第五章-近似求解方法.ppt

第五章近似求解方法 第1节定态微扰理论 非简并情况 前面 介绍了量子力学的基本理论并对几个简单 典型的问题精确求解了薛定谔方程 能够精确求解的问题并不多 有时 精确解很复杂不方便随后的物理讨论 现在 介绍近似求解薛定谔方程的若干方法 定态微扰理论 简并和非简并情况 含时微扰理论 变分法 WKB近似 需要近似求解的方程 定态薛定谔方程 其坐标表象形式 把待求能量本征值和本征矢展成实小参数 的幂级数 代入定态薛定谔方程 第1节定态微扰理论 非简并情况 等式两边 幂级数的相应系数相等得到一系列方程如下 因此 第1节定态微扰理论 非简并情况 最后结果 其中 例题1带电q的线性谐振子处于均匀弱外电场中 求体系的近似能量和波函数 该题可精确求解 第1节定态微扰理论 非简并情况 最后结果 例题2 p1725 3题 体系的哈密顿量如下 求体系的近似能量和能量本征矢 该题可精确求解 其中 第2节定态微扰理论 简并情况 同前面一样 我们有 变化了的条件是 需要求解的方程还是 得到 再利用 因此 其中矩阵元 1 系数行列式为零得到能量一级修正 2 代入能量一级修正求相应的系数 决定了相应的零级能量本征矢 第3节氢原子的一级斯塔克效应 简并定态微扰理论的应用 氢原子的哈密顿量 氢原子处于均匀z方向外电场中 考虑n 2情况 4度简并 能量一级修正E 和零级波函数的系数由下式决定 微扰 非零矩阵元只有 为方便 记 能量到一级修正的结果 矩阵元 第4节变分法 微扰理论需要哈密顿量可写成精确可解 微扰形式 变分法概要 需要变分法近似求解的方程 变分法没有这种限制 近似求基态能量和本征矢的步骤 1 适当选择归一化尝试波函数 态矢 其中含若干参数 2 用归一化尝试波函数 态矢 计算平均值 3 计算该平均值的最小值 得到近似基态能量和本征矢 多参数情况口述 推广到激发态情况 例如第一激发态情况 然后重复上述2 3步骤得到第一激发态近似结果 第5节氦原子基态 用变分法计算 氦原子 核 Z 2 2电子 忽略另外一个电子 电子加核可看成是类氢原子 Z 2 1 适当选择归一化尝试波函数 2 用尝试波函数计算能量平均值 3 计算最小值 得到近似基态能量和本征函数 其中Z是变分参数 由于第2个电子的存在 类氢原子动能平均值 类氢原子势能平均值乘 2 Z 利用公式 第6节含时微扰理论 矩阵元 令 含时薛定谔方程变成 设t 0时 系统处于态 到微扰的一阶 含时薛定谔方程为 见第4章表象理论 第7节 计算2种常见情况的 跃迁速率 跃迁速率 跃迁概率 1 t 0时 微扰与时间无关 跃迁概率 公式 若末态是或接近连续分布的状态 跃迁速率 费米黄金规则 第7节 计算2种常见情况的 跃迁速率 2 简谐式微扰 跃迁概率 公式 跃迁速率 在共振或近共振时 2项中分母接近零的一项远比另外一项重要 只保留最重要的一项 略去 书p158 160 从跃迁概率表达式讨论时间 能量测不准关系 只保留其中一项 共振或近共振项 第8节光的发射与吸收 三种过程 初等量子理论框架内不易理解 1 爱因斯坦发射和吸收系数 自发辐射系数 受激辐射系数 受激吸收系数 爱因斯坦引入这三个系数并利用热力学平衡条件得到的它们的联系 热平衡时 应该有 与黑体辐射公式比较 第8节光的发射与吸收 2 微扰论计算发射和吸收系数 偶极近似 对平面电磁波 从力的角度 i 忽略光的磁场对原子的作用 由第7节简谐式微扰的跃迁速率表达式 因此 从能量角度 ii 忽略波数相关效应 跃迁速率 加了对入射光的频率求积分 若入射光是自然光或大量原子 第8节光的发射与吸收 2 微扰论计算发射和吸收系数 热平衡时自发辐射与受激辐射之比 实际上 实现受激辐射器件需破坏热平衡条件 例如 3 自发 辐射强度与能态寿命 总 自发 辐射强度 所有原子单位时间自发辐射能量 能态寿命 能级宽度 自然线宽 4 激光和微波量子放大器 脉塞 应用受激发射的器件 比值相等 热平衡时波长越长 自发辐射 与受激辐射比较 越小 表明在微波区更易实现低噪声的受激辐射器件 1 粒子数反转 否则受激辐射小于受激吸收 2 用谐振腔产生强辐射场 远大于热平衡辐射强度 自发辐射 受激辐射 第9节 偶极近似下的 选择定则 前面在偶极近似条件下用微扰论计算得到发射和吸收系数 因此两态之间能够跃迁的条件是 原子状态量子数是3个 加上以后要讲的自旋量子数后为4个 由此可得到 偶极近似下的 选择定则