线性代数试题库(矩阵).doc

1 对任意阶方阵总有 n A B A B ABBA ABBA C D T TT ABA B 222 ABA B 答案 B ABBAA B 2 在下列矩阵中 可逆的是 A B 000 010 001 110 220 001 C D 110 011 121 100 111 101 答案 D 3 设是3阶方阵 且 则 A2 A 1 A A 2B 1 2 C D 2 1 2 答案 B 4 设矩阵的秩为 2 则 111 121 231 A A 2B 1 C 0D 1 答案 B 提示 显然第三行是第一行和第二行的和 5 设 矩阵满足方程 求矩阵 101 020 101 A X 2 AXEAX X 答案 201 030 102 X 解 22 AXEAXAE XAE 101001 020010 101100 AAE 显然可逆 所以 AE 112 AEAE XXAEAE 1 AEAEAEAE 201 030 102 X 6 求下列矩阵的秩 01112 02220 01111 11011 A 答案 3 7 设矩阵 矩阵由矩阵方程确定 试求 1410 1102 PD A 1 P APD 5 A 答案 511 3127 3 127 331 3 11551 P APDAPDPAPD P 15 141 31 310 114 31 3032 PPD 所以 551 14101 31 3511 3127 3 110324 31 3127 331 3 APD P 8 设矩阵可逆 证明A 11 AAA 证明 因为 矩阵可逆 所以 AAA AA E A0A AA AAE AA 又因为 所以 1 1 A A 11 AAA 9若是 则必为方阵 AA A 分块矩阵B 可逆矩阵 C 转置矩阵D 线性方程组的系数矩阵 答案 B 10 设阶方阵 且 则 nA0A 1 A A B A A A A C D 1 A A A A 答案答案 A A 11若 则AB A B 秩 秩AB A B C 与有相同的特征多项式AB D 阶矩阵与有相同的特征值 且个特征值各不相同nABn 答案 B 12 设 则 1 2 3 A T AA 答案 123 246 369 13 设矩阵 且秩 为的一个阶子式 则 m n A Ar DA1r D 答案 0 14已知 且 则 1 P APB 0B A B 答案 1 15 已知 求矩阵 2031 1101 X X 解 矩阵可逆 所以由 20 11 1 20312031 11011101 XX 1 20313 21 2 1 21013 21 2 X 16 若对称矩阵为非奇异矩阵 则也是对称矩阵 A 1 A 证明 因为矩阵为非奇异矩阵 所以A 11 AAA AE 即 11 TTT AAA AE 11 TTTT AAAAE 因为矩阵为对称矩阵 所以 则有 A T AA 11 TT AAA AE 所以 即也是对称矩阵 11 TAA 1 A 17 设是矩阵 是矩阵 是矩阵 则下列运算有意义的是 Am n Bsn Cms A A B B ABBC C C D D T AB T AC 答案 C 18 设 均为阶可逆矩阵 则下列各式中不正确的是 ABn A B T TT ABAB 111 ABAB C D 111 ABB A T TT ABB A 答案 B 19 设为阶矩阵 秩 则秩 An 1An A A 0B 1 C D 1n n 答案 A 因为是由矩阵的代数 余子式组成 但是秩 所以其代数余子式全部为0 AA 1An 所以 0A 20矩阵的秩为 1010 0234 0005 A A 1B 2 C 3D 4 答案 3 21 设为2阶方阵 且 则 A 1 2 A 2A 答案 2 22 设是3阶矩阵 秩 2 则分块矩阵的秩为 AA 0 AA E 答案 5 23 设矩阵 求矩阵 使 221 110 123 A B2ABAB 解 由得 2ABAB 2 AE BA 021 2110 121 AE 021 221100 302 2 110 110010 212 121 123001 245 AE Ar 所以 302 212 245 B 24 设三阶方阵的行列式 则的伴随矩阵的行列式 Adet 3A A A det A 答案 9 提示 3 1 det det AA 25 设 且 则 ab A cd det 0Aadbc 1 A 答案 db ca adbc 26 设 则 12 31 A 21 03 B 2 1 C T AB C 答案 1 8 27 5分 设且满足 求 111 022 110 A 111 110 211 B XAB X 解 可逆 111 022 110 A A 由 得 XAB 1 XBA 111100 022010 110001 1111 31 34 3 1102 31 31 3 2111 35 64 3 A C B 所以 1 1 31 34 3 2 31 31 3 1 35 64 3 XBA 28 设矩阵 1 2 1 CA AA BAA 其中 A 110 011 111 123 456 789 B 为的伴随矩阵 计算 AAdet C 解 1 2 1 CA AA BAACEA B 11011 0 01101 11 11111 1 AA 223 466 7810 CEB 显然 det 0C 29 设是两个阶方阵 若则必有 A Bn0AB A 且B 或0A 0B 0A 0B C 且D 或0A 0B 0A 0B 答案 D 30 若都是方阵 且 则 A B2 1AB 1 A B A 2B 2 C D 1 2 1 2 答案 C 31 矩阵的伴随矩阵 12 34 A A A B 42 31 43 21 C D 42 31 42 31 答案 C 32 设为34矩阵 若矩阵的秩为2 则矩阵的秩等于 A A3 T A A 1B 2 C 3D 4 答案 B 33 设为4阶矩阵 则 A3A A 答案 3 34 设 则 200 001 010 A 5 A 答案 32 35 设 则 123 121 A 121 123 B T AB 答案 814 68 36 1 500 031 021 答案 1 00 5 011 023 提示 用 分块对角矩阵做 37 设 求满足关系式的3阶矩阵 1 00 3 1 00 4 1 00 7 A 1 6A BAABA B 1111 6 66 A BAABAAE BAABAE 11 1 00 3 300200 1 00040030 4 007006 1 00 7 AAAE 1 11 1 00 2 200 1 03000 3 006 1 00 6 AE 所以 11 300 6 020 001 BAE 38 设矩阵的秩为2 求 121 2310 41 a A ab a b 解 121121121 2310071 22071 22 410720012 aaa Aaa ababab 因为 矩阵的秩为 2 所以A10 201 2abab 39 已知阶方阵满足关系式 证明是可逆矩阵 并求出其逆矩阵 nA 2 320AAE A 证明 2 3 320 3 2 2 AE AAEA AEEAE 所以是可逆矩阵 且其其逆矩阵为 A 3 2 AE 40 设是3阶方阵 且 则 A1A 2A A 8B 2 C 2D 8 答案 A 41 设矩阵 则 200 011 012 A 1 A A B 1 00 2 021 011 1 00 2 021 011 C D 210 110 1 00 2 210 110 002 答案 A 42 设是阶方阵 则下列结论中错误的是 An0A A 秩 An B 有两行元素成比例A C 的个列向量线性相关An D 有一个行向量是其余个行向量的线性组合An 答案 B 43 设均为阶矩阵 且秩 秩 则必有 A Bn A B A 与相似B 与等价ABAB C 与合同D ABAB 答案 B 44 13 210 01 114 40 答案 25 174 45 若均为3阶矩阵 且 则 A B2 3ABE AB 答案 54 46 设矩阵 其中则秩 1 11 21 3 2 1222 3 3 13 23 3 ababab Aa ba ba b a ba ba b 0 1 2 3 ii abi A 答案 1 47 设 矩阵满足方程 求 112 223 433 A 100 211 122 B X T AXB X 答案 381 4124 012 解 100121 211012 122012 T BB 1TT AXBXA B T A Br E X 48 设是阶方阵 证明An0A 1 n AA 证 nn AAA EAAA EAA AA 因为 所以 0A 1 n AA 49 设是3阶方阵 且 则 A2A A A 6B 2 C 2D 6 答案 B 50 设 则的伴随矩阵 020 003 400 A A A A B 0120 008 600 006 1200 080 C D 0120 008 600 006 1200 080 答案 A 51 32 211 01 010 24 答案 653 010 422 52 设 则 14 03 A 1 A 答案 1 34 01 3 A 53 设且 求 033 110 123 A 2ABAB B 答案 033 123 110 解 2 2 ABABAE BA 很容易得到 是可逆的 所以 233 2110 121 AE 2AE 1 2 BAEA 233033100033 2 110110010123 121123001110 AE Ar 54 设方阵满足 证明可逆 并求其逆阵 A 2 20AAE A 证 2 20 2 2 AE AAEA AEEAE 所以 可逆 且其逆阵为 A 2 AE 55 设阶方阵满足 则必有 n A B CABCE A B ACBE CBAE C D BACE BCAE 答案 D 56 设阶方阵中有个以上元素为零 则的值 nA 2 nn A A 大于零B 等于零 C 小于零D 不能确定 答案 B 56 设3阶矩阶A 1 B 2 且 则2A 1B AB A 4B 2 C 1D 4 答案 A 57 设是4阶方阵 则 A2A A 答案 8 58 设矩阵 则 0001 0020 0300 4000 A 1 A 答案 1 000 4 1 000 3 1 000 2 1000 59 设 且矩阵满足 求 423 110 123 A X2AXAX X 解 2 2 AXAXAE XA 容易证明可逆 所以 223 2110 121 AE 223 2110 121 AE 1 2 XAEA 223423100386 2 110110010296 1211230012123 AE Ar 所以 386 296 2123 X 61 设均为阶方阵 则必有 A Bn A B ABBA ABAB C D TABAB T TT ABA B 答案 A 62 设 则 200 011 002 A 1 A A B 1 00 2 010 1 01 2 1 00 2 11 0 22 1 00 2 C D 1 00 2 1 01 2 1 00 2 1 00 2 010 11 0 22 答案 C 63 若方阵与方阵等价 则 AB A R AR B B EAEB C AB D 存在可逆矩阵 使P 1 P APB 答案 A 64 为3阶单位矩阵 则 11 0 22 A 2 TT BEA A CEA A E BC 答案 E 65 已知 且 则 2A 1 331 1 404 4 513 A A 答案 331 1 404 2 513 66 设 为的伴随矩阵 则 802 020 301 A AA A 答案 16 67 已知 则 101 020 001 A 12 3 9 AEAE 答案 201 010 002 68 设为阶方阵 满足 A B n ABAB 若 求矩阵 130 210 002 B A ABABA BEB 可逆 所以 030 200 001 BEBE 1 AB BE 得 BEE C BA 1 10 2 1 10 3 002 A 69 设是4阶矩阵 则 AA A B 4 A A C D A4 A 答案 C 70 设为阶可逆矩阵 下列运算中正确的是 An A B 2 2 TT AA 11 3 3AA C D 111 TTT AA 1 TAA 答案 A 71 设是2阶方阵可逆 且 则 A 1 37 12 A A A B 27 13 27 13 C D 27 13 37 12 答案 B 72 设均为3阶矩阵 若可逆 秩 那么秩 A BA 2B AB A 0B 1 C 2D 3 答案 C 73 设为阶矩阵 若与阶单位矩阵等价 那么方程组 AnAnAXb A 无解B 有唯一解 C 有无穷多解D 解的情况不能确定 答案 B 74 设矩阵 则 a A b T AA 答案 2 2 aab abb 75 设矩阵 则行列式 12 34 A 2 A 答案 4 76 矩阵的秩等于 111 011 001 答案 3 77 设矩阵 求矩阵方程的解 500 012 037 A 1001 2021 B XAB X 解 很容易得到是可逆的 所以 500 012 037 A A 1 XABXBA 所以 231 4113 500 012 037 1001 2021 100 010 001 A C B 231 4113 X 78 设为同阶对称矩阵 证明也为对称矩阵 A BABBA 证 为同阶对称矩阵 所以 A B TT AA BB T TTTT ABBAB AA BBAABABBA 所以 也是对称矩阵 ABBA 79 设矩阵 则等于 100 020 003 A 1 A A B 1 00 3 1 00 2 001 100 1 00 2 1 00 3 C D 1 00 3 010 1 00 2 1 00 2 1 00 3 001 答案 B 81 设是方阵 如有矩阵关系式 则必有 AABAC A B 时0A BC 0A C 时D 时0A BC 0A BC 答案 D 82 设 则 1 11 1 11 A 123 12 4 B 2AB 答案 337 13 7 84 设 求 1 2 120 340 121 A 231 2 40 B T AB4A 答案 1 1202286 340341810 12110310 2 而 3 4464AAA 120 3402 121 A 所以 3 4464128AAA 85 设矩阵 求矩阵使其满足矩阵方程 423 110 123 A B2ABAB 答案 386 296 2129 解 即 而2ABAB 2 AE BA 1 1 223143 2 110153 121164 AE 所以 1 143423386 2 153110296 1641232129 BAEA 86 设矩阵 12102 24266 21023 33334 A 求 秩 A 解 对矩阵施行初等行变换A 121021210212102 000620328303283 032820006200031 0963200021700000 A 所以 秩为3 87 设方阵满足 试证明可逆 且证 A 3 0A EA 12 EAEAA 233 0EA EAAEAA 2 EA EAAE 可逆 且EA 12 EAEAA 88 设行矩阵 且 则 123 Aa a a 123 Bb b b 121 121 121 T A B T AB 答案 0 89 设 为的伴随矩阵 则 210 110 002 A AA A 答案 4 提示 3 12 AAA 而 所以 210 1102 002 A 3 12 4AAA 90 若 为使矩阵的秩有最小秩 则应为 124 21 110 A A 答案 9 4 解答 124110 21014 110021 A 要使得矩阵的秩有最小秩 则 A 219 144 91 已知矩阵满足 其中 XAXBC 100 053 021 A 23 35 B 求矩阵 6分 23 12 12 C X 解 容易证明矩阵都可逆 所以 A B 11 AXBCXA CB 1 100100 053013 021025 AA 1 2353 3532 BB 11 1002310 53 013123410 32 0251277 XA CB 92 设均为阶方阵 且 证明的充分必要条件是 A Bn 22 AA BB 2 ABAB 0ABBA 证 222 ABAB ABAABBAB 因为 所以 22 AA BB 2 ABAABBAB 若 2 0ABAABBABABABBA 0ABBAAABABAABBAABBA 若 则0ABBA 2 ABAABBABAB 93 设矩阵 则下列矩阵运算有意义的是 1 4 1 21 2 3 B C2 5 3 44 5 6 3 6 A A B C D ACBABCBACCBA 答案 B 94 设阶方阵满足 其中是阶单位矩阵 则必有 nA 2 0AE En A B C D AE AE 1 AA det 1A 答案 C 95 设为3阶方阵 且行列式 则 A 1 det 2 A det 2 A A 4 B 4 C 1 D 1 答案 A 96 设矩阵为的转置 则 1 1 32 0 2 0 10 1 AB T AA T A B 答案 22 20 61 97 设矩阵则行列式的值为 1 2 3 5 A det T AA 答案 1 99 设是阶方阵 且的元素全都是1 是阶单位位矩阵 证明 B 2 n n BEn 1 1 1 EBEB n 证明 2 11 111 n EB EBEBB nnn 因为的元素全都是1 所以 的元素全部为 即 B 2 Bn 2 BnB 所以 即 2 11 111 n EB EBEBBE nnn 1 1 1 EBEB n 100 设是阶方阵 是矩阵 则下列矩阵运算中正确的是 AnX1n A B C D T X AXXAXAXA T XAX 答案 A 101 为同阶矩阵 为单位阵 若 则下列各式中总是成立的有 A B C EEABCE A B C D BACE ACBE CBAE CABE 答案 D 102 已知有一个阶子式不等于零 则秩 Ar A A B C D r1r r r 答案 D 103 设是阶阵 且 则由 可得出 AnABAC BC A B C 秩 D 为任意阶矩阵0A 0A An A n 答案 A 104 则 2112 1214 X X 答案 1 30 1 32 105 A 则秩 1112 2332 1121 A A 答案 3 106 123124 246124 469124 答案 0 107 若 且不是单位阵 则 2 AA AA 答案 0 108 则 4A 1 A 答案 1 4 109 11 22 n 答案 1 11 3 22 n 110 均为阶可逆阵 则 A B C 1 ABC 答案 111 CB A 111 设是5阶方阵 则 A1A 2A 答案 32 112 求 101 210 325 A 1 A 答案 11 1001 101100 22 210010010111 325 00111 0011 22 A Er 113 求 20 01 A 11 25 B 2211 BA B A 答案 53 422 解 22112212 BA B ABA A BBABB BA 113153 2524422 114 阶方阵满足 其中给定 证明可逆 并求其逆矩阵 nA 2 240AAE AA 证 2 2 240 2 4 4 AE AAEA AEEAE 所以可逆 且A 1 2 4 AE A 115 设矩阵 则为 1 2 3 A 1 0 2 B AB A B 123 000 246 1 0 6 C D 7 106 答案 D 116 设均为阶矩阵 且可逆 则下列结论正确的是 A BnA A 若 则可逆B 若 则0AB B0AB 0B C 若 则不可逆D 若 则0AB BABBA BE 答案 B 117 设3阶方阵的元素全为1 则秩为 A A A 0B 1 C 2D 3 答案 B 118 设为3阶方阵 且行列式 则之值为 A1A 2A A 8B 2 C 2D 8 答案 A 119 设为阶方阵 且的行列式 则等于 A 2 n n A0Aa A A B 1 a a C D 1n a n a 答案 C 120 设矩阵 则 111 022 003 A T A A 答案 111 155 1514 121 设均为3阶方阵 且 则 A B3 2AB T AB 答案 6 122 设3阶方阵的秩为2 矩阵A 010 100 001 P 100 010 101 Q 若矩阵 则秩 BPAQ B 答案 2 123 设 则 00 00 00 a Ab c n A 答案 00 00 00 n n n a b c 124 已知矩阵 秩 求的值 132 111 1753 k Ak 2A k 答案 1 所以 132132132 11104210421 1753043300122 kkk kkkkk kkk 1k 125 试求矩阵方程中的未知矩阵 13214 30125 11113 X X 解 1321410040 30125010112 11113001145 r 所以 40 112 145 X 126 设且 求 1210 1402 PB APPB n A 解 12 2 14 P 可逆 又P 1 APPBAPBP 从而得到 1nn APB P 1 21 121010 11 140202 22 n n PBPB 所以 11 21 12102221 11 14022221 22 nn n n nn A 127 已知 证明 可逆 且 0 m A EA 11 m EAEAA 证 因为 又因为 所以 1 mm EA EAAEA 0 m A 显然可逆 且 1 m EA EAAE EA 11 m EAEAA 128 设是阶非零矩阵 是其伴随矩阵 且满足 证明可逆 An A ijij aA A 证 有得 ijij aA T AA 所以 TT A AAAA EA AAAA E 假设不可逆 则 所以 A0A 0 TT A AAA 1 0 00 1 2 n TT ikikik k A AAAa aain 所以0A 这与题目A是n阶非零矩阵矛盾 所以A可逆 129 两矩阵即可以相加又可以相乘的条件是 答案 两矩阵为同阶方阵 130 已知 11610 251 121 Ak k 且其秩为2 则k 答案 3 131 若是阶可逆 矩阵 是阶可逆矩阵 则 AnBm AO C OB R C 答案 mn 132 设与均为阶方阵 则下列结论中 成立 ABn A 则 或 det 0AB 0A 0B B 则 或 det 0AB det 0A det 0B C 则 或 0AB 0A 0B D 则 或 0AB det 0A det 0B 答案 B 133 设为阶方阵 且 则 Andet 2A 1 1 det 3 AA 答案 1 2 134 求解矩阵方程 123666 231543 312312 X 答案 111 011 001 X 135设3阶方阵按列分块为 其中是的第 列 且 又设A 123 Aa a a i aAi5A 则 12132 2 34 5 Baaaaa B 答案 100 136 设的伴随矩阵为 则 100 220 333 A A 1 A 答案 1 00 6 11 0 33 111 222 137 设 且 求矩阵 4200 2000 0073 0051 A BAAB B 答案 0200 2400 0013 0057 138 设 为三阶非零矩阵 且 则 122 41 311 Aa B0AB a 答案 1 139 已知满足 求矩阵 101 020 301 A 2 22BAEBA B 答案 402 040 604 140 11 00 n 答案 11 00 141 设则 11 01 A 1 2 A 答案 11 22 1 0 2 142 若为同阶方阵 则的充分必要条件是 A B 22 AB ABAB 答案 ABBA 143设都是阶矩阵 且 则下列一定成立的是 A Bn0AB 或 B都不可逆0A 0 B A B C中至少有一个不可逆 D A B0AB 答案 C 144设均为可逆矩阵 则分块矩阵亦可逆 A B 0 0 A B 1 0 0 A B 答案 1 1 0 0 B A 145设为3阶可逆矩阵 且 则 A 1 123 012 001 A A 答案 123 012 001 146 均为阶矩阵 下列各式中成立的为 A Bn A 222 2ABAABB B T TT ABA B C 则或0AB 0A 0B D 若 则或 0 AAB 0A 0IB 答案 D 147 设 A 为 6 阶方阵 且 A 2 则 AA 答案 64 148 设 将 A 表示成 3 个初等矩阵的乘积 即 A 40 53 A 答案 30 01 15 01 10 04 149 任一个 m n 矩阵 A 仅经过初等行变换可化为的标准形式 0 00 r E 答案 150 A 为 5 行 6 列矩阵 且r A 5 则 A 一定没有不等于 0 的 5 阶子式 答案 151 两个初等矩阵的乘积仍为初等矩阵 答案 152 A B 均为 n 阶方阵 A O 且 AB O 则 B 的秩 A 等于 O B 小于 n C 等于 n D 等于 n 1 答案 B 153 已知且 A2 AB E 求矩阵 B 122 014 001 A 答案 0412 008 000 解 故 A 可逆 由于故 即 即 即1 A 2 EABA EBAA 1 ABA 故 注 作行变换 1 AAB 100 410 1021 1 A A A 得到也正确 1 AEEA 故 000 800 1240 100 410 1021 100 410 221 1 AAB 154 设 A 是 m n 矩阵 B 是 n m 矩阵 m n 则下列 的运算结果是 n 阶方阵 A AB B BTAT C AB T D ATBT 答案 D 155 设 A B 为 n 阶方阵 A 0 B 0 且 AB 0 则 A B 的秩 A 一个小于 n 一个等于 n B 都等于 n C 都小于 n D 必有一个等于零 答案 C 156 下列结论中 不正确的是 a 设为 n 阶矩阵 则A 2 AEAEAE b 设均为矩阵 则 A B1n TT A BB A c 设均为 n 阶矩阵 且满足 则 A B0AB 222 ABAB d 设均为 n 阶矩阵 且满足 则 A BABBA kmmk A BB Ak mN 答案 C 157 设均为 n 阶矩阵 为正整数 则下列各式中不正确的是 A Bk a b TT ABAB TT ABAB c d ABBA kk k ABAB 答案 B 158 设为 n 阶可逆矩阵 是其伴随矩阵 则 A2n A A 答案 2n AA 159 设矩阵 矩阵满足 其中是的伴随 111 111 111 A X 1 2A XAX AA 矩阵 求矩阵 X 解 由 1 22A XAXAA XEAX 2 2 A XAXEAA XE 知可逆 且 2 AA 1 2 AAX 由 222100 2 222010 222001 AA E 1 11100 2 11 0110 44 11 0010 44 160 设 n 阶矩阵非奇异 是其伴随矩阵 则 A2n A a b A 1n AA A 1n AA c d A 2n AA A 2n AA 答案 C 161 设为阶矩阵 为阶矩阵 且 若 AmBn Aa Bb 03 0 A C B 则 C 答案 1 3 mnmab 162 设 为三阶非零矩阵 且 则 122 43 311 At B0AB t 答案 3 163 已知 其中 求矩阵 XAXB 01011 111 20 10153 AB X 解 由 有 XAXB EA XB 所以 1 EABX 由 11011 10120 10253 EA B 11011 01131 00333 100 31 010 20 001 11 所以 X 3 1 20 1 1 164 设 求和 1100 0110 0011 0001 A 23 AA n A 解 10000100 01000010 00100001 00010000 AEB 012 122 n nnnnn nnnn EBEEBEBB CCCC 2 010001000010 001000100001 000100010000 000000000000 B 32 001001000001 000100100000 000000010000 000000000000 BB B 43 000101000000 000000100000 000000010000 000000000000 BB B 0123 12233 123 23 n nnnn nnnn nnn EBEEBEBEB EBBB CCCC CCC 123 1000010000100001 0100001000010000 0010000100000000 0001000000000000 nnnCCC 123 12 1 1 01 001 0001 nnn nn n CCC CC C 2 1210 0121 0012 0001 A 3 1331 0133 0013 0001 A 设是实对称矩阵 且 证明 A 2 0A 0A 证明 1112111121 21222212222 1212 nn nn nnnnnnnn aaaaaa aaaaaa A aaaaaa 其主对角线上的元素为 1 0 n ikki k a a 又 是实对称矩阵 A ikki aa 222 12 0 iiin aaa 即 12 0 iiin aaa 0A 已知三阶方阵的逆矩阵为 试求伴随矩阵的逆矩阵 A 1 111 121 113 A A 解 1 111 1 1212 113 A A 1 1111111 111 1 2 2 121 113 AA AAA A 51 1 521 22 2110220 11101 0 22 注 也可以用初等变换求逆 51 1001 111100111100 22 121010010110010110 11300100210111 0010 22 1 解矩阵方程 2 211113 111432 321225 X 解 1 1132111131326118 432111432253011 225321225111112115 X 设阶矩阵满足是正整数 试证可逆 且nA0 m Am EA 121 m EAEAAA 证明 21 mm EA EAAAEAE 可逆且 EA 121 m EAEAAA 7 若方阵满足 证明及都可逆 并求及 A 2 20AAE A2AE 1 A 1 2 AE 证明 由 有 2 20AAE 2 2 AE A AEEAE 所以可逆且A 1 2 AE A 又由有 2 20AAE 3 2 3 4 2 4 AE AEAEEAEE 所以可逆且2AE 1 3 2 4 AE AE 已知 其中 求及APPB 100100 000 210 001211 BP A 10 A 因为 所以可逆 由0P PAPPB 有 1 1 100100100 210000210 211001211 APBP 100100100100 210000210200 211001411611 101111101 10 APBPPBPPBPPBPPB P 3 100100100100100100 000000000000000000 001001001001001001 BB 所以 102 100 000 001 BB 1010121 100 200 111 APB PPB P 设是三阶方阵 且求 A 1 27 A 1 3 18 AA 解 11 11 1 3 9 33 AAAA A 2 133 3 18 9189 9 9 1AAAAAAA 已知矩阵的秩为 3 求的值 1123 22314 10115 23554 a A a 解 将矩阵化为行阶梯形 112311231123 22314001122001122 101150111201112 23554000630000630 aaa aa A aa aa 所以当时矩阵的秩为 36302aa 设是阶方阵 若存在阶方阵 使 证明 Ann0B 0AB R An 证明 反证法 设 则可逆 而由 有 R An A0AB 110 00A ABAB 与矛盾 所以0B R An 确定参数 使矩阵的秩最小 2 112 121 212 解 将矩阵化为行阶梯形 222 22 22 112112112 121033033 212032240021 当时矩阵的秩最小为 21 设是三维列向量 是的转置 若 则 T 111 111 111 T T 解 1 1111 1 T 1 11113 1 T 设为阶矩阵 分别为对应的伴随矩阵 分块矩阵 则的 A Bn A B A B 0 0 A C B C 伴随矩阵C 1 1 1 1 000 000 AAA CC CA B BBB 设是 11 00 0 110 00 AA BA AA B A A B A B BA BB BB A B 三阶方阵 则1 2 AB 12 2 T A B 解 22 123132 2 1 2 22 1 2 2 TT A BAB 设四阶矩阵 且矩阵满足关系式 11002134 01100213 00110021 00010002 BC X 求矩阵 1 T T X EC BCE X 解 先化简 再计算 111 1 TT T TT T X EC BCX C EC BX CCC BX CBE XCB 因为 1 1 123410001000 0123