表甲偏好a胜于b，又偏好b胜于c。若取“a”、“b”对决，那么按照偏好次序排列如下：甲（a b ）乙（b a ）丙（a b ）社会次序偏好为（a b ）若取“b”、“c”对决，那么按照偏好次序排列如下：甲（b c ）乙（b c ）丙（c b ）社会次序偏好为（b c ）若取“a”、“c”对决，那么按照偏好次序排列如下：甲（a c ）乙（c a ）丙（c a ）社会次序偏好为（c a ）于是我们得到三个社会偏好次序（a b ）、（b c ）、（c a ），其投票结果显示“社会偏好”有如下事实：社会偏好a胜于b、偏好b胜于c、偏好c胜于a。显而易见，这种所谓的“社会偏好次序”包含有内在的矛盾，即社会偏好a胜于c,而又认为a不如c！所以按照投票的大多数规则，不能得出合理的社会偏好次序。通过投票等民主程序，不可能形成所有人都满意的社会福利最优配置。阿罗不可能性定理其实是一个悖论。在看似满足民主的前提下（大概是四个，不同的版本表述不一，原版的是四个），得到的是一个独裁的结果。产生的原因很多，不同的人有不用的解释，比如黄有光认为是该定理的效用是序数的，如果改成基数和可比的效用，那么这个悖论就解开了。“阿罗不可能定理”和森的“帕累托自由悖论”揭露了“一人一票”的虚伪性博弈论(Game theory)、社会选择(Social choice)理论、机制设计(Mechanism design)理论是现代社会科学家们研究这“民主问题”的标准工具。博弈论是研究人们的行为是如何相互影响的，人们是如何在相互作用(interaction)之中作出自己的行为选择和行为决策的。社会选择理论所探讨的是，对于每一种社会经济环境，我们能否以及如何确定一个满足某些价值规范的社会目标集合。如果回答是肯定的，并且接受人们是按照博弈论所刻画的方式行为的。机制设计理论则探究能否以及如何提供一个博弈框架（game form），使得在这个框架下的博弈均衡解是在社会选择目标集合里，也就是说，社会选择函数是可执行的（implementable），或者退而求其次，这种均衡解是无限接近于社会选择目标集合的，可以说是近似地执行。在这些理论中处于基础和核心地位的有阿罗(Kenneth Arrow)关于社会选择理论的著名的“阿罗不可能定理”，森(Amartya Sen)的帕累托自由不可能性定理，以及赫尔维茨（Leonid Hurwicz）和马斯金(Eric S. Maskin)的机制设计理论。阿罗不可能定理源自孔多塞的“投票悖论”，孔多塞投票悖论反映了直观上貌似良好的“民主机制”潜在的不协调。早在十八世纪法国思想家孔多塞就提出了著名的“孔多塞投票悖论”：假设甲乙丙三人，面对a、b、c三个备选方案，有如图的偏好排序。甲（a b c）乙（b c a）丙（c a b）注：甲（a b c）代表甲偏好a胜于b，又偏好b胜于c。但若以“一人一票”的投票规则来排列社会偏好次序，会引发不同形式的悖论结果。在“一人一票”的投票中选民可以将自己仅有的一张选票投向其中一位候选人来表达偏好，“最喜欢”与“不喜欢”，若是仅有两位候选人，选票诠释的结果是 “1”和“0”，这是非此即彼的表达，还尚且没有大问题，最终可以通过对两位候选人获得“1”的个数加总对比出得票多少而排列出谁最受该选民群体的喜欢。但是，当候选人是“三”的情况下，由于每位选民手中的选票只有一张，若将选票投向其中一位，则对另外两位的偏好程度就被抹杀了，无法表达出对另外两位的偏好信息，只有把他们统统归为“不喜欢”，这显然是荒谬的。不仅如此，“一人一票”在候选人个数达到“三”时，还会因为只有“1”和“0”两种千篇一律的表达而抹杀了选民对每一个选择支的喜好程度，这种“抹杀”形成了诸多的信息反馈盲区，所以会出现不同形式的悖论。比如下列状况中可以给甲、乙、丙三人每人100分，他们可以根据偏好程度分别赋予a、b、c一定的分值，以表达偏好程度的不同。甲（a c b）65 25 10乙（b a c）50 30 20丙（c b a）40 35 25合计：a获得65+30+25=120b获得10+50+35=95c获得25+20+40=85真实的社会偏好次序为：a b c120 95 85而“一人一票”的投票结果若用分值来分析如下：甲（a c b）100 0 0乙（b c a）100 0 0丙（c a b）100 0 0完全把个人的社会偏好程度完全抹杀掉了，所得的社会偏好次序为：a = b = c100 100 100和前面的真实偏好是矛盾的，所以是不科学的，而且是荒谬的。为了回避“一人一票”投票中，候选人个数达到“三”时因为信息反馈出现盲区而形成的悖论，我们下面用候选人“两两对决”的办法进行表决：若取“a”、“b”对决，那么按照偏好次序排列如下：甲（a b ）乙（b a ）丙（a b ）社会次序偏好为（a b ）若再取“b”、“c”对决，“a”、“c”对决，于是我们得到三个社会偏好次序（a b ）、（b c ）、（c a ），其投票结果显示“社会偏好”有如下事实：社会偏好a胜于b、偏好b胜于c、偏好c胜于a。显而易见，这种所谓的“社会偏好次序”包含有内在的矛盾，即社会偏好a胜于c,而又认为a不如c！所以，当候选人个数达到“三”的时候，即便两两对决，按照“一人一票”的投票规则，也不能得出真实的社会偏好次序，真实的社会偏好次序完全被掩盖了。真实的社会偏好次序为：a b c120 95 85“一人一票”投票结果所表达的两个错误偏好次序为：1）a = b = c100 100 1002）（a b ）、（b c ）、（c a ）真实的社会偏好次序被“一人一票”完全掩盖了，所以“一人一票”的投票规则在候选人达到“三”时，无法表达社会偏好次序，用在选举中，会导致“投票结果无法表达民意”的荒谬结果。需要强调的是，民主的主旨是遵从民意，按照民意来办事，但“一人一票”这种方式连民意都不能正确萃取，又如何表达民意？尊重民意？1972年诺贝尔经济学奖的获得者肯尼思.阿罗，在他的社会选择与个人价值（1951）中，证明了著名的“阿罗不可能定理”，在该书中，他运用数学工具把孔多塞的观念严格化和一般化了。1972年诺贝尔经济学奖获得者、美国经济学家阿罗（K. Arrow）采用数学中的公理化方法，于1951年深入研究了这个问题，并得出在大多数情况下是否定的结论，那就是鼎鼎大名的“阿罗不可能定理（Arrows impossibility theorem）”。阿罗遵从经济学研究集体决策（group decisionmaking）和公共选择（public choice）问题时的惯例，首先将个人投票视为每个独立个体根据自己的偏好程度给各种备选方案从大到小排序，个体的偏好排序满足下列要求：完全性（completivity）、反身性（reflexivity）、传递性（transivity）。阿罗进而将选举视为一种规则，它能够将每个个体表达的偏好次序综合成整个群体的偏好次序，并满足五个条件（即五个阿罗公理Arrows atoxism）。然而通过引入决定性集合（decisive set）和最小决定性集合概念以及相关引理的证明，阿罗令人惊讶地发现：在只有两名候选人的情况下，采用简单多数规则的选举就能满足上述的五个条件的要求；但在超过三名候选人的情况下，满足前四个公理的选举规则竟然违反第五个公理（本来选举的目的就是让大家作主，结果却整出来个一言九鼎的“独裁者”），因此不存在能同时满足这五个条件的选举规则！这个结论被称为“阿罗不可能定理”，其确切表述如下：当至少有三名候选人和两位选民时，不存在满足阿罗公理的选举规则。阿罗用这个结论证明在已知社会所有成员偏好的情况下，通过一定的程序，把各种各样的个人偏好次序归结为单一的社会偏好次序，但通过数学证明，在能被一般人接受的条件下，即至少有三名候选人和两位选民时，这是不可能的。“阿罗不可能定理”的这个结论和“孔多塞投票悖论”的假设是一模一样的，说白了，就是“一人一票”在候选人达到“三”和至少两民选民时，无法正确萃取民意，无法正确表达民意。更准确的表达则是：当至少有三名候选人和两位选民时，不存在满足阿罗公理的选举规则。或者也可以说是：随着候选人和选民的增加，“程序民主”必将越来越远离“实质民主”。“阿罗不可能定理”对于票选制度的打击被认为是类似于能量守恒定律对于永动机的打击，被称为是最根本和最彻底的。所以阿罗不可能定理几乎是刚刚问世便遭到了西方学术界的围攻，数以百计的批驳文字瞬间如雪片般飞来而它们的作者中甚至包括了萨谬尔森、李特尔等地位超卓的“权威人士”、“学术大佬”。但一件不可否认的事实是：迄今为止，阿罗不可能定理经受住了一切技术和科学上的批评。 而技术和科学之外的“批评”以及其他，那不是一个真正的科学家所需要以及有能力作太多“关照”的。阿罗不可能定理，至今，其理论坚若磐石！一提到阿罗不可能定理，自然有人会将阿马蒂亚森(Amartya Sen)提出来与之讨论。森对阿罗的几个公理进行了更加细致的分析，对于其中“非独裁性公理”，他认为该定理没有明确规定最低限度的个人自由权力，他在于 1970年所发表的帕累托自由的不可能性一文中，将非独裁性公理修改为：对一组状态进行选择时，社会偏好应该反映至少两个人的偏好。这一修改后的条件被称之为“最低限度的自由主义”（Minimal liberalism）。森进一步论证，如果“阿罗不可能定理”中的“非独裁性公理”被修改为最低限度的自由主义条件，那么会出现这样一种状况，即不可能找到一个社会选择（或决策）规则同时满足于这一条件和帕累托最优原则，这就是被学者们称谓的著名的帕累托自由不可能定理（Paratian liberal impossibility theorem）,或者被称之为“森的帕累托自由悖论”（Sens paradox Paratian liberal）。这个悖论里两个矛盾的主体如下： 1）“帕累托最优原则”指在不损害他人福利的前提下使自己的福利得以改善；2）“个人自由”原则是人类不懈的追求，用森的话说是，如果你想趴着睡而不想躺着睡，社会应当认可。二者都是人们直觉上能够完全接受的标准，但是森的研究表明，这两个如此诱人的标准却是矛盾的和无法同时成立的。森的定理非常简单，它建立在三个基本前提假设之上：1），个人偏好的无限性；（个人偏好不被改变、忽略、牺牲）2），帕累托最优原则；3），最小自由原则（最低限度的自由主义），即社会应当赋予至少两个人各自在至少一对社会状态之间有选择权，如果他们认为a胜于b时候，社会不应干涉而应认同。只要我们回顾一下在前面的讨论中我们假设了甲、乙、丙三人对a、b、c的偏好程度，就能非常透彻的理解森所要表达的意思。真实的偏好程度：甲（a c b）65 25 10“一人一票”所表达的偏好程度：甲（a c b）100 0 0 显而易见，首先“一人一票”的表达方式是对所有人真实偏好程度的篡改，这违背了“个人偏好无限性”原则（个人偏好不被改变、忽略、牺牲）。真实的社会偏好次序为：a b c120 95 85“一人一票”投票结果所表达的两个错误偏好次序为：1）a = b = c100 100 1002）（a b ）、（b c ）、（c a ）两个错误的结果显示，“一人一票”将整个社会的“偏好次序”和“偏好程度”都篡改了，比“最小自由原则”中所提到的“至少两个人”的标准还严重得多。由此可见，当选择支达到“三”时，用“一人一票”来萃取民意方法简直是在“强奸民意”。所以森的研究得出结论不存在同时满足上述三个条件的社会选择函数。另外，有人可能会认为把“一人一票”改成“一人一百票”就能解决问题，不过我遗憾的告诉闹这样笑话的右派，连攻击“阿罗不可能定理”的学术大佬萨谬尔森都提出：“对每个人来说，若是符合自我利益的时候，会发出错误的信号”（Samulson,1954,pp 388-9），即为了自己的利益，人人都可以通过说谎而去争取到好处，这就是所谓“占优策略”（dominant strategy）。具体说“占优策略”就是指不管别人采取什么策略，自己的策略总是采用最能让自己致胜之道，去争取对自己最为有利的结果，必要时候还可以不考虑道德因素，比如说谎。所以，即便把“一人一票”改成“一人一百票”，投票结果还将是：甲（a c b）100 0 0乙（b c a）100 0 0丙（c a b）100 0 0 只不过这次是选民主动的把所有票数都投给了自己最喜欢的候选人，而主动的把自己的偏好给抹杀掉了，通过“说谎”的方式去争取自己的利益。这个假设和美国数理经济学家利奥. 赫尔维茨的理论研究结果完全相同。利奥. 赫尔维茨至关重要的“激励相容”（incentive compatibility）概念的创立人，并在六七十年代创立了“机制设计理论”，利奥. 赫尔维茨这位西方现代社会学研究的泰山北斗也有个著名的“不可能性定理”那就是“真实显示偏好的不可能性定理”：在经济环境中，在参与性约束条件下（即导致的配置应是个人理性的），不存在一个有效的分散化的经济体制（包括市场竞争机制），能够导致帕累托最优配置，并使人们有动力去显示自己的真实信息。也就是说，真实显示偏好和资源的帕累托最优配置是不可能同时达到的，因为一个人愿意讲真话，那就意味着讲真话是他的占优策略，而若他说假话能获取这种优势，那么他会说假话。因此，要想得到能够产生帕累托最优配置的机制，很多时候必须放弃占优均衡假设，即放弃每个人都讲真话的假定。这个“真实显示偏好不可能定理”是概括经济领域中“真实表达偏好”的状况，和社会选择规则博弈是类似的，可以说是相通的。综上所述，“一人一票”的投票机制在选择支达到“三”时，可谓是漏洞百出，甚至可以说到了惨不忍睹的地步。坎普布尔等人运用蒙特卡尔法来计算投票悖论产生的概率，并且指出，投票者数量或选择值增加越多，产生悖论的可能性就越大。譬如，在投票者为3人，选择值为3点的情况下，产生悖论效应的概率约为 5.7；当投票者增加至15人，选择值增加至11点时，产生悖论效应的概率提高到50。也就是说，两次投票中就有一次悖论现象出现。可这还不够，悖论的出现只能说明其结果是个“伪结果”，其程序是个“伪程序”，其机制是“伪民主”而已，但并不能表达其危害程度。下面我们再来考察一下“一人一票”机制在选择支达到“三”时候的“危害性”。前面提到的，诺贝尔经济学奖得主阿马蒂亚森(Amartya Sen)著名的“帕累托自由悖论”向人们证明了，人们在争取自己利益最大化的同时必然影响甚至伤害到别人的利益。既然如此，要达成一个和谐的社会，必须有人要作出利益让渡甚至牺牲，才能让整个社会的公益得到彰显，所以人们必须放弃部分“自由”，而用“公平”的抉择来解决整体与局部的矛盾，只有如此让社会整体利益得到彰显，这就好比红绿灯指挥十字路口的交通，若大家都不暂时放弃通行，那么大家只能堵在一起谁也走不动。这其实是回答了多年前卢梭所提出的“众意和公益”之问题的讨论。“众意”=/=“公意”，因为“公”=/=“众”，“公”是全体，而“众”只是多数而已。我们可以用刚才提到的十字路口问题来简单的举例说明一下。若“东西向”的车流多，而“南北向”的车流少，用“少数服从多数”的原则让“东西向”通车显然是仅体现了“众意”，而这个“众意”连“众利”都不见得能照顾到，因为“南北向”的车流里很有可能有救护车、消防车是去“救人”和“灭火”的，而这里的病人和火灾房屋很有可能就是“东西向”车流里的家庭成员或住宅。所以，“众意”连“众利”都无法兼顾，何况“公益”？不仅“一人一票”所表决出来的一定只是“众意”而已，并非“公益”，而且在这个过程当中还会因为每个选民的“占优策略”进一步偏离“公意”和“公益”。现代社会学研究在讨论“众意和公益”时，都是以自利原则为前提，即将所有的人群都认为是自利的，而且在必要的时候，可以采取一切有效的