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数学分析课本(华师大三版)习题及答案第四章 篇一：数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第八章 第八章不定积分 一.填空题 x 1若f?(e)?1?x，则f(x)?_ 2设f(x)的一个原函数为xe，则?xf?(x)dx?_3若e ?x x 是f(x)的一个原函数，则?xf(x)dx?_ 4若f(x)?1，则f(x)?_5?max(x,x)dx?_ 6若f(x)有原函数xlnx，则?xf?(x)dx?_7? ln(sinx)sin 2 ? 3 ? 2 x dx?_ 8若? dx(1?2cosx) 2 ? Asinx1?2cosx ?B? dx1?2cosx ，则A?_，B?_ 9设?xf(x)dx?arcsinx?C，则? dxx(4?x) lnx?1x 2 dxf(x) ?_ 10? ?_ 11? dx?_ 12?13?14? ?a?sin(lnx)?cos(lnx) n x ?_ ?f(x)?xf?(x)?dx dx1?e x ?_ ?_ 15?16? xe x2 (1?x) dx?_ 4sinx?3cosxsinx?2cosx dx?_ 2 17已知f?(2?cosx)?sinx?tan 2 x，则f(x)?_ 18? f?(x)1?f(x)? 2 dx?_ 19.若?f(x)dx?F(x)?C,而u?(x),则?f(u)du?_.20设函数f(x)的二阶导数f?(x)连续,那么?xf?(x)dx?_.21设f(x)的原函数是 sinxx ,则?xf?(x)dx?_. 112 22已知曲线y?f(x)上任一点的切线斜率为3x2?3x?6,且x?1时,y?则f(x)?_;f(x)的极小值是_. 1?x 2 是极大值, 23已知一个函数的导数为f(x)?,并且当x?1时,这个函数值等于 32 ?,则这个函 数为F(x)?_.24设f?(sin 2 x)?cosx(x?1),则f(x)?_. 2 25若f(x)为连续函数,且f?(x)?f(x),则?f(x)dx?_.26若(?f(x)dx)?lnx,则f(x)?_.27已知e28 ?x 2 是f(x)的一个原函数,则?f(tanx)secxdx?_. 2 2?f()dx?_.2 xx 1?x 29设f(x)dx?C,则f(x)?_. 1?x ? 1 ? 30在积分曲线族?二、选择填空题1设I? 1xx dx中,过(1,1)点的积分曲线是y?_. ? x e?1e?1 x x ，则I?() A.ln(1?e)?CB.2ln(1?e)?x?CC.x?2ln(1?e)?CD.ln(e?1)?C 2设f(x)是连续的偶函数，则期原函数F(x)一定是()A.偶函数B.奇函数C.非奇非偶函数D.有一个是奇函数 x x x 3设I1? ? 1?xdx,I2? ? du，则存在函数u?u(x)，使() x(1?xex ) u(1?u) A.I1?I2?xB.I1?I2?xC.I2?I1D.I2?I14当n?1时，?xn lnxdx?()n n?1 A.x n (lnx? 1n )?CB. x n?1(lnx? 1n?1 )?C n?1 C.1?1 x n?1 x n(lnx? 1n?1 )?CD. n?1 lnx?C 7?(cosx2 ?sin x2 )dx?() A.2(sinx?cos x)?CB.2(cos xx2 2 2?sin 2)?C C.sinx?cosx xx22?CD.cos2 ?sin2?C 8? x?sinx 1?cosx dx?() A.xcotxxxx2?CB.xtan2?CC.x 2cotx?CD.2tan2 ?C 9若f(x)的导函数是e?x ?cosx，则f(x)的一个原函数为() A.e ?x ?cosxB.?e ?x ?sinxC.?e?x ?cosxD.e ?x ?sinx 10若f(x)是以l为周期的连续函数，则其原函数()。A.是以l为周期的函数B.是周期函数，但周期不是lC.不是周期函数D.不一定是周期函数 12已知函数y?3x2 的一条积分曲线过(1,1)点，则其积分曲线的方程为()A.y?x3 B.y?x3 ?1C.y?x3 ?2D.y?x3 ?C13?xf?(x)dx?()A.xf(x)? ? f(x)dxB.xf(x)?f(x)?C C.xf(x)?f(x)?CD.f(x)?xf(x)?C14sin2x的原函数是() A.2cos2xB. 12 cos2xC.?cos 2 xD. 12 sin2x 15若f(x)为连续函数，则?f(2x)dx?()A.f(2x)?CB.f(x)?CC. 12 f(2x)?CD.2f(2x)?C 16.一个函数的原函数如果有的话有(). (A)一个；(B)两个；(C)无穷多个；(D)都不对. 17.若?f(x)dx?F(x)?C,且x?at?b,则?f(t)dt?().(A)F(x)?c;(B)F(t)?c;(C) 1a F(at?b)?C;(D)F(at?b)?C. 18.设f(x)为可导函数,则().(A) ? f(x)dx?f(x);(B) ?f?(x)dx? f(x);f(x)?C. (C)( ?f(x)dx)? f(x);(D)( ?f(x)dx)? 19.若u,v都是x的可微函数,则?udv?().(A)uv?(C)uv? ?vdu;(B)uv?u?vdu;?v?du;(D)uv?uv?du. ?x 2 20已知f(x)的一个原函数是e(A)?2xe(C)e ?x 2 ,求?xf?(x)dx?(). ?2xe 2 ?x 2?x 2 ?C;(B) 2 ;f(x)dx. (?2x?1)?C;(D)xf(x)? ? 21.已知曲线上任意点的二阶导数y?6x,且在曲线上(0,-2)处的切线为2x?3y?6,则这条曲线的方程为(). (A)y?x?2x?2;(B)3x?2x?3y?6?0;(C)y?x;(D)以上都不对. 33 3 22.若f(x)的一个原函数是ln(2x),则f?(x)?().(A)? 1x 2 ;(B) 1x ;(C)ln(2x);(D)x?ln2x. 23.若?df(x)?dg(x),则下列各式中不成立的是(). (A)f(x)?g(x);(B)f?(x)?g?(x);(C)df(x)?dg(x);(D)d ?f?(x)dx?d?g?(x)dx. 24.若f?(x2)? 1x (x?0),则f(x)?(). 1x (A)2x?C;(B)lnx?C;(C)2x?C;(D) f?(lnx)x ?C 25.若f(x)?e?2x,则?(A) 1x 2 dx?(). ?C;(B)? 1x 2 ?C;(C)?lnx?C;(D)lnx?C. ?x 26.设?f(x)dx?F(x)?C,则?e(A)F(e)?C;(B)F(e x f(e ?x )dx?(). ?x )?C;(C) F(ex ?x ) ?C;(D)?F(e ?x )?C. 27.设sinx是f(x)的一个原函数,则?xf(x)dx?(). (A)xsinx?cosx?C;(B)xsinx?cosx?C;(C)xcosx?sinx?C;(D)xcosx?sinx?C. 28.设f(x)?cosx,则f(x)在区间()是可积的. (A)(?,?);(B)0,?);(C)?,?;(D)?1,0. 29.在计算积分?x 2?xdx时,为使被积函数有理化,可做变换(). (A)x?sint;(B)x?tant; (C)x?sect;(D)t? 3 ?x. 30. ?x 2x 2 ?2x?5 dx? ?(x?1) 2x?2?2 2 ?4 dx?(). x?1x?122 ?c;(B)lnx?2x?5?arcta?c;(A)lnx?2x?5?2arcta22x?11x?122 ?c;(D)lnx?2x?5?arcta?c.(C)lnx?2x?5?2arcta424 三、计算题 1.求一曲线y=f(x),使它在点(x、f(x)处的切线的斜率为2x,且通过点(2、5).2.求下列不定积分: 篇二：数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第二十二章 第二十二章曲面积分 一、证明题 1.证明:由曲面S所包围的立体V的体积等于 V= 余弦. 2.若S为封闭曲面,L为任何固定方向,则cos?n,L?ds=0 S1?xcos?ycos?zcosr?ds其中cos?,cos?,cpsr3S为曲面S的外法线方向 其中n为曲面S的外法线方向. 3.证明公式 ? Vdxdydzr=1cos?r,n?ds2S 其中S是包围V的曲面,n为S的外法线方向.r=x2?y2?z2,r=(x,y,z). 4.证明:场A=?yz?2x?y?z?,zs?x?2y?z?,xy?x?y?2z?是有势场并求其势函数. 二、计算题 1.计算下列第一型曲面积分: (1)?x?y?z?ds,其中S为上半球面 S 2222x?y?z=az?0; (2)?x S2?y2?ds,其中S为主体x?y22?z?1的边界曲面; (3)? S1x?y22ds,其中S为柱面x2?y2?R2被平面Z=0,Z=H所截取的P分; (4)?xyzds S,其中S为平面在第一卦限中的部分. 2.计算?zds,其中S为圆锥表面的一部分. S2 ?x?rcos?sin?0?r?a?S:?y?rsin?sin?D:?0?2?z?rcos? 这里为常数(01,y0,z0)的2 15.设流速A=?y,x,c?(c为常数)求环流量 (1)沿圆周x?y=1,z=0; 2(2)沿圆周?x?2?y=1,z=0.222 三、考研复习题 ?u ?x221.证明:若?u=+?u?y22+?u?z22,S为包围区域V的同面的外例,则 (1)?udxdydz=VS?u?nds;(2)u S?u?nds=?udxdydz+?u?udxdydzVV 2.设S为光滑闭曲面,V为S所围的区域,在V上与S上函数u(x,y,z)二阶偏导连续,函数W(x,y,z)偏导连续,证明:?u ?x?w?x(1)?WVdxdydz=uwdydz? S?Vudxdydz; (2)?W?udxdydz=WVS?u?nds?uV?Wdxdydz. 3.设A=r r3S为一封闭曲面,r=(x,y,z).证明当原点在曲面S外,上,内时分别有 Ads S=0.2,4. 4.证明公式: f?msin?cos?nsin?sin?Pcos?sin?d?d? D =2?fum?u?p?11?222?du 篇三：数学分析(华师大二版)课本上的习题6 P.124习题 1试讨论下列函数在指定区间内是否存在一点?，使f?(?)?0： 1?xsin （1）f(x)?x ?0 解（1）因为f在0,理，?(0, 0?x?x?0 1 ?，（2）f(x)?|x|?1?x?1 1 1 ? 连续，在(0, ? 1 )可导，且f(0)?f()，所以由Rolle定 ? 1 ? )，使得f?(?)?0。 ?1x?0 ，且f?(0)不存在，故不存在一点?，使f?(?)?0 ?1x?0? 3 （2）因为f?(x)? 2证明：（1）方程x?3x?c?0（这里c为常数）在区间0,1内不可能有两个不同的实根； 32 证明设f(x)?x?3x?c，由于方程f?(x)?3x?3?0在(0,1)内没有根，所以 （由P.120，例1）方程x?3x?c?0在区间0,1内不可能有两个不同的实根。 （2）方程x?px?q?0（n为正整数）当n为偶数时至多有两个实根；当n为奇数时至多有三个实根。 证明设f(x)?x?px?q，于是f?(x)?nx奇数，故方程f?(x)?nx n n?1n n?1 n 3 ?p?0。当n为偶数时，n-1为 ?p?0至多有一个实根（因为幂函数nxn?1?p严格递增）， 从而方程x?px?q?0至多有两个实根； 当n为奇数时，n-1为偶数，故由上述证明的关于偶数的结论有：方程 nf?(x)?nxn?1?p?0至多有两个实根，从而方程x?px?q?0当n为奇数时至多有三 个实根。 3证明：若函数f和g均在区间I上可导，且f?(x)?g?(x)，x?I，则在区间I上 f和g只相差一常数，即f(x)?g(x)?c（c为某一常数） 证明令F(x)?f(x)?g(x)，则F在区间I上可导，且F?(x)?f?(x)?g?(x)?0，由推论1，存在常数c，使得F(x)?c，即f(x)?g(x)?c 4证明（1）若函数f在a,b上可导，且f?(x)?m，则f(b)?f(a)?m(b?a)（2）若函数f在a,b上可导，且|f?(x)|?M，则|f(b)?f(a)|?M(b?a)（3）对任意实数x1,x2，都有|sinx1?sinx2|?|x2?x1| 证明因为f在a,b上可导，所以f在a,b上满足Lagrange中值定理的条件，于是?(a,b)，使得f(b)?f(a)?f?(?)(b?a) （1）因为f?(x)?m，所以f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)?m(b?a)，从而有 f(b)?f(a)?m(b?a) （2）因为|f?(x)|?M，所以|f(b)?f(a)|?|f?(?)|?|b?a|?M(b?a)（3）不妨设x1?x2，正弦函数f(x)?sinx在x1,x2上连续，在(x1,x2)可导，于是?(a,b)，使得|sinx1?sinx2|?|cos?|?|x1?x2|?|x2?x1| 5应用拉格朗日中值定理证明下列不等式：（1） b?abb?a ，其中0?a?b?ln? baa 证明设f(x)?lnx，则f在a,b上连续且可导，所以f在a,b上满足Lagrange中值定理的条件，于是?(a,b)，使得ln b1 ?lnb?lna?f?(?)(b?a)?(b?a)，a? 因为0?a?b，所以 b?ab?ab?ab?abb?a，从而?ln? b?abaa h2 ?arctanh?h，其中h?0（2）2 1?h 证明设f(x)?arctanx，则f在0,h上满足Lagrange中值定理的条件，于是 ?(0,h)，使得arctanh?arctanh?arctan0?f?(?)(h?0)? h 。因为2 1? h2hh ?h，从而?arctanh?h。0?h，所以2 1?h21?21?h 6确定下列函数的单调区间： （1）f(x)?3x?x（2）f(x)?2x?lnx 2 2 x2?1 （3）f(x)?2x?x（4）f(x)? x 2 解（1）f?(x)?3?2x，令f?(x)?0，得x?当x? 32 33 时，f?(x)?0，f递增；当x?时，f?(x)?0，f递减。22 14x2?11（2）f的定义域为x?0。f?(x)?4x?，令f?(x)?0，得x? xx2 当0?x? 11 时，f?(x)?0，f递减；当x?时，f?(x)?0，f递增。 22 1?x2x?x 2 （3）f的定义域为0?x?2。f?(x)?，令f?(x)?0，得x?1 当0?x?1时，f?(x)?0，f递增；当1?x?2时，f?(x)?0，f递减。 1x2?1 ?0，故f在其定义域（4）f的定义域为x?0。f?(x)?1?2?2 xx(?,0)?(0,?)递增。 7应用函数的单调性证明下列不等式： x3? （1）tanx?x?，x?(0,) 33 x3 证明设f(x)?tanx?x?，则f在x?0连续，且f(0)?0。因为 3f?(x)?sec2x?1?x2?tan2x?x2?0，x?(0, ? 3 )，故f在(0, ? 3 )严格单调递 x3? 增，又因f在x?0连续，于是f(x)?f(0)?0，从而tanx?x?，x?(0,)。 33 （2） 2x ? ?sinx?x，x?(0,2x ? 2 ) 2sinxsnix2? ?。设f(x)?则f在x?sinx，?， ?xx?2?xcosx?sinx(x?tanx)cosx? 连续，且f()?0。因为f?(x)?，?0x?(0,)。22 22xx?sinx2? 所以f在(0,)严格单调递减，于是f(x)?f()?0，从而?，x?(0,)。 22x?2 证明先证 其次证明：sinx?x。设f(x)?x?sinx，则f在x?0连续，且f(0)?0。因为 f?(x)?1?cosx?0，x?(0, ? 2 )。所以f在(0, ? 2 )严格单调递增，又因f在x?0连 续，于是f(x)?f(0)?0，从而x?sinx，x?(0, ? 2 )。 x2x2 ?ln(1?x)?x?（3）x?，x?022(1?x) x2x2 ?ln(1?x)，x?0。?nl(1?x)，证明先证：x?令f(x)?x?则f在x?0221?x2 ?0，x?0。所以f在x?0严格连续，且f(0)?0。因为f?