近代数学时期.pdf

近代数学时期近代数学时期近代数学时期近代数学时期 主讲 李清主讲 李清 解析几何 微 积 分 分析时代 解析几何 微 积 分 分析时代 解析几何解析几何解析几何解析几何 解析几何解析几何解析几何解析几何 又名又名又名又名 坐标几何坐标几何坐标几何坐标几何 是几何学的一个分支 是几何学的一个分支 是几何学的一个分支 是几何学的一个分支 解析几何的基本思想是用代数的方法来研究几何问题 它的基解析几何的基本思想是用代数的方法来研究几何问题 它的基解析几何的基本思想是用代数的方法来研究几何问题 它的基 解析几何的基本思想是用代数的方法来研究几何问题 它的基 本方法是坐标法 即通过坐标把几何问题表示成代数形式 然后通本方法是坐标法 即通过坐标把几何问题表示成代数形式 然后通本方法是坐标法 即通过坐标把几何问题表示成代数形式 然后通 本方法是坐标法 即通过坐标把几何问题表示成代数形式 然后通 过代数方程来表示和研究曲线过代数方程来表示和研究曲线过代数方程来表示和研究曲线过代数方程来表示和研究曲线 它包括它包括它包括它包括 平面解析几何平面解析几何平面解析几何平面解析几何 和和和和 空间解析几何空间解析几何空间解析几何空间解析几何 两部分 两部分 两部分 两部分 前一部分除研究直线的有关性质外 主要研究圆锥曲线 椭前一部分除研究直线的有关性质外 主要研究圆锥曲线 椭前一部分除研究直线的有关性质外 主要研究圆锥曲线 椭 前一部分除研究直线的有关性质外 主要研究圆锥曲线 椭 圆 抛物线 双曲线 的有关性质 后一部分除研究平面 直线圆 抛物线 双曲线 的有关性质 后一部分除研究平面 直线圆 抛物线 双曲线 的有关性质 后一部分除研究平面 直线 圆 抛物线 双曲线 的有关性质 后一部分除研究平面 直线 的有关性质外 主要研究二次曲面 椭球面的有关性质外 主要研究二次曲面 椭球面的有关性质外 主要研究二次曲面 椭球面的有关性质外 主要研究二次曲面 椭球面 抛物面 双曲面等 抛物面 双曲面等 抛物面 双曲面等 抛物面 双曲面等 的有关性质 的有关性质 的有关性质 的有关性质 解析几何简介解析几何简介解析几何简介解析几何简介 实际背景 机械运动 天体运行规律 弹道问题实际背景 机械运动 天体运行规律 弹道问题实际背景 机械运动 天体运行规律 弹道问题实际背景 机械运动 天体运行规律 弹道问题 对运动与变化的研究已变成自然科学的中心问对运动与变化的研究已变成自然科学的中心问对运动与变化的研究已变成自然科学的中心问 对运动与变化的研究已变成自然科学的中心问 题 迫切地需要一种新的数学工具 题 迫切地需要一种新的数学工具 题 迫切地需要一种新的数学工具 题 迫切地需要一种新的数学工具 解析几何产生的实际背景和数学条件解析几何产生的实际背景和数学条件解析几何产生的实际背景和数学条件解析几何产生的实际背景和数学条件 数学自身的条件数学自身的条件数学自身的条件数学自身的条件 几何学已出现解决问题的乏力状态 几何学已出现解决问题的乏力状态 几何学已出现解决问题的乏力状态 几何学已出现解决问题的乏力状态 代数已成熟到能足以有效地解决几何问题的程度代数已成熟到能足以有效地解决几何问题的程度代数已成熟到能足以有效地解决几何问题的程度代数已成熟到能足以有效地解决几何问题的程度 解析几何产生前的几何学解析几何产生前的几何学解析几何产生前的几何学解析几何产生前的几何学 特点 特点 特点 特点 静态的几何静态的几何静态的几何静态的几何 既不把曲线看成是一种动点的轨迹既不把曲线看成是一种动点的轨迹既不把曲线看成是一种动点的轨迹既不把曲线看成是一种动点的轨迹 更没有给它以一般的表示方法更没有给它以一般的表示方法更没有给它以一般的表示方法更没有给它以一般的表示方法 平面几何 立体几何 欧几里得的平面几何 立体几何 欧几里得的平面几何 立体几何 欧几里得的平面几何 立体几何 欧几里得的 几何原本几何原本几何原本几何原本 圆锥曲线论 阿波罗尼斯的圆锥曲线论 阿波罗尼斯的圆锥曲线论 阿波罗尼斯的圆锥曲线论 阿波罗尼斯的 圆锥曲线论圆锥曲线论圆锥曲线论圆锥曲线论 数学条件数学条件数学条件数学条件 一一一一 16161616世纪以后世纪以后世纪以后世纪以后 哥白尼提出日心说 伽利略得出惯性定律和哥白尼提出日心说 伽利略得出惯性定律和哥白尼提出日心说 伽利略得出惯性定律和 哥白尼提出日心说 伽利略得出惯性定律和 自由落体定律 这些都向几何学提出了用自由落体定律 这些都向几何学提出了用自由落体定律 这些都向几何学提出了用自由落体定律 这些都向几何学提出了用运动的观点运动的观点运动的观点运动的观点来认识和来认识和来认识和 来认识和 处理圆锥曲线及其他几何曲线的课题 几何学必须从观点到方处理圆锥曲线及其他几何曲线的课题 几何学必须从观点到方处理圆锥曲线及其他几何曲线的课题 几何学必须从观点到方 处理圆锥曲线及其他几何曲线的课题 几何学必须从观点到方 法来一个变革 创立起一种法来一个变革 创立起一种法来一个变革 创立起一种法来一个变革 创立起一种建立在运动观点上的几何学建立在运动观点上的几何学建立在运动观点上的几何学建立在运动观点上的几何学 几何学出现解决问题的乏力状态几何学出现解决问题的乏力状态几何学出现解决问题的乏力状态几何学出现解决问题的乏力状态 数学条件数学条件数学条件数学条件 二二二二 16161616世纪代数的发展恰好为解析几何的诞生创造了条件 世纪代数的发展恰好为解析几何的诞生创造了条件 世纪代数的发展恰好为解析几何的诞生创造了条件 世纪代数的发展恰好为解析几何的诞生创造了条件 1591159115911591年法国数学家韦达第一个在代数中有意识地系统地使年法国数学家韦达第一个在代数中有意识地系统地使年法国数学家韦达第一个在代数中有意识地系统地使 年法国数学家韦达第一个在代数中有意识地系统地使 用了字母 他不仅用字母表示未知数用了字母 他不仅用字母表示未知数用了字母 他不仅用字母表示未知数用了字母 他不仅用字母表示未知数 而且用以表示已知数 而且用以表示已知数 而且用以表示已知数 而且用以表示已知数 包括方程中的系数和常数 这样 包括方程中的系数和常数 这样 包括方程中的系数和常数 这样 包括方程中的系数和常数 这样 代数就从一门以分别解决各代数就从一门以分别解决各代数就从一门以分别解决各 代数就从一门以分别解决各 种特殊问题的侧重于计算的数学分支 成为一门以研究一般类种特殊问题的侧重于计算的数学分支 成为一门以研究一般类种特殊问题的侧重于计算的数学分支 成为一门以研究一般类 种特殊问题的侧重于计算的数学分支 成为一门以研究一般类 型的形式和方程的学问 型的形式和方程的学问 型的形式和方程的学问 型的形式和方程的学问 这就为几何曲线建立代数方程铺平了这就为几何曲线建立代数方程铺平了这就为几何曲线建立代数方程铺平了 这就为几何曲线建立代数方程铺平了 道路 道路 道路 道路 代数的符号化代数的符号化代数的符号化代数的符号化 使坐标概念的引进成为可能 从而可建使坐标概念的引进成为可能 从而可建使坐标概念的引进成为可能 从而可建 使坐标概念的引进成为可能 从而可建 立一般的曲线方程 发挥其具有普遍性的方法的作用 立一般的曲线方程 发挥其具有普遍性的方法的作用 立一般的曲线方程 发挥其具有普遍性的方法的作用 立一般的曲线方程 发挥其具有普遍性的方法的作用 BackBack 17171717世纪前半叶 解析几何创立 其中法国数学家笛卡世纪前半叶 解析几何创立 其中法国数学家笛卡世纪前半叶 解析几何创立 其中法国数学家笛卡 世纪前半叶 解析几何创立 其中法国数学家笛卡 尔 尔 尔 尔 DescartesDescartes 1596159615961596 1650 1650 1650 1650 和费尔玛 和费尔玛 和费尔玛 和费尔玛 fermatfermat 1601160116011601 1665166516651665 作出了最重要的贡献 成为解析几何学的创立者 作出了最重要的贡献 成为解析几何学的创立者 作出了最重要的贡献 成为解析几何学的创立者 作出了最重要的贡献 成为解析几何学的创立者 解析几何的诞生解析几何的诞生解析几何的诞生解析几何的诞生 笛卡儿 法 笛卡儿 法 1596 1650年 年 我思故我在我思故我在 法国科学家 哲学家和数学家法国科学家 哲学家和数学家 欧洲近代哲学的奠基人之一 17 世纪欧洲哲学界和科学界最有影响 的巨匠之一 欧洲近代哲学的奠基人之一 17 世纪欧洲哲学界和科学界最有影响 的巨匠之一 近代科学的始祖近代科学的始祖 1616年获法学博士学位 1618 1621年投笔从戎 1628年移居荷 兰 1649年到瑞典斯德哥尔摩 1616年获法学博士学位 1618 1621年投笔从戎 1628年移居荷 兰 1649年到瑞典斯德哥尔摩 解析几何的诞生解析几何的诞生解析几何的诞生解析几何的诞生 笛卡尔的解析几何有两个基本思想 笛卡尔的解析几何有两个基本思想 笛卡尔的解析几何有两个基本思想 笛卡尔的解析几何有两个基本思想 用有序实数对表示点的坐标 在平面上的点和有序实 用有序实数对表示点的坐标 在平面上的点和有序实 用有序实数对表示点的坐标 在平面上的点和有序实 用有序实数对表示点的坐标 在平面上的点和有序实 数对之间建立一一对应关系 数对之间建立一一对应关系 数对之间建立一一对应关系 数对之间建立一一对应关系 把互相关联的两个未知数的代数方程与平面上的一条 把互相关联的两个未知数的代数方程与平面上的一条 把互相关联的两个未知数的代数方程与平面上的一条 把互相关联的两个未知数的代数方程与平面上的一条 曲线相对应 曲线相对应 曲线相对应 曲线相对应 古代的几何过于抽象 过多地依赖于图形 代数过于受法 则和公式的约束 缺乏直观 不是有益于发展思想的艺术 几何学提供了有关真实世界的知识和真理 而代数学能用 来对抽象的未知量进行推理 代数学是一门潜在的方法科学 因此 把代数学和几何学中一切精华的东西结合起来 可以 取长补短 古代的几何过于抽象 过多地依赖于图形 代数过于受法 则和公式的约束 缺乏直观 不是有益于发展思想的艺术 几何学提供了有关真实世界的知识和真理 而代数学能用 来对抽象的未知量进行推理 代数学是一门潜在的方法科学 因此 把代数学和几何学中一切精华的东西结合起来 可以 取长补短 解析几何的诞生解析几何的诞生解析几何的诞生解析几何的诞生 笛卡儿 法 笛卡儿 法 1596 1650年 年 1637年 更好地指导推理和寻求科 学真理的 年 更好地指导推理和寻求科 学真理的方法论方法论 折光 折射定律 折光 折射定律 气象 虹的形成原理 气象 虹的形成原理 几何学 解析几何思想 几何学 解析几何思想 任何问题 数学问题 代数问题 方 程求解 古典几何处于代数学支配之下 任何问题 数学问题 代数问题 方 程求解 古典几何处于代数学支配之下 解析几何的诞生解析几何的诞生解析几何的诞生解析几何的诞生 在笛卡尔的在笛卡尔的在笛卡尔的在笛卡尔的 几何学几何学几何学几何学 发表以前 费尔玛已经用解析几何发表以前 费尔玛已经用解析几何发表以前 费尔玛已经用解析几何发表以前 费尔玛已经用解析几何 的方法对阿波罗尼斯某些失传的关于轨迹的证明作出补充 的方法对阿波罗尼斯某些失传的关于轨迹的证明作出补充 的方法对阿波罗尼斯某些失传的关于轨迹的证明作出补充 的方法对阿波罗尼斯某些失传的关于轨迹的证明作出补充 费尔玛费尔玛费尔玛费尔玛 法 法 法 法 1601160116011601 1665166516651665年 年 年 年 业余业余业余 业余 数学家 数学家 数学家 数学家 为微积分 概率论和数论的为微积分 概率论和数论的为微积分 概率论和数论的 为微积分 概率论和数论的 创立和发展都作出了最重要的贡献 创立和发展都作出了最重要的贡献 创立和发展都作出了最重要的贡献 创立和发展都作出了最重要的贡献 论平面和立体的轨迹引论论平面和立体的轨迹引论论平面和立体的轨迹引论论平面和立体的轨迹引论 16291629 只要在最后的方程只要在最后的方程只要在最后的方程 只要在最后的方程 中出现两个未知量 我们就有一条轨迹 这两个量之一的末端中出现两个未知量 我们就有一条轨迹 这两个量之一的末端中出现两个未知量 我们就有一条轨迹 这两个量之一的末端 中出现两个未知量 我们就有一条轨迹 这两个量之一的末端 描绘出一条直线或曲线 直线只有一种 曲线的种类则是无限描绘出一条直线或曲线 直线只有一种 曲线的种类则是无限描绘出一条直线或曲线 直线只有一种 曲线的种类则是无限 描绘出一条直线或曲线 直线只有一种 曲线的种类则是无限 的 有圆 抛物线 椭圆等等的 有圆 抛物线 椭圆等等的 有圆 抛物线 椭圆等等的 有圆 抛物线 椭圆等等 解析几何的诞生解析几何的诞生解析几何的诞生解析几何的诞生 解析几何沟通了数学内数与形 代数与几何等最基本对象之解析几何沟通了数学内数与形 代数与几何等最基本对象之解析几何沟通了数学内数与形 代数与几何等最基本对象之 解析几何沟通了数学内数与形 代数与几何等最基本对象之 间的联系 从此 代数与几何这两门学科互相吸取营养而得间的联系 从此 代数与几何这两门学科互相吸取营养而得间的联系 从此 代数与几何这两门学科互相吸取营养而得 间的联系 从此 代数与几何这两门学科互相吸取营养而得 到迅速发展 并结合产生出许多新的学科 近代数学便很快到迅速发展 并结合产生出许多新的学科 近代数学便很快到迅速发展 并结合产生出许多新的学科 近代数学便很快 到迅速发展 并结合产生出许多新的学科 近代数学便很快 发展起来了 发展起来了 发展起来了 发展起来了 解析几何创立的意义解析几何创立的意义解析几何创立的意义解析几何创立的意义 恩格斯高度评价了笛卡尔的革新思想 他说 恩格斯高度评价了笛卡尔的革新思想 他说 恩格斯高度评价了笛卡尔的革新思想 他说 恩格斯高度评价了笛卡尔的革新思想 他说 数学中的转折点数学中的转折点数学中的转折点 数学中的转折点 是笛卡儿的变数 有了变数 运动进入了数学 有了变数 辩证是笛卡儿的变数 有了变数 运动进入了数学 有了变数 辩证是笛卡儿的变数 有了变数 运动进入了数学 有了变数 辩证 是笛卡儿的变数 有了变数 运动进入了数学 有了变数 辩证 法进入了数学 有了变数 微分和积分也就立刻成为必要的了 法进入了数学 有了变数 微分和积分也就立刻成为必要的了 法进入了数学 有了变数 微分和积分也就立刻成为必要的了 法进入了数学 有了变数 微分和积分也就立刻成为必要的了 笛卡尔和费马创立解析几何 在数学史上具有划时代的意义 笛卡尔和费马创立解析几何 在数学史上具有划时代的意义 笛卡尔和费马创立解析几何 在数学史上具有划时代的意义 笛卡尔和费马创立解析几何 在数学史上具有划时代的意义 M M 克莱因 美 1908 1992 克莱因 美 1908 1992 笛卡儿把代数 提高到重要地位 其意义远远超出了他对 作图问题的洞察和分类 这个关键思想使 人们能够认识典型的几何问题 并且能够 把几何上互不相关的问题归纳在一起 代 数给几何带来最自然的分类原则和最自然 的方法层次 因此 体系和结构就从代数 转移到几何 笛卡儿把代数 提高到重要地位 其意义远远超出了他对 作图问题的洞察和分类 这个关键思想使 人们能够认识典型的几何问题 并且能够 把几何上互不相关的问题归纳在一起 代 数给几何带来最自然的分类原则和最自然 的方法层次 因此 体系和结构就从代数 转移到几何 解析几何创立的意义解析几何创立的意义解析几何创立的意义解析几何创立的意义 微积分微积分微积分微积分 微积分的诞生是全部数学史上 也是人类历 史上最伟大 最有影响的创举 微积分的诞生是全部数学史上 也是人类历 史上最伟大 最有影响的创举 微积分导致后来一切科学和技术领域的革命微积分导致后来一切科学和技术领域的革命 离开微积分 人类将停顿前进的步伐离开微积分 人类将停顿前进的步伐 十七世纪的微积分十七世纪的微积分十七世纪的微积分十七世纪的微积分 科学思想与方法论科学思想与方法论 培根 英 1561 1626 提倡实验科学 伽利略 意 1564 1642 寻求基本 原理 培根 英 1561 1626 提倡实验科学 伽利略 意 1564 1642 寻求基本 原理 天文学的革命天文学的革命 伽利略 意 1564 1642 天文望远镜 开普勒 德 1571 1630 天体运行 三大定律 伽利略 意 1564 1642 天文望远镜 开普勒 德 1571 1630 天体运行 三大定律 力学体系的诞生力学体系的诞生 伽利略 意 1564 1642 自由落体运动 胡克 英 1635 1703 引力定律伽利略 意 1564 1642 自由落体运动 胡克 英 1635 1703 引力定律 化学确立为科学化学确立为科学 波义耳 英 1627 1691 朴素元素观 施塔尔 德 1660 1734 燃素说波义耳 英 1627 1691 朴素元素观 施塔尔 德 1660 1734 燃素说 生物学的孕育生物学的孕育 维萨里 比 1514 1564 解剖学 哈维 英 1578 1657 血液循环过程维萨里 比 1514 1564 解剖学 哈维 英 1578 1657 血液循环过程 实际背景实际背景一近代科学的兴起一近代科学的兴起 开普勒天体运行三大定律开普勒天体运行三大定律 1 每个行星在椭圆轨道上环绕太阳运动 而太 阳在一个焦点上 每个行星在椭圆轨道上环绕太阳运动 而太 阳在一个焦点上 2 太阳和行星的矢径在相等的时间间隔中扫过 相等的面积 太阳和行星的矢径在相等的时间间隔中扫过 相等的面积 3 行星的轨道周期的平方与它的轨道的长轴的 三次方成正比 行星的轨道周期的平方与它的轨道的长轴的 三次方成正比 产生背景 第一类问题产生背景 第一类问题 已知物体移动的距离表为时间的函数的公式 求物体在任意时刻的速度和加速度 反过来 已知 物体的加速度表为时间的函数的公式 求速度和距 离 已知物体移动的距离表为时间的函数的公式 求物体在任意时刻的速度和加速度 反过来 已知 物体的加速度表为时间的函数的公式 求速度和距 离 瞬时变化率问题瞬时变化率问题 问题来源 确定非匀速运动物体的速度 加速 度 问题来源 确定非匀速运动物体的速度 加速 度 困难 十七世纪所涉及的速度和加速度每时每刻 都在变化 例如 计算瞬时速度 就不能象计算平均 速度那样 用运动的时间去除移动的距离 因为在给 定的瞬刻 移动的距离和所用的时间都是 困难 十七世纪所涉及的速度和加速度每时每刻 都在变化 例如 计算瞬时速度 就不能象计算平均 速度那样 用运动的时间去除移动的距离 因为在给 定的瞬刻 移动的距离和所用的时间都是 0 而 而 0 0 是无意义的 但根据物理学 每个运动的物体在它运 动的每一时刻必有速度 是不容怀疑的 是无意义的 但根据物理学 每个运动的物体在它运 动的每一时刻必有速度 是不容怀疑的 产生背景 第一类问题产生背景 第一类问题 求曲线的切线 问题来源 纯几何问题 光学中研究光线通过透 镜的通道问题 运动物体在它的轨迹上任意一点处的 运动方向问题等 求曲线的切线 问题来源 纯几何问题 光学中研究光线通过透 镜的通道问题 运动物体在它的轨迹上任意一点处的 运动方向问题等 产生背景 第二类问题产生背景 第二类问题 产生背景 第二类问题产生背景 第二类问题 困难在于 曲线的困难在于 曲线的 切线切线 的定义本身就是一个没 有解决的问题 古希腊人把圆锥曲线的切线定义为 的定义本身就是一个没 有解决的问题 古希腊人把圆锥曲线的切线定义为 与曲线只接 触于一点而且位于曲线的一边的直线 与曲线只接 触于一点而且位于曲线的一边的直线 这个定义对 于十七世纪所用的较复杂的曲线已经不适应了 这个定义对 于十七世纪所用的较复杂的曲线已经不适应了 求函数的最大 最小值问题 问题来源 十七世纪初期 伽利略断定 在真空 中以 角发射炮弹时 射程最大 求行星轨道的近日点和远日点 求函数的最大 最小值问题 问题来源 十七世纪初期 伽利略断定 在真空 中以 角发射炮弹时 射程最大 求行星轨道的近日点和远日点 45 产生背景 第三类问题产生背景 第三类问题 困难在于 原有的初等计算方法已不适于解决研 究中出现的问题 但新的方法尚无眉目 困难在于 原有的初等计算方法已不适于解决研 究中出现的问题 但新的方法尚无眉目 产生背景 第三类问题产生背景 第三类问题 产生背景 第四类问题产生背景 第四类问题 求曲线的长度 曲线所围成的面积 曲面所围成 的体积 物体的重心 一个体积相当大的物体作用于 另一个物体上的引力 问题来源 行星沿轨道运动的路程 行星矢径扫 过的面积以及物体重心与引力的计算 求曲线的长度 曲线所围成的面积 曲面所围成 的体积 物体的重心 一个体积相当大的物体作用于 另一个物体上的引力 问题来源 行星沿轨道运动的路程 行星矢径扫 过的面积以及物体重心与引力的计算 困难在于 古希腊人用穷竭法求出了一些面积和 体积 尽管他们只是对于比较简单的面积和体积应用 了这个方法 但也必须添加许多技巧 因为这个方法 缺乏一般性 而且经常得不到数值的解答 穷竭法先是被逐步修改 后来由微积分的创立而 被根本修改了 困难在于 古希腊人用穷竭法求出了一些面积和 体积 尽管他们只是对于比较简单的面积和体积应用 了这个方法 但也必须添加许多技巧 因为这个方法 缺乏一般性 而且经常得不到数值的解答 穷竭法先是被逐步修改 后来由微积分的创立而 被根本修改了 产生背景 第四类问题产生背景 第四类问题 开普勒开普勒 德 德 1571 1630 的 旋转体体积 的 旋转体体积 1615 无穷小求和思想无穷小求和思想 孕育孕育 1609 1619年行星运动三大定律年行星运动三大定律 卡瓦列里卡瓦列里 意意 1598 1647 的不 可分量原理 的不 可分量原理 1635 无穷小方法计算面积和体积无穷小方法计算面积和体积 a n 1 n 0 a x dx n 1 孕育孕育 孕育孕育 伽利略伽利略 意意 1564 1642 的切线构造的切线构造 运动合速度方向的直线运动合速度方向的直线 1638年 关于力学和位置运动的两种 新科学的对话与数学证明 年 关于力学和位置运动的两种 新科学的对话与数学证明 笛卡儿笛卡儿 法 法 1596 1650 的圆法及切线 构造 的圆法及切线 构造 1637 牛顿是以笛卡儿圆法为起跑点而踏上 研究微积分的道路 牛顿是以笛卡儿圆法为起跑点而踏上 研究微积分的道路 孕育孕育 0 e f a e f a e 矩形长条分割曲边形并求和矩形长条分割曲边形并求和 费尔马费尔马 法法 1601 1665 的极大极小方法的极大极小方法 1629 和 曲边梯形面积 和 曲边梯形面积 1636 增量方法增量方法 孕育孕育 巴罗巴罗 英英 1630 1677 的 特征三角形与曲线切线 的 特征三角形与曲线切线 1664 1669 y x对于决定切线的重要性对于决定切线的重要性 孕育孕育 沃利斯沃利斯 英英 1616 1703 的分数幂积分的分数幂积分 1656 无穷小分析的算术化无穷小分析的算术化 的无穷乘积表达式 的无穷乘积表达式 孕育孕育 q q p a 0 p q a qp q dxx 引导牛顿发 现了有理数 幂的二项式 定理 引导牛顿发 现了有理数 幂的二项式 定理 总结总结 这些工作沿着不同方向向微积分大门逼 近 这些工作沿着不同方向向微积分大门逼 近 方法仍然缺乏足够的一般性 求切线 变化率 极大极小值 面积 体积在当 时被作为不同类型处理 虽然也有人注 意到了某些联系 如费马 巴罗 但没 有人将这些联系作为一般规律明确提出 方法仍然缺乏足够的一般性 求切线 变化率 极大极小值 面积 体积在当 时被作为不同类型处理 虽然也有人注 意到了某些联系 如费马 巴罗 但没 有人将这些联系作为一般规律明确提出 牛顿牛顿 英 英 1642 1727年年 与莱布尼兹与莱布尼兹 德 德 1646 1716年 年 牛顿牛顿牛顿牛顿 英 英 1642 1727年年 与莱布尼兹与莱布尼兹与莱布尼兹与莱布尼兹 德 德 1646 1716年 年 数学和科学中的巨大进展 几乎数学和科学中的巨大进展 几乎总是建立在 几百年中作出一点一滴贡献的许多人的工作之上 的 需要有一个人来走那最高和最后的一步 总是建立在 几百年中作出一点一滴贡献的许多人的工作之上 的 需要有一个人来走那最高和最后的一步 这 个人要能 这 个人要能足够敏锐地从纷乱的猜测和说明中清理 出前人的有价值的想法 有足够想象力地把这些 碎片重新组织起来 并且能足够大胆地制定一个 宏伟的计划 足够敏锐地从纷乱的猜测和说明中清理 出前人的有价值的想法 有足够想象力地把这些 碎片重新组织起来 并且能足够大胆地制定一个 宏伟的计划 牛顿牛顿 英 英 1642 1727年年 Nature and Nature s laws lay hid in night God said let Newton be and all was light 自然和自然定律隐藏在茫茫 黑夜中 上帝说 让牛顿出 世吧 于是一切都豁然明朗 自然和自然定律隐藏在茫茫 黑夜中 上帝说 让牛顿出 世吧 于是一切都豁然明朗 牛顿牛顿 英 英 1642 1727年年 在繁杂的农务中埋没这样一位天才 对世界来说将是多么巨大的损失 在繁杂的农务中埋没这样一位天才 对世界来说将是多么巨大的损失 1661年进入剑桥大学三一学院年进入剑桥大学三一学院 笛卡儿 几何学 笛卡儿 几何学 1637 沃利斯 无穷算术 沃利斯 无穷算术 1656 1665年夏至1667年春 牛顿科学生涯的黄金岁月 1665年夏至1667年春 牛顿科学生涯的黄金岁月 第一个创造性成果 二项定 理 第一个创造性成果 二项定 理 1665 及无穷级数及无穷级数 1666 1669 1701年任卢卡斯教授年任卢卡斯教授 1699年伦敦造币局局长年伦敦造币局局长 1703年皇家学会会长年皇家学会会长 1705年封爵年封爵 他在数学上以创建微积分而著称 其流数法 即 物质的变化率 始于1665年 1666年写成论文 流数 简论 但不严格 成熟 牛顿始终不渝努力改进 完善自己的微积分学说 流数法系统叙述于 流数法 和无穷级数 1671年完成 1736年出版 首先发 表在 他在数学上以创建微积分而著称 其流数法 即 物质的变化率 始于1665年 1666年写成论文 流数 简论 但不严格 成熟 牛顿始终不渝努力改进 完善自己的微积分学说 流数法系统叙述于 流数法 和无穷级数 1671年完成 1736年出版 首先发 表在 自然哲学之数学原理 自然哲学之数学原理 1687 中 1687 中 运用微积分工具 严格证明了包括开普勒行星运动三大 定律 万有引力定律在内的一系列结果 将其应用于流体运 动 声 光 潮汐 彗星及至宇宙体系 充分显示了这一新 数学工具的威力 微积分披上了几何外衣 运用微积分工具 严格证明了包括开普勒行星运动三大 定律 万有引力定律在内的一系列结果 将其应用于流体运 动 声 光 潮汐 彗星及至宇宙体系 充分显示了这一新 数学工具的威力 微积分披上了几何外衣 讨论的基本问题是 讨论的基本问题是 已知流量间的关系 求它 们的流数的关系以及逆运算 确立了微分与积分这 两类运算的互逆关系 即微积分基本定理 他用级 数处理微分和积分 已对级数的收敛和发散有所认 识 他也研究微分方程 隐函数微分 曲线切线 曲线曲率 曲线的拐点和曲线长度等 已知流量间的关系 求它 们的流数的关系以及逆运算 确立了微分与积分这 两类运算的互逆关系 即微积分基本定理 他用级 数处理微分和积分 已对级数的收敛和发散有所认 识 他也研究微分方程 隐函数微分 曲线切线 曲线曲率 曲线的拐点和曲线长度等 莱布尼茨莱布尼茨 德 德 1646 1716年年 莱布尼茨莱布尼茨 德 德 1646 1716年年 博学多才罕有所比博学多才罕有所比 数学 物理学 力学 逻辑学 生物学 化学 地 理学 解剖学 动物学 植物学 气体学 航海学 地质学 语言学 法学 哲学 神学 历史 外交等 数学 物理学 力学 逻辑学 生物学 化学 地 理学 解剖学 动物学 植物学 气体学 航海学 地质学 语言学 法学 哲学 神学 历史 外交等 1661年进入莱比锡大学年进入莱比锡大学 外交官 科学家外交官 科学家 1672 1676年留居巴黎年留居巴黎 帕斯卡帕斯卡 法法 1623 1662 的特征三角形的特征三角形 对任意给定的曲线都可以作这 样的无限小三角形 只要用给定 曲线的法线来替代圆半径 而借 助于这样的无限小三角形 可以 对任意给定的曲线都可以作这 样的无限小三角形 只要用给定 曲线的法线来替代圆半径 而借 助于这样的无限小三角形 可以 迅速地 毫无困难地建立大量的 定理 迅速地 毫无困难地建立大量的 定理 孕育孕育 关于四分之一圆的正弦 中 关于四分之一圆的正弦 中 突然看到了一束光明突然看到了一束光明 ydsdxn ndxyds 不同点 不同点 产生过程 产生过程 牛顿一开始就以集大成者的姿态 在对前人工作 进行分析综合的基础上 建立起一个概念明确 算法正确 应用有效 体系完善的理论 他十分重视思想的合理性 一 再修改作为他学说出发点的概念的逻辑基础 相反 莱布尼 兹在迅速发现和揭示微积分基本原理的基础上发展他的学 说 进行扩展 而不是追求严密的表述 牛顿一开始就以集大成者的姿态 在对前人工作 进行分析综合的基础上 建立起一个概念明确 算法正确 应用有效 体系完善的理论 他十分重视思想的合理性 一 再修改作为他学说出发点的概念的逻辑基础 相反 莱布尼 兹在迅速发现和揭示微积分基本原理的基础上发展他的学 说 进行扩展 而不是追求严密的表述 微积分本质 微积分本质 牛顿研究以连续运动的直观思想为基础的流 数 他的学说以变化率 导数概念为核心 并由此出发 通 过逆过程解决面积和体积问题 莱布尼兹研究几何变量的离 散的无穷小之差 把微分作为基本概念 面积 体积被想成 无穷多个微分之和 实际计算中则用反微分求和 牛顿研究以连续运动的直观思想为基础的流 数 他的学说以变化率 导数概念为核心 并由此出发 通 过逆过程解决面积和体积问题 莱布尼兹研究几何变量的离 散的无穷小之差 把微分作为基本概念 面积 体积被想成 无穷多个微分之和 实际计算中则用反微分求和 牛顿与莱布尼兹创立的微积分比较牛顿与莱布尼兹创立的微积分比较牛顿与莱布尼兹创立的微积分比较牛顿与莱布尼兹创立的微积分比较牛顿与莱布尼兹创立的微积分比较牛顿与莱布尼兹创立的微积分比较 不同点 不同点 研究关注点 研究关注点 莱布尼兹更关心用运算公式创造出广泛意义下 的微积分 他努力发展符号体系 建立微积分的规范 即法 则和公式系统 牛顿把主要精力放在完善学说和扩大应用 上 不注重法则 牛顿的广泛的微积分应用 超过了莱布尼 兹的工作 刺激并决定了几乎整个18世纪分析的方向 莱布尼兹更关心用运算公式创造出广泛意义下 的微积分 他努力发展符号体系 建立微积分的规范 即法 则和公式系统 牛顿把主要精力放在完善学说和扩大应用 上 不注重法则 牛顿的广泛的微积分应用 超过了莱布尼 兹的工作 刺激并决定了几乎整个18世纪分析的方向 对待无穷级数的态度 对待无穷级数的态度 牛顿对函数的无穷级数展开怀有很大 的兴趣和积极态度 他把这看成是微积分的重要组成部分 是求微分和反微分的重要手段 莱布尼兹则不重视 牛顿对函数的无穷级数展开怀有很大 的兴趣和积极态度 他把这看成是微积分的重要组成部分 是求微分和反微分的重要手段 莱布尼兹则不重视 共同点 共同点 二者功绩相当 都使微积分成为能普遍适用的算法 同时又 都将面积 体积及相当的问题归结为反切线 微分 二者功绩相当 都使微积分成为能普遍适用的算法 同时又 都将面积 体积及相当的问题归结为反切线 微分 牛顿与莱布尼兹创立的微积分比较牛顿与莱布尼兹创立的微积分比较牛顿与莱布尼兹创立的微积分比较牛顿与莱布尼兹创立的微积分比较牛顿与莱布尼兹创立的微积分比较牛顿与莱布尼兹创立的微积分比较 1699年 瑞士数学家德丢勒 1699年 瑞士数学家德丢勒 牛顿是微积分的第 一发明人 而莱布尼兹作为第二发明人 牛顿是微积分的第 一发明人 而莱布尼兹作为第二发明人 莱布 尼兹立即对此作了反驳 莱布 尼兹立即对此作了反驳 1712年 英国皇家学会微积分优先权争论委员会 公布 通报 宣布 1712年 英国皇家学会微积分优先权争论委员会 公布 通报 宣布 确认牛顿是第一发明人确认牛顿是第一发明人 莱布尼兹申诉 莱布尼兹申诉 对整个18世纪英国与欧陆国家在数学发展上的分 道扬镳 产生了严重影响 由于英国数学家固守 牛顿的传统而使自己逐渐远离分析的主流 分析 的进步在18世纪主要是由欧陆国家的数学家取得 对整个18世纪英国与欧陆国家在数学发展上的分 道扬镳 产生了严重影响 由于英国数学家固守 牛顿的传统而使自己逐渐远离分析的主流 分析 的进步在18世纪主要是由欧陆国家的数学家取得 微积分优先权争论微积分优先权争论一一 科学史上最不幸的一章科学史上最不幸的一章 18世纪 18世纪 微积分的发展微积分的发展 数学新分支的形成数学新分支的形成 分析时代分析时代分析时代分析时代 微积分的发展微积分的发展 积分技术积分技术 多元函数多元函数 无穷级数无穷级数 函数概念函数概念 分析严格化的尝试分析严格化的尝试 类別对函数的 解历史上的代表数学家类別对函数的 解历史上的代表数学家 1运算格雷戈里 1667 2解析式 伯努利 1696 1718 欧拉 1748 拉格朗日 1797 布尔 1854 3曲线 图像 欧拉 1748 4变量的依赖关系 莱布尼茨 1714 欧拉 1755 拉克洛瓦 1797 柯西 1821 1823 罗巴契夫斯基 1834 狄利克雷 1837 斯托克斯 1847 5变量的对应关系 孔多塞 1778 傅立叶 1822 罗巴契夫斯基 1834 狄利克雷 1837 黎曼 1851 汉克 尔 1870 哈代 1908 古尔萨 1923 6映射戴德金 1887 7集合的对应关系 坦纳里 1904 卡拉泰奧多里 1917 维布伦 20世紀 布尔巴基 1939 8序偶集 皮亚诺 1911 豪斯多夫 1914 布尔巴基 1939 函数概念发展历史函数概念发展历史 1734年 英国哲学家 大主教1734年 英国哲学家 大主教贝克莱贝克莱发表发表 分析 学家或者向一个不信正教数学家的进言 分析 学家或者向一个不信正教数学家的进言 矛头 指向微积分的基础 无穷小的问题 提出了贝克 莱悖论 引发第二次数学危机 矛头 指向微积分的基础 无穷小的问题 提出了贝克 莱悖论 引发第二次数学危机 无穷小是零吗 无穷小是零吗 一第二次数学危机一第二次数学危机 这些消失的增量究竟是什么呢 它们既不是有限量 也不是无限 小 又不是零 难道我们不能称它 们为消逝量的鬼魂吗 这些消失的增量究竟是什么呢 它们既不是有限量 也不是无限 小 又不是零 难道我们不能称它 们为消逝量的鬼魂吗 贝克莱主教 爱尔兰 1985 贝克莱主教 爱尔兰 1985 动机 证明流数原理并不比基督教义动机 证明流数原理并不比基督教义 构思 更清楚 构思 更清楚 推理更明白推理更明白 dx为逝去量的dx为逝去量的 鬼魂鬼魂 他指出 牛顿在求x他指出 牛顿在求xn n的导数时 采取了先给 x以增量dx 应用二项式 x dx 的导数时 采取了先给 x以增量dx 应用二项式 x dx n n 从 中减去x 从 中减去xn n以求得增量 并除以dx以求出x以求得增量 并除以dx以求出xn n的 增量与x的增量之比 然后又让dx 消 逝 这样得出增量的最终比 的 增量与x的增量之比 然后又让dx 消 逝 这样得出增量的最终比 无穷小是零吗 无穷小是零吗 一第二次数学危机一第二次数学危机 这里牛顿做了违反矛盾律的手续 先设x有 增量 又令增量为零 也即假设x没有增量 这里牛顿做了违反矛盾律的手续 先设x有 增量 又令增量为零 也即假设x没有增量 他 认为无穷小dx既等于零又不等于零 召之即来 挥之即去 这是荒谬 他 认为无穷小dx既等于零又不等于零 召之即来 挥之即去 这是荒谬 dx为逝去量的鬼魂 无 穷小量究竟是不是零 无穷小及其分析是否合 理 dx为逝去量的鬼魂 无 穷小量究竟是不是零 无穷小及其分析是否合 理 极限的概念极限的概念 意义 意义 意义 意义 导致数学家为建立微积分的严格基础导致数学家为建立微积分的严格基础导致数学家为建立微积分的严格基础 导致数学家为建立微积分的严格基础 而努力 最终建立极限理论 实数理论 集合而努力 最终建立极限理论 实数理论 集合而努力 最终建立极限理论 实数理论 集合 而努力 最终建立极限理论 实数理论 集合 论 为微积分和函数论发展打下稳固基础 论 为微积分和函数论发展打下稳固基础 论 为微积分和函数论发展打下稳固基础 论 为微积分和函数论发展打下稳固基础 微积分的发展微积分的发展 泰勒泰勒 英 1685 1731 英 1685 1731 法学博士法学博士 进入牛顿和莱布尼茨发明微积分优先 权争论委员会 英国皇家学会秘书 进入牛顿和莱布尼茨发明微积分优先 权争论委员会 英国皇家学会秘书 1715年出版 正和反的增量法 1715年出版 正和反的增量法 泰勒定理的价值由拉格朗日 法 1717 1783 发现 证明由柯西 法 1789 1851 给出 泰勒定理的价值由拉格朗日 法 1717 1783 发现 证明由柯西 法 1789 1851 给出 与约翰与约翰 伯努利 瑞 1667 1748 关于 泰勒公式优先权之争 伯努利 瑞 1667 1748 关于 泰勒公式优先权之争 后期转向宗教和哲学的写作后期转向宗教和哲学的写作 x f 2 h x hf f x h f x 2 皇家学会会员 爱丁堡大学教授皇家学会会员 爱丁堡大学教授 1742年 流数论 1742年 流数论 墓碑上刻墓碑上刻 曾蒙牛顿推荐曾蒙牛顿推荐 0 f 2 x 0 xf f 0 f x 2 麦克劳林麦克劳林 英 1698 1746 英 1698 1746 斯特林 英 1692 1770 斯特林 英 1692 1770 皇家学会会员皇家学会会员 1730年 微分法 1730年 微分法 n2 e n n n 微积分的发展微积分的发展 微积分的发展微积分的发展 1686到英国 1718年出版 机会的学 说 1686到英国 1718年出版 机会的学 说 英国皇家学会会员 进入牛顿和莱布 尼茨发明微积分优先权争论委员会 英国皇家学会会员 进入牛顿和莱布 尼茨发明微积分优先权争论委员会 1730年 分析杂论 1730年 分析杂论 n2 e n n n 棣莫弗棣莫弗 法 1667 1754 法 1667 1754 ninisincos sincos n 1707 1730年棣莫弗定理1707 1730年棣莫弗定理 微积分的发展微积分的发展 伯努利家族伯努利家族 微积分的发展微积分的发展 尼古拉 伯努利 雅格布雅格布 尼古拉 约翰约翰 尼古拉 尼古拉 丹尼尔丹尼尔约翰 约翰 丹尼尔 雅格布 伯努利家族伯努利家族 微积分的发展微积分的发展 雅格布雅格布 伯努利伯努利 瑞 1654 1705 瑞 1654 1705 我违背父亲的意愿 研究星星 我违背父亲的意愿 研究星星 1687年巴塞尔大学数学教授1687年巴塞尔大学数学教授 17世纪牛顿和莱布尼茨之后最先 发展微积分的人 17世纪牛顿和莱布尼茨之后最先 发展微积分的人 解析几何 微积分 变分法 概 率论 解析几何 微积分 变分法 概 率论 1694年 微分学方法 1694年 微分学方法 1698年证明调和级数的发散性1698年证明调和级数的发散性 1n n 1 3 1 2 1 1 n 1 微积分的发展微积分的发展 约翰约翰 伯努利伯努利 瑞 1667 1748 瑞 1667 1748 1694年医学博士1694年医学博士 解析几何 微积分 微分方程 变分 法 解析几何 微积分 微分方程 变分 法 18世纪初分析学的重要奠基者之一 欧拉 瑞 1707 1783 的老师 18世纪初分析学的重要奠基者之一 欧拉 瑞 1707 1783 的老师 1700年左右发展了积分法1700年左右发展了积分法 1742年 积分学教程 写于1691 1692 1742年 积分学教程 写于1691 1692 洛比达 法 1661 1704 法则 1696 年 用于理解曲线的无穷小分析 洛比达 法 1661 1704 法则 1696 年 用于理解曲线的无穷小分析 limlim axax l g x f x g x f x 微积分的发展微积分的发展 丹尼尔丹尼尔 伯努利伯努利 瑞 1700 1782 瑞 1700 1782 医学博士 植物学教授 生理学 教授 物理学教授 哲学教授 医学博士 植物学教授 生理学 教授 物理学教授 哲学教授 圣彼得堡 1725 1733年圣彼得堡 1725 1733年 巴塞尔 1733 1782年巴塞尔 1733 1782年 1738年 流体动力学 1738年 流体动力学 第一个把牛顿和莱布尼茨的微积 分思想连接起来的人 第一个把牛顿和莱布尼茨的微积 分思想连接起来的人 把微积分 微分方程应用到物理 学 研究流体力学问题 物体振 动和摆动问题 为数学物理方法 的奠基人 把微积分 微分方程应用到物理 学 研究流体力学问题 物体振 动和摆动问题 为数学物理方法 的奠基人 微积分的发展微积分的发展 欧拉欧拉 瑞 1707 1783 瑞 1707 1783 圣彼得堡科学院 1727 1741 1766 1783 圣彼得堡科学院 1727 1741 1766 1783 柏林科学院 1741 1766 柏林科学院 1741 1766 1748年 无穷小分析引论 1755年 微分 学原理 1768 1770年 积分学原理 1748年 无穷小分析引论 1755年 微分 学原理 1768 1770年 积分学原理 最多产的数学家 欧拉全集 84卷最多产的数学家 欧拉全集 84卷 李善兰译的 代数学 1859 等著作记载 了欧拉的学说 分析 代数 几何 李善兰译的 代数学 1859 等著作记载 了欧拉的学说 分析 代数 几何 读读欧拉 他是我们大家的老师读读欧拉 他是我们大家的老师 四杰四杰 阿基米德 牛顿 欧拉 高斯 阿基米德 牛顿 欧拉 高斯 xix ix sincose 微积分的发展微积分的发展 18世纪最伟大的数学家 分析的化身 18世纪最伟大的数学家 分析的化身 数学家之英雄数学家之英雄 瑞士法郎上的欧拉瑞士法郎上的欧拉 微积分的发展微积分的发展 法国启蒙运动法国启蒙运动 伏尔泰 1694 1778 孟德斯鸠 1689 1755 卢梭 1712 1778 伏尔泰 1694 1778 孟德斯鸠 1689 1755 卢梭 1712 1778 狄德罗 1713 1784 的